2023年中考数学一轮复习12对称图形-圆（解析版）（江苏）

考点12

心命题趋势

圆主要包括：圆的有关概念、圆的对称性、确定圆的条件、圆周角、直线与圆的位置关系、正多边形、

弧长、扇形与圆锥侧面积的计算等，在江苏省各地的中考中，圆的有关概念、圆的有关性质以及与圆有关

的计算考查形式以选择和填空的形式为主，难度适中，直线与圆的位置关系以解答题考查较多，通常是对

切线的考查为主。

在知识导图

.

圆的3・建.■,

/9L*.IhJfll美累定■及行

/--------------------------

91的11美性质

\UMJRflgMm泥

对称图形•圆

-W的《・关第

■美系//-------------

就纥与,的回

------—tMMMS

\三角出物内g

座梦边给

与■有关的计1aI候与咄■・联

在重点考向

一、圆的概念与性质；

二、直线与圆的位置关系;

三、与圆有关的计算。

考向一：圆的概念与性质

1.与圆有关的概念和性质

圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

弦心距：圆心到弦的距离.

2.圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性.

3.圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小）.

4.垂直于弦的直径

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

5.圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组

量也相等.

6.圆周角

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径.

I--1--------------

总例引假

…a_--

1.（2022•江苏•扬州市江都区第三中学九年级月考）如图，A是以上任意一点，点C在3外，已知

AB=2,BC=4,△AC。是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）

A.4百+4B.4

【答案】A

【分析】以8c为边向上作等边三角形BCM,连接。0,证明△DCN四△AC3得到。0=他=2,分析出

点。的运动轨迹是以点M为圆心，0M氏为半径的圆，在求出点。到线段8c的最大距离，即可求出面积

的最大值.

【详解】解：如图，以3c为边向上作等边三角形BCM,连接ZW,

，/Z£>C4=ZMCB=60°.

ZDCA-ZACM=NMCB-ZACM,即ZDCM=ZACB.

在4DCM和△4C8中，

DC=AC

-ZDCM=ZACB,

MC=BC

/.ADCM^AACB(SAS),

/.DM=AB=2,

，点。的运动轨迹是以点M为圆心，"W长为半径的圆，要使△58的面积最大，则求出点。到线段5c

的最大距离，

•：_BCM是边长为4的等边三角形，

•••点M到BC的距离为26,

.,.点D到BC的最大距离为26+2,

/.△38的面积最大值是gx4x仅g+2）=4百+4,

故选A.

2.（2022.山东•济宁市实验初中九年级月考）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所

示.若水面宽AB=24cm,则水的最大深度为（）

A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm

【答案】A

【分析】连接Q4,作交AB于点C,交圆于点。，根据垂径定理求得OC,利用圆的半径求得8

即可.

【详解】如图，连接。4,作交A3于点C,交圆于点

■<-------24---------►

D

,:AB=24,

AC=12,

3=13,

在RtOAC中,

OC=yJOA1-AC2=V132-122=5，

Z.CD=OD-OC=13-5=8,

故选：A.

3.（2022•浙江・杭州市文晖中学九年级期中）下列命题中，错误的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦

B.圆的两条平行弦所夹的弧相等

C.任意一个三角形有且只有一个外接圆

D.直径是圆中最长的弦

【答案】A

【分析】利用垂径定理、三角形的外接圆，圆的有关定义及性质分别判断后即可得出答案.

【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题错误；

B、圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确；

C、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确；

D、直径是圆中最长的弦，正确；

故选：A.

4.（2022.江苏.九年级月考）如图，已知A8是，。的直径，8是弦，若NBCD=36。，则NA8D等于（）

A.54°B.56°C.64°D.66°

【答案】A

【分析】根据所对的圆周角是直角得到/四=90。，再由同弧所对的圆周角相等得到NA=N88=36。,

最后根据直角三角形两锐角互余进行求解即可.

【详解】解：：AB是：。的直径，

ZA£>B=90°,

,/ZA=ZBCD=36°,

：.ZA5D=90°-zTA=90°-36°=54°.

故选：A.

