广东省河源市第一中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省河源市第一中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，全集，若，则有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.设,,,则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知tanα=2，那么的值为（）A．﹣2B．2C．﹣D．参考答案：D考点：弦切互化；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：的分子、分母同除cosα，代入tanα，即可求出它的值．解答：解：=因为tanα=2，所以上式=故选D．点评：本题考查弦切互化，同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．4.如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2 C． D．参考答案：B【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：对于A：由a＜b＜0，得：a2＞ab，故A错误；对于B：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，b＜0，∴﹣ab＜﹣b2，故B正确；对于C：由a＜b＜0，两边同除以ab得：＜，即＞，故C错误；对于D：0＜＜1，＞1，故D错误；故选：B．5.对任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．【分析】求出曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【解答】解：∵y=ex（x2+ax+1﹣2a），∴y′=ex（x2+ax+2x+1﹣a），x=0时，y′=1﹣a，∴曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，∴切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是相交．故选：A．6.有7个高矮不一的同学排成一排，最高的站在中间，两边各有3名同学，使得最高的同学的两边越往边上越矮，则不同的排队方式共有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D7.在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足则的面积与的面积之比为（

）A．1:2

B．

C．12:13

D．13:25参考答案：D8.命题若，则是的充分而不必要条件：命题函数的定义域是，则（

）A．“p或q”为假 B．p假q真 C．p真q假

D．“p且q”为真参考答案：【知识点】复合命题的真假．A3【答案解析】B解析：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假．又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2．故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q为真命题．故选B．【思路点拨】若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假．又由函数y=的定义域为x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），q为真命题．9.已知复数z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则（

）A．cos2θ

B．1

C．cos2θ

D．cos2θ+isinθ参考答案：B【命题意图】此题考查了复数乘法（兼平方差公式），共轭复数，同角三角函数的平方关系,此题的背景是复数的三角形式，复数与三角函数结合，衔接自然.

10.已知命题p：“a＞1”，命题q：“函数f（x）=ax﹣sinx在R上是增函数”，则命题p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】利用导数法求出f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数等价命题，进而根据充要条件的定义，可判断【解答】解：当f（x）=ax﹣sinx时，f′（x）=a﹣cosx，当a≥1时，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数，由{a|a＞1}?{a|a≥1}，故“a＞1”是“f（x）=ax﹣sinx为R上的增函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充要条件，函数的单调性，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方形ABCD，AB=2，若将沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体的体积的最大值是____.参考答案：略12.已知集,,则集合所表示图形的面积是 参考答案：13.集合，，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为；参考答案：②③【分析】根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故所在的直线的倾斜角为，，故：，解得，此时，，此时.故答案为：②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.14.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则?的值为

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴?=（+）?（+）=（+）?（+）=?+?+?+?=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．15.已知四棱锥P﹣ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为． 参考答案：【考点】球的体积和表面积． 【分析】设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积． 【解答】解：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=， 设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=， 设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2， ∴d=，R2=， 球O的表面积为s=． 故答案为：． 【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径是关键． 16.若变量满足约束条件，则的最大值为

参考答案：317.等比数列的前项的和为，若，则=__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（理）（本小题满分14分）设函数(1)若x=2是函数f(x)的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求。(2)若对任意,都存在(e为自然对数的底数)，使得成立，求实数的取值范围。参考答案：（Ⅰ），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，由解得.∴,，令，，得；

令得，所以在上单调递减；在上单调递增.故函数至多有两个零点，其中，因为，，所以，故．（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解，令，只需存在使得即可，由于=，令，，∴在(1，e)上单调递增，，①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.②当，即时，，若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.若，则，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立，在(1，m)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立.19.已知函数.(1)若，解不等式：；(2)若恒成立，求的取值范围.参考答案：(1)当时，，解得：，所以原不等式解集为.(2)，若恒成立，只需：.解得：或.20.已知函数，（1）求证：；（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.

参考答案：21.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，过圆O外一点P分别作圆O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，过点A作PC的平行线交圆O于点D，BD的延长线交直线PA于点Q．（1）求证：AB2=PB?AD；（2）若PA=2AQ，AD=，QD=2．求PC的长．

参考答案：（1）见解析（2）【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：（1）证明：∵PO是圆O的切线，AD∥PB，∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，∴△PAB∽△BDA．∴，∴AB2=PB?AD；（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，∴=∵AD=，QD=2，∴PB=3，QB=6．∵PO是圆O的切线，PA=2AQ，∴PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，∴PC==．【思路点拨】（1）证明△PAB∽△BDA，可得AB2=PB?AD；（2）利用PO是圆O的切线，PA=2AQ，可得PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，结合AD=，QD=2，求PC的长．22.已知函数为常数），且是函数的零点.(Ⅰ)求a的值，并求函数的最小正周