2021年湖南省益阳市驿市中学高三数学文期末试卷含解析

2021年湖南省益阳市驿市中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=R,集合，则集合等于(

)A.

B.C.

D.参考答案：C略2.执行右图所给的程序框图，输出的S的值等于(

)A.17

B.25

C.26

D.37参考答案：C略3.已知某空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果该直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体外接球的表面积是

A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：D4.已知菱形ABCD的边长为4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.已知,且,成等比数列,则xy(

)A.有最大值e

B.有最大值

C.有最小值e

D.有最小值参考答案：C6.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C解析：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C。7.在空间中，若、表示不同的平面，、、表示不同直线，则以下命题中正确的有（

）①若∥，∥，∥，则∥②若⊥，⊥，⊥，则⊥③若⊥，⊥，∥，则∥④若∥，，，则∥A.①④

B.

②③

C.

②④

D.②③④参考答案：B8.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A.试题分析：双曲线的渐近线方程是，过右焦点分别作两条渐近线的平行线和，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.9.已知为的导函数，则的图像是（

）参考答案：A10.若定义在R上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且，则实数的取值范围是(

）A．

B．

C．

D．或参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若展开式中项的系数为－12，则a=

；常数项是

.

参考答案：2，60；12.随机变量X服从正态分布，，则_______。参考答案：13.已知等差数列=

.参考答案：26014.已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米．则水面升高米后，水面宽是____________米（精确到米）．参考答案：15.若直线和函数的图象恒过同一定点，则当取最小值时，函数的解析式是________。参考答案：略16.为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则

.参考答案：17.参数方程的普通方程为__________________。参考答案：解析：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（）右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线，求四边形ABCD面积的最大值.参考答案：(Ι)（Ⅱ）【分析】(Ι)把右焦点代入直线方程可求出c，设，线段AB的中点，利用“点差法”即可得出a,b的关系式，再与联立即可求出a,b，进而可得椭圆方程；(Ⅱ)由，可设直线CD方程为,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长，把直线，利用即可得到关于m的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.【详解】(Ι)设则，，（1）－（2）得：，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.（Ⅱ）因为，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，将代入得：，即、，所以可得；将代入得：，设则=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为.【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.19.

在中，已知，.（1）求的值；（2）若为的中点，求的长.参考答案：解：（1）三角形中,,所以B锐角--------3分w所以--------6分w(2)三角形ABC中，由正弦定理得,

，

--------9分w又D为AB中点，所以BD=7在三角形BCD中，由余弦定理得

w--------12分

略20.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明AD∥BC，推出AD∥平面FBC，然后证明平AD∥MN．（Ⅱ）证明AD⊥CD，结合AD⊥FC，说明AD⊥平面CDEF，然后证明平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）说明DA，DC，DE两两互相垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，不妨设EF=ED=1，求出相关的坐标，求出平面FBC的法向量，平面ADE的法向量，通过向量的数量积求解二面角A﹣l﹣B的平面角的大小即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[]所以AD∥平面FBC．[]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．因为AD⊥FC，所以AD⊥平面CDEF．所以平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．建立空间直角坐标系D﹣xyz．不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二面角A﹣l﹣B的大小45°．21.设函数，．（1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a；（2）当时，函数的图象恒在x轴上方，求a的最大值．参考答案：（Ⅰ）a=e；（Ⅱ）a的最大值为2e；【分析】（Ⅰ）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据条件列方程解得a；（Ⅱ）先求导数，再根据导函数零点与1大小分类讨论，根据函数单调性确定函数最小值，最后根据最小值大于零，解得a的取值范围，即得最大值.【详解】（Ⅰ）∵，∴f'（x）=exa，∴f'（1）=ea，由题设知f'（1）=0，即ea=0，解得a=e．经验证a=e满足题意．（Ⅱ）令f'（x）=0，即ex=a，则x=lna，（1）当lna＜1时，即0＜a＜e对于任意x∈（-∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，lna）单调递减；对于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）单调递增，因此当x=lna时，f（x）有最小值为成立．所以0＜a＜e，（2）当lna≥1时，即a≥e对于任意x∈（-∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，1）单调递减，所以f（x）＞f（1）．因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，即a≤2e，综上，a的取值范围为(0,2e],所以a的最大值为2e．【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.22.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望。参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球,摸出的球均为白球的概率是