5.（2022・浙江•余姚市梨洲中学九年级月考・）如图，已知点。是AfiC的外心，NA=35。，连结80,CO,

则NOBC的度数是（）

A

A.70°B.55°

【答案】B

【分析】根据点。是一ABC的外心，nJ^BOC=2ZA=70°,OB=OC,再由等腰三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，

••,点O是ABC的外心，ZA=35°,

NBOC=2ZA=70°,OB=OC,

NOBC=g(180。-NBOC)=55°

故选：B.

考向二：直线与圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

设。。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:

点P在圆外Od>r；

点P在圆上Od=r；

点P在圆内<=>dVr.

2.圆的确定：

①过一点的圆有无数个；

②过两点的圆有无数个；

③经过在同一直线上的三点不能作圆；

④不在同一直线上的三点确定一个圆。

3.直线和圆的位置关系

位置关系相离相切相交

图形

公共点个数0个1个2个

数量关系d>rd=rd<r

（1）切线的判定

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（会过圆上一点画圆的切线）

（2）切线的性质：切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.

（3）切线长和切线长定理

切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的

夹角.

4.三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接

三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

5.三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外

切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等.

'典例引4s

A----〜--------■

1.（2022・湖北•武汉二中广雅中学九年级月考）已知。的直径为12,点。到直线/上一点的距离为2而，

则直线/与。的位置关系（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】D

【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可.

【详解】解。的直径为12,

二,。的半径为6,

•••点O到直线I上一点的距离为2V10,无法确定点0到直线/的距离，

不能确定直线/与二O的位置关系，

故选D.

2.（2022・上海•华东师范大学松江实验中学三模）已知，ABC,AB=10cm,BC=6cm,以点8为圆心，以BC

为半径画圆B,以点A为圆心，半径为"，画圆A已知A与B外离,则『的取值范围为（）

A.0<r<4B.0<r<4C.0<r<4D.0<r<4

【答案】C

【分析】设8半径为Rem,则R=6cm,根据两圆外离的条件得到r+R,从而得到，•的范围.

【详解】解：设，8半径为Rem,则R=8C=6cm,

A与B外离，

:.AB>r+R^

r<AB—R'

即r<4,

r>0,

0<r<4.

故选：C.

3.（2022•山东泰安・九年级期末）如图，矩形ABC。中，G是BC的中点，过A、。、G三点的。。与边48、

C。分别交于点E、点凡给出下列判断：（1）AC与的交点是。。的圆心；（2）A尸与。E的交点是。O

的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与。。相切，其中正确判断的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】连接。G、AG,作GH_LA£＞于”，连接。。，如图，先确定AG=DG,则GH垂直平分AD,则可

判断点。在4G上，再根据/7GLBC可判定BC与圆。相切；接着利用0G=。£＞可判断圆心。不是AC与

8。的交点；然后根据四边形AEFD为。。的内接矩形可判断AF与OE的交点是圆。的圆心.

【详解】解：连接OG、AG,作GHJ_A£＞于H,连接0D,如图，

•；G是8c的中点，

:.CG=BG,

'：CD=BA,根据勾股定理可得，

：.AG=DG,

二GH垂直平分A4，

.•.点。在“G上，

'：AD//BC,

：.HG1BC,

；.8C与圆。相切；

；OG=OD,

.,•点。不是HG的中点，

圆心。不是4c与BD的交点；

*.*ZADF=ZDAE=90°,

：.ZAEF=90°,

：.四边形AEFD为。0的内接矩形，

：.AF与DE的交点是圆0的圆心；AE=DF；

：.(I)错误，(2)(3)(4)正确.

故选：B.

4.(2022•北京市第二十七中学九年级月考)如图，PA,PB是。的切线，A,B是切点，点C为。上一

点，若ZAC8=80。，则NP的度数为()

【答案】B

【分析】连接。4，0B,根据圆周角定理求出/AO8,根据切线的性质得到。4,R4,OB_LPB,根据四

边形内角和等「360。计算，得到答案.

