2021-2022学年河北省沧州市河间兴村中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年河北省沧州市河间兴村中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足，则z=x+2y的最小值为（）A． B．4 C．﹣6 D．﹣5参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点B时，直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，得，即B（﹣1，﹣2）此时z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．2.已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=（）A．B． C．﹣D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos（﹣2α）的值．【解答】解：∵sin（+α）==cos（﹣α），则cos（﹣2α）=2﹣1=﹣1=﹣，故选：C．3.参考答案：C4.已知i为虚数单位,复数z满足：，则在复平面上复数z对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】先求出并化简，从而确定复数对应的点的坐标为，进而判断其位于第四象限.【详解】因为，所以复平面上复数对应的点为，位于第四象限，故选.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.5.抛物线的焦点坐标是A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求．【详解】解：，，则．故选：D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.如图点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，画出圆，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x﹣2y+1=0的距离，则|PQ|的最小值可求．【解答】解：由题意画出图形如图：圆x2+（y+）2=1的圆心（0，）到直线x﹣2y+1=0的距离为d=，∴|PQ|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为(

) A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A考点：程序框图．专题：计算题；规律型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．点评：本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9.直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是A．相离

B．相切

C．相交

D．以上都有可能参考答案：B圆心到直线的距离d＝＝2.所以直线与圆相切．10.复数（其中为虚数单位）的虚部是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C化简得，则虚部为，故选二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为_________.参考答案：12.中，如果，那么等于

参考答案：13.已知，若，则参考答案：714.将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是

．参考答案：815.半径为1的球内最大圆柱的体积为．参考答案：【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0＜y＜2）；V=πx2y=πy=（4﹣y2）y，利用导数求最值．【解答】解：设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0＜y＜2）；V=πx2y=π?y=（4﹣y2）y=（4y﹣y3），则V′=（4﹣3y2），故4﹣3y2=0，即y=时，有最大值，Vmax=（4﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了学生的空间想象力与导数的综合运用，属于中档题．16.已知向量，，若向量、互相平行，则=____________.参考答案：17.若实数x，y满足不等式组，则的最小值是_______．参考答案：1【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数可化为直线，当直线平移经过点A时，此时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，集合，集合

（1）求从集合中任取一个元素是（3，5）的概率；

（2）从集合中任取一个元素，求的概率；

（3）设为随机变量，，写出的分布列，并求.参考答案：19.（本小题满分14分）设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证

参考答案：(Ⅰ)函数的定义域为，……1分……2分令，则．①当，即时，，从而，故函数在上单调递增；……3分②当，即时，，此时，此时在的左右两侧不变号，故函数在上单调递增；……4分③当，即时，的两个根为，当，即时，，当时，．……5分故当时，函数在单调递减，在单调递增；……6分当时，函数在单调递增，在单调递减．……7分(Ⅱ)∵,∴当函数有两个极值点时，，故此时，且，即，……9分,设，其中，

……10分则，由于时，，故函数在上单调递增，……12分故．∴．

……14分20.底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.参考答案：

4,4,4；

21.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知作用后变换为曲线C（如图2）。（I）求矩阵A；（II）若矩阵,求的逆矩阵.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．点A,B的极坐标分别为，，曲线C的参数方程为.(Ⅰ)求的面积；

（Ⅱ）若直线AB与曲线C的交点.参考答案：（1）（Ⅰ）依题意可知

所以--------3分

解2：依题意可知A对应的变换为伸缩变换，所以（Ⅱ）-------4分

，

------7分（2）(Ⅰ)解：-----------------------------------------------2分（Ⅱ）在直角坐标系中，所以AB：----3分

直线C：-----------------5分

联立得：，解得：（舍负），得交点----7分22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥AE；（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（Ⅱ）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE；（Ⅲ）过点A作AM⊥PD，由（Ⅱ）知，AE⊥面PCD，故∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一个平面角，用面积法求得AE和AM，从而可求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE?面PAC，故CD⊥AE．（Ⅱ）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（Ⅰ）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE（Ⅲ）解：过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM，则（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，A