福建省莆田市育英中学2021年高二数学文期末试题含解析

福建省莆田市育英中学2021年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“对,都有”的否定为（

）A．对,都有 B．不存在,都有C．,使得 D．,使得参考答案：D略2.若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞log4a2恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2） C．（2，﹢∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【分析】若不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞k恒成立，只需k小于|x﹣1|+|x﹣2|的最小值即可．由绝对值的几何意义，求出|x﹣1|+|x﹣2|取得最小值1，得1＞log4a2求出a的范围．【解答】解：若不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞log4a2恒成立，只需log4a2小于等于|x﹣1|+|x﹣2|的最小值即可．由绝对值的几何意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示在数轴上点x到1，2点的距离之和．当点x在1，2点之间时（包括1，2点），即1≤x≤2时，|x﹣1|+|x﹣2|取得最小值1，∴1＞log4a2所以a2＜4，a≠0，解得a∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．3.设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是

（）A．E（X）＝0.01

B．P（X＝k）＝0.01k×0.9910-kC．D（X）＝0.1

D．P（X＝k）＝0.01k×0.9910-k参考答案：D略4.i是虚数单位，复数=（）A．2﹣i B．2+4i C．﹣1﹣2i D．1+2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过分子分母同时乘以（1+i），计算即得结论．【解答】解：=?=1+2i，故选：D．5.定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）=3，则不等式f（x）＜3ex的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（2，+∞）参考答案： C【分析】构造函数g（x）=，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出x的范围．【解答】解：设g（x）=，则g'（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减．∵f（0）=3，∴g（0）=f（0）=3，则不等式等价于g（x）＜g（0），∵函数g（x）单调递减．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：C．6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（

）

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：A略7.函数f（x）=cosx+ax是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的导函数，令导函数大于等于0或小于等于0在（﹣∞，+∞）上恒成立，分析可得a的范围．【解答】解：∵f（x）=ax+cosx，∴f′（x）=a﹣sinx，∵f（x）=ax+cosx在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴a﹣sinx≥0或a﹣sinx≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立，∴a≥1或a≤﹣1，故选：C．8.函数y＝f（x）在定义域（－，3）内的图像如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f￠（x），则不等式f￠（x）≤0的解集为参考答案：A略9.用数学归纳法证明：“”在验证时，左端计算所得的项为（

）A．1 B． C． D．参考答案：C10.已知点F1(－4,0)、F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为(

)A.－＝1(x≥3)

B.－＝1C.－＝1(y≥3)

D.－＝1参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某同学把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有

种（以数字作答）.参考答案：35912.在△ABC中，D为BC的中点，则，将命题类比到四面体中得到一个类比命题为__________.参考答案：在三棱锥P-ABC中，G为ABC的重心，则13.已知数列前n项和，则=___________参考答案：100略14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为

．参考答案：4【考点】等差数列的前n项和；等差数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．15.双曲线的焦距是

；渐近线方程是

．参考答案：4，

，所以,焦距为，令，解得渐近线方程为.

16.直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．参考答案：（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f（x）=x3﹣3x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）=2，极小值为f（1）=﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）17.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是=________.参考答案：ks5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知双曲线过点，它的渐进线方程为（1）求双曲线的标准方程。（2）设和分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且求的大小。

参考答案：（1）

（2）

略19.（13分）设正项等比数列，已知，．（1）求首项和公比的值；（2）若数列满足，求数列的前n项和．参考答案：（1），

……（3分）∴，该数列是一个正项等比数列，取，

……（5分）由此，解得．

……（6分）（2）由===

……（9分）∴．于是数列是一个以为首项，为公差的等差数列．……（11分）∴数列的前n项和．

……（13分）20.已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．参考答案：由题意得f′(x)＝12x2－2a．当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a＞0时，，此时函数f(x)的单调递增区间为和．单调递减区间为．证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2．当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝，于是在x∈(0,1)上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x01g′(x)

－0＋

g(x)1单调递减极小值单调递增1所以，g(x)min＝＞0．所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．21.设函数f(x)=xlnx（1）求的单调区间；（2）求在区间[,]的最大值和最小值．参考答案：解：（1）由题意知函数的定义域为（0，+∞）f(x)=xlnxf′（x）=lnx+1

令f′（x）=0,得x=

令f′（x）>0,

得x>令f′（x）<0,

得0<x<的单增区间为：（，+∞）单减区间为：（0，）

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