【详解】解：连接。4，0B,

：.ZAOB=2ZACB=160°,

,/PA,P8是（。的切线，

：.OAYPA,OBVPB,

：.ZOAP=90°,NOBP=90°,

：.ZP=360°-90°-90°-160°=20°,

故选：B.

5.如图，是。的内接三角形，过点C的。的切线交80的延长线于点P,若NP=34。，那么/3AC

度数为（）

A.112°B.118°C.146°D.168°

【答案】B

【分析】连接OC、CE,根据切线的性质得到OCLCP,根据直角三角形的性质求出NCOP,根据圆内接四

边形的性质计算即可.

【详解】解：连接0C,设。。与。户交于点E,连接CE,

:PC为③。的切线，

/.OCLCP,

：.NCOP=90°-ZP=90°-34°=56°,

,?OC=OE,

：.NOEC=NOCE=-x(180°-56°)=62°,

2

四边形ABEC为。O的内接四边形，

N8AC=I8O°-ZOEC=118°,

故选：B.

考向三：与圆有关的计算

1.正多边形的有关概念：

(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径一一正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距一一正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)

(5)正多边形的中心角一一正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2.正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n23)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

(3)把圆分成n(n)3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切

正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.

(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3.正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.当边数

是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的

平方.

(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

360°

(5)正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是〃；

所以正n边形的中心角等于它的外角.

(6)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比•面积比等于它们边长(或

半径、边心距)平方的比.

nitrrmr21/

4.弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长1=18°；扇形的面积S=360=5'.

5.圆锥与侧面展开图

(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

(2)若圆锥的底面半径为r,母线长为1,则这个扇形的半径为1,扇形的弧长为2m，

—1l,-C2nr=nr!,

6.圆锥的侧面积为S圆锥侧=2

圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=7trl+nr2=7tr•(1+r).

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.

典例引41

1.(2022•天津市北仓第二中学九年级月考)正六边形的边心距与边长的比是().

A.73:2B.1:2C.2:6D.1•忑

【答案】A

【分析】首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是“，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案.

【详解】解：如图:

设正六边形的边长是a,则正六边形外接圆的半径长也是

经过正六边形的中心。作边的垂线段0C,则AC=[A5=《a,

22

于是OC=y/OA2-AC2=—a,

2

所以正六边形的边心距与边长之比为：Ba:a=62.

2

故选A.

2.（2022.安徽.淮南实验中学九年级月考）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成

一个圆锥模型.若圆形的半径为1,扇形的圆心角等于60。，则这个扇形的半径R的值是（）

A.3B.6D.12

【答案】B

【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可.

【详解】解：由题意可得：2万=第9,解得R=6,故选：B

180

3.（2022•山东省青岛实验初级中学模拟）如图，./BC内接于。，ZA=60°,BC=243,则BC的长为

()

A.兀B.27r

【答案】C

【分析】连接。8、OC,过点。作ODL3c于O,根据垂径定理求出班＞,根据圆周角定理求出/BOC,

根据余弦的定义求出。8,根据弧长公式计算，得到答案.

【详解】解：连接OROC,过点。作0£＞上BC于D,

则3O=OC=18c=6,

2

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=120°,

,/OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=30°,

；.OD=gOB,OB2=BD2+OD2，

即OB2=(@2+；OB2,

...OB=2(负值已舍)，

.1/120^x24

••8C的1V-丁

故选：C.

4.（2022.四川德阳.模拟）如图，圆锥的母线长为5cm,高是4cm,则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（)

【答案】B

【分析】设该圆锥侧面展开图的圆心角为〃。，先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为3,再利用弧

长公式得到2万、3=唔2,然后解关于〃的方程即可.

1oU

【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为〃。，

圆锥的母线长为5cm，高是4cm,

・•・圆锥底面圆的半径为：75^=3（«11）,

.0〃乃x5

,・2%x3=--------

180

解得：”=216.

即该圆锥侧面展开图的圆心角为216。.

故选：B.

5.（2022•江苏盐城•九年级月考）若圆锥的底面直径为6cm,侧面展开图的面积为15兀cm?,则圆锥的母线长

为（）

52

A.—cmB.—cmC.3cmD.5cm

25

【答案】D

【分析】已知圆锥底面圆的半径可求出侧面展开图的弧长，根据侧面展开图的面积即可求解.

,•,圆锥的底面直件为6cm,

•••圆锥的底面半径为3cm

...圆锥的底面圆周长是。=2加厂=6兀，

侧面展开图的面积为157rcm2,

侧面展开图的面积5='（=3/、6兀=15兀，

...圆锥的母线长为/=5,

故选：D.

正跟踪训翥

I.（2022・吉林长春・模拟）如图，正五边形4JC0E内接于O,过点A作。的切线交对角线的延长线

于点F,则下列结论不成立的是（）

A.AE//BF

【答案】C

【分析】连接。4、OB、AD,根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判

断即可.

【详解】.五边形AB8E是正五边形，

(5-2)x180°--

ZBAE=ZABC=NC=NEDC=NE=——-------=108°,BC=CD,

5

2CBD=NCDB=-x(180°-ZC)=36°,

ZABD=108°-36°=72°,

/.ZEAB+ZABD=180°,

.­.AE//BF,故A不符合题意；

；NF=NCDB=36°,

AF//CD,故B不符合题意；

连接A£>,过点A作AW_L。?于点H,则NAHR=ZAH£>=90。，

ZEDC=10S°,ZCDB=ZEDA=36°,

ZADF=108°-36°-36°=36°=ZF,

：.AD^AF,故C符合题意；

连接。4、OB,

c

五边形ABCQE是正方.边形，

ZAOB=^36-0°=12°,

5

OA=OBt

ZOAB=NOBA=g（l80。-72。）=54°,

E4相切于0,

:.ZOAF=90°,

，NE48=90°—54°=36°,

ZABD=12°,

.•.NF=72°-36°=NMB,

:.AB=BF，故D不符合题意；

故选：C.

2.（2022•海南华侨中学模拟）如图，AB是。的弦，半径于点D,ZA=36。，点P在圆周上，则NP

等于（）

C

A.27°B.30°C.32°D.36°

【答案】A

【分析】由垂径定理得到AC=BC，根据圆周角定理得到NWC=2NP,由半径X_LAB于点。推出△AOD

是直角三角形，即可求得NAOC=54。，即可得到NP=27。.

【详解】解：•半径OCLAB于点。，

,AC=BC，

.-.ZAOC=2ZP,

，△A。。是直角三角形，

ZAOC=900-Z4=54°,

NP=27°.

故选：A.

3.（2022.辽宁朝阳•模拟）圆内接四边形ABC。，NA,NB,NC的度数之比为3:4:6,则的度数为（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【答案】C

【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案.

【详解】解：设/A，NB，NC的度数分别为3x、4x、6x,

•..四边形ABC。为圆内接四边形，

...3x+6x=180°,

解得，x=20°,

二NB=4x=80°,

ZD=180°—Z8=180°—80°=100°,

故选：C.

4.（2022•江苏镇江•模拟）如图，Q是MC的外接圆，ZABO=35°,则/C的度数等于（）

A.35°B.45°

C.55°D.65°

【答案】C

【分析】连接A。，根据等边对等角得出NQ4B=NO&4=35。，根据三角形内角和定理得出

4403=180。-2x35。=110。，根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：如图，连接AO,

c

,.・4。=80,乙480=35。，

/.ZOAB=ZOBA=35°,

・•・ZAOB=180o-2x35°=110°,

ZC=-AOB=55°,

2

故选：C.

5.（2022•吉林长春•模拟）如图，A8是＜。的直径，RV切。于点A,0P交。于点C,连接BC.若

ZP=40°,则2B的度数是（）

A.20°B.35°C.30°D.25°

【答案】D

【分析】根据切线性质得ABLQ,根据NP=40。，得出Z4OP=90。-40。=50。，再根据三角形外角的性

质求出结果即可.

【详解】解：以为圆。的切线，

:.BAJ.AP.

.-.ZBAP=90°,

,在RtzXAOP中，ZP=40°,

：.ZAOP=^T,

OB=OC,

/B=/OCB,

NAOP为_3OC的外角，

.•.N*NAOP=25。，故D正确.

故选：D.

6.（2022•吉林长春・模拟）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2,ZAOB=120°,则阴影部分图形的面积

为（）

A.47rB.—兀D.16%

3

【答案】C

【分析】阴影部分的面积是一个环形,可用大圆中240。角所对的扇形的面积减去小圆中240。角所对的面积

来求得.根据扇形的面积求解即可.

„240^x4240^x2士“,生„

rLU-WJ解：S用空=------------------=8%，故选：C.

眼360360

7.（2022.山东省泰安第六中学二模）如图，四边形A3Q）内接于；0,AE1CB交C8的延长线于点E,若

BA平分NDBE,AD=7,CE=5

A.3B.2石D.

【答案】C

【分析】连接AC,由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到NABE=NS4,ZABD=ZACD,从而得到

ZACD=NCDA,得出AC=AZ>=7,然后利用勾股定理计算AK的长.

【详解】解：连接AC,如图，

,/BA平分NDBE,

，ZABE=ZABD，

,••四边形ABC。内接于IO,

：.^ABC+ZADC=\WP,

乂ZABC+ZABE=180°

ZABE=ZCDA,

乂ZABD=ZACD,

：.ZACD=NCDA,

：.AC=AD=7,

'：AE1CB,

AE=-JAC2-CE2=yll2-5-=2限■

故选：c.

8.（2022♦重庆八中模拟）如图，在ABC中，以A8为直径的。分别与BC,AC交于点F,D,点F是BD

的中点，连接ARM交于点£若A3=10,C£>=4.连接OF,则弦OF的长为（）

A.2石B.475C.4D.5

【答案】A

【分析】连接。尸，先根据圆周角定理可得4尸，8C,8。，AC,ZBAF=ZDAF,再根据等腰三角形的三

线合一可得AB=AC=10,BF=CF,从而可得OF=gBC,然后利用勾股定理可得BC的长，由此即可得.

【详解】解：如图，连接DF,

A

43为10的直径,

AFrBC,BDrAC,

点尸是BD的中点，

:.BF=DF,NBAF=2DAF,

:.AB=AC,BF=CF（等腰三角形三线合一）,

:.DF=-BC,

2

AB=\0,CD=4,

..AD=AC-CD=AB-CD=6,

又­.AB2-AD2=BD1=BC2-CD2,

.-.102-62=BC2-42,

解得BC=46或BC=-4有（舍去）,

DF==x4君=2布,

2

故选：A.

9.（2022・浙江•温州市第三中学模拟）若扇形的圆心角为60。，半径为4,则该扇形的面积为.

【答案】y

【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：根据题意，扇形的圆心角为60。，半径为4,

则该扇形的面积为S=Q=6。°'""=竺

3600360°3

故答案为：—.

10.（2022•浙江・杭州绿城育华学校模拟）如图，AB是。的直径，OA=\,AC是，。的弦，过点C的切

线交A8的延长线于点。.若应-1，则48=°.

c

【答案】H2.5

【分析】连接OC,根据8。=0-1，可得。£>=亚，再根据切线的性质，可得NOC£>=90。，再根据勾股

定理可得8=1,进而得到NCOD=NCDO=45。，再由圆周角定理以及三角形内角和定理，即可求解.

【详解】解：如图，连接OC,

VOB=OA=\,BD=4i-1，

：.OD=0，

••,CO是o的切线，

AOCVCD,即N<9C»=90。,

,CD=y]OD2-OC2=b

，OC=CD,

：.NCOD=NCDO=45°,

：.ZA=-ZCOD=22.5°,

2

ZACD=180°—45°—22.5°=112.5°.

故答案为：112.5

11.（2022•吉林长春•模拟）如图，矩形A8CO中，AB=\,AD=42.以A为圆心，的长为半径作弧交

BC边于点E,则阴影部分的面积是

【答案］4\二2-打

4

【分析】根据题意可得4）=AE=0，则可以求出sin/A£B,可以判断出/AEB=45。，进一步求解

ZDAE=ZAEB=A50,代入弧长计算公式可得出阴影面积.

【详解】解：

在RtAABE中，AB=\,AE=AD=6,

BE=\lAE2-AB2=1=AB，

：.ZBAE=ZAEB=45°,

ZDAE=90°-45°=45°,

SMBE~

S用彩邮分=^iSKARCO

=甄x（您

2360

_4y[2-2-7C

=---------,

4

故答案为：4五-2F.

4

12.(2022•辽宁鞍山・模拟)如图，A3为Q的直径，点。是弧AC的中点，过点。作£陀工至于点E,延

长OE交，。于点尸，若AC=12,AE=3,则。的直径长为

【答案】15

【分析】根据点。是弧AC的中点，得到AO=OC；根据A8为：。的直径，DEJ.AB,得到A£>=AF，

从而得到AO=£>C=AF,AO+£)C=AZ)+AF,得到ADC=D4F,得到AC=O广=12,得到。E=EF=6,设

园的¥价为七连接。。.根据勾股定理,得列2=(R-3『+6，计算2/?的俏日“二

【详解】如图，因为点。是弧AC的中点，

所以AD=DC；

因为45为（。的直径,

所以A£>=A户，

所以AD=£>C=A£>+£>C=A£>+A尸，

所以ADC=£MF，

所以AC=£>尸=12,

所以DE=EF=6,

设圆的半径为R,连接。£>,根据勾股定理，得到R2=（R-3）2+6,

解得2R=15.

故答案为：15.

13.（2022•四川省成都市七中育才学校模拟）如图，在，。中，半径。4垂直于弦BC,点。在圆上且

ZADC=30P,则/AO8的度数为.

【答案】60°

【分析】连接OC,由垂径定理可知：注B=?tC，即NAQ3=ZAOC,再根据圆周角定理可知

ZA05=ZAOC=6O。.

【详解】解：连接。C,

D

\•半径垂宜于弦BC,

；•由垂径定理可知：*8=泠7，即NAOB=ZAOC,

Z4£>C=30o,

ZAOC=60°,

ZAOB=60°,

故答案为：60°

14.（2022•吉林•长春市朝阳实验学校模拟）如图，A8是。的直径，弦CO垂直平分。8,则/8OC的度

数为.

【答案】30。

【分析】连接OC,由弦8垂直平分OB,E为。8的中点，可得出OE为OC的一半，利用直角三角形中

一直角边等于斜边的一半得到这条直角边所对的角为30。，得到NCOB=6（F,进而得出结论.

【详解】连接0C,

•.•弦CO垂直平分0B,

：.OE=EB,CDYOB,

又OB=OC,在RJOCE中,

OE=EB=-OC,

，ZOCE=30°,NCOB=60°,

:圆心角NCOB与圆周角ZBDC都对'

NCDB=-Z.COB=30°,

2

故答案为：30°.

15.（2022,宁夏•银川唐徐回民中学三模）如图,。外接于.ABC,延长8。交。于点。，过点C作CE_L3O

交BD于点E.

⑴求证：ZBAC^ZBCE.

（2）若4MC=60。，8c=26，求。的半径.

【答案】（I）见解析

（2）。的半径为2

【分析】（1）连接8,由圆周角定理可得48=90。，利用直角三角形的性质及余角的定义可证得

NBCE=NBDC,进而可证明结论：

（2）利用直角三角形的性质可得NCBD=30°,即可得BD=2CD,再利用勾股定理可求解BD的长，进而可

求解.

【详解】（1）证明：连接CO，

：BO是。的直径,

，48=90°,

二NDCE+NBCE=90°,

CELBD,

：.ZCED=90°,

，/3OC+/DCE=90°,

/.4BCE=NBDC,

'：NBAC=NBDC,

：.ZBAC=NBCE；

(2)解：VZBAC=60°,

/.NBDC=NBCE=60°,

'：/BCD=90°,

ZCBD=30°,

/.BD=2CD,

,/BC=2^3,BD2-CD2=BC2，

(2C£>)2-CZ)2=(2石产，

解得8=2,

BD=4,

。的半径为2.

16.(2022•福建省福州外国语学校模拟)如图，以与。。相切于点A,点8在。。上，且用=P8.

(1)求证：PB与。。相切；

(2)点Q在劣弧A3上运动，过点。作。。的切线分别交B4,PB于点、M,N.若B4=6,则△PMN的周长为

【答案】(1)见解析；

⑵12

【分析】(1)连接08,证明△APO丝△BPO(SSS),由全等三角形的判定与性质得出/B4O=/PBO=90。,

得出OBLPB,则可得出结论；

(2)由切线长定理可得出答案.

【详解】(1)证明：连接。8,

A

M

,：PA与。。相切于点A,

NB4O=90°,

在4APO^ihBP。中，

PA=PB

<PO=PO,

0A=OB

：.^APO^^BPO(SSS),

ZPAO=ZP30=90°,

...P3与。O相切；

(2)解：；胆，P8是。。的切线，过点。作。。的切线，PA=6,

：.MA=MQ,NQ=NB,PA=PB=6,

：./\PMN的周长=PM+MQ+NQ+/W=%+PB=12；

故答案为：12.

17.如图，在△ABC中：

(1)求作AABC内心E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，ZC=78°.求/AEB的值.

【答案】(1)见解析

(2)129°

【分析】(1)以C为圆心，以小于AC、8c长度为半径作圆弧，与AC、BC各相交于一点，分别以交点为

圆心，以大于两交点距离一半长度为半径作两个圆弧，相交于一点，连接此交点与C作一条射线，同样的

方法从B点作一条射线，两射线的交点即为三解形内心E：

(2)根据三角形内心是角平分线交点和三角形内角和为180°,通过证明/C48+/CBA=18()o-NAC8,

ZAEB=180°-+ZB)即可求出.

【详解】(1)如图：

【小问2详解】

(2)连接AE,如图:

,/ZCAB+ZCBA+ZACB=]80°,

ZCAB+ZCBA^\SO0-ZACB,

♦.,点£是△ABC的内心，

平分NCAB,BE平分/CR4,

ZEAB=-ZCAB,ZEBA=-ZCBA,

22

/EA8+NEBA=g(NCA8+NCBA)=g(180°-ZACB),

ZACB=78°.

/E48+NER4M。800-78。)=51。，

2

■:NAEB=180。-(NEAB+NEBA),

・・•ZAEB=180°-51o=129°.

18.(2022・湖南怀化•模拟)如图，点A,B,C,。在。。上，AB=CD,求证:

AD

O

（1）AC=BD；

（2）AABE<^/^DCE.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似.

【详解】（1）VAB=CD

•*-AB+AD^CD+AD

BAD=ADC

：.BD=AC

（2）VZB-ZC

NAEB=/DEC

：.

19.（2022♦福建厦门.模拟）如图，AB是。的直径，点C是圆上一点，CO,A8于点。，点E是圆外一点,

CA平分/ECZ）.

求证：CE是。的切线.

【答案】过程见解析

【分析】先根据题意可知NC4O+N4CD=90。，由角平分线定义得/ACE=NACQ,再根据“等边对等角“得

ZCAO=ZACO,进入得出乙4CE+/ACO=90°,可知/ECO=90°,即可得出答案.

【详解】在RAACO中，ZCAD+ZACD=90°.

「CA平分NEC。，

ZACE=ZACD.

：AO=CO,

：.ZCAO=ZACO,

：.NAC£+NACO=90°,

/ECO=90°,

C.CELCO,

；.CE是圆。的切线.

20.（2022•辽宁鞍山・模拟）如图，A3为。直径，C,D为。上不同于A、8的两点，ZABD=IZBAC.

过点C作CEJ_OB,垂足为E,直线A8与CE相交于尸点.

（1）试说明：CF为。的切线；

（2）若CE=2,BE=1,求48的长.

【答案】（1）见解析

（2）5

【分析】（1）连接OC,根据同圆的半径相等推角相等，再通过已知角的关系推CO〃E。，证明NOb=90。,

从而证明CF为C。的切线：

（2）过点。作OGLOE,垂足为。，先证矩形，再用勾股定理求线段的长.

【详解】（1）证明：如图①，连接OC,

①

CELDB,

,\ZOEF=90°,

OC=OA,

.\ZA=ZACO,

/.Z.COF=NA+ZACO=2ZBAC,

ZABD=2ZBAC,

:.ZABD=ZCOF,

：.CO//ED.

:.NOCF=NDEF=9Q°,

/.OC±CF,

:.CF为。的切线,

(2)解：如图②，过点。作OGLDE,垂足为

②

NOGE=90。,

CE1DB,

NOEC=90。，

ZOC£=90%

・•・四边形COEG是矩形，

:.OG=CE=2,OC=EG=1+BG,

设OC=x,则BG=x-l,

在RtOGB中，OB2=OG2+BG2，

x2=4+(x-l)2,

解得，X=|,

/.AB=5.

在真题过关

1.（2022•江苏淮安•中考真题）如图，四边形438是。的内接四边形，若N4OC=160。，则/43C的度

数是（）

A.80°B.100°C.140°D.160°

【答案】B

【分析】先根据圆周角定理求得ND的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可.

【详解】解：VZAOC=160°,

/.ZADC=-ZAOC=SO0,

2

•.•四边形ABC。是。的内接四边形，

ZABC=1800-ZADC=180°-80°=100°.

故选：B.

2.（2022・江苏无锡•中考真题）如图，AB是圆。的直径，弦平分NBAC,过点。的切线交AC于点E,

ZEAD=25°,则下列结论错误的是（）

A.AEVDEB.AE//ODC.DE=ODD.NBOD=50°

【答案】C

【分析】过点。作。尸，A8于点凡根据切线的性质得到证明OO〃4E,根据平行线的性质以

及角平分线的性质逐一判断即可.

【详解】解：是③。的切线，

：.ODLDE,

OA=OD,

ZOAD^ZODA,

,.,AC平分NBAC,

：.ZOAD=ZEAD,

：.ZEAD=ZODA,

：.OD//AE,

：.AE±DE.故选项A、B都正确；

VZOAD=ZEAD=ZODA=25°,ZEAD=25°,

：.ZBOD=ZOAD+ZODA=5Q°,故选项D正确;

平分NB4C,AELDE,DFLAB,

：.DE=DF<OD,故选项C不正确；

3.（2022•江苏连云港•中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9

【答案】B

【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可.

【详解】解：如图，过点0C作。。于点£）,

是等边三角形，

AZAOD=ZBOD^O°,OA=O8=A8=2,AD=BD^-AB=],

2

.，•0D=y/ACf-AD2=6•

••・阴影部分的面积为竺二二-1x2x退=2万-J5,

36023

故选：B.

4.（2022•江苏淮安・中考真题）若圆锥的底面圆半径为2,母线长为5,则该圆锥的侧面积是.（结果

保留乃）

【答案】10万

【分析】根据圆锥的底面圆半径为2,母线长为5,直接利用圆锥的侧面积公式求出即可.

【详解】根据圆锥的侧面积公式：乃〃=乃x2x5=10〃，故答案为：10万.

5.（2022•江苏徐州•中考真题）如图，A、B、C点在圆。上，若乙4cB=36。，贝1/408=.

B

【答案】72。

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论.

【详解】解：VZACB=-ZAOB,N4CB=36。,

2

ZAOB=2xZACB=12°.

故答案为：72°.

6.（2022•江苏盐城•中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=2BC=2,将线段A8绕点A按逆时针方向旋

转，使得点8落在边CO上的点夕处，线段A3扫过的面积为

【答案】J

【分析】由旋转的性质可得AB'=AB=2,由锐角三角函数可求ZDAB=60°,从而得出/附8=30°,11）扇形面

积公式即可求解.

【详解】解：AB=2BC=2,

BC=\,

•.•矩形ABC。中,

AD=BC=1,ZD=NDAB=90°,

由旋转可知A8=

,?AB=2BC=2,

：.AB=AB=2,

cosZDAB=—=-

AB2

ZDAB=60°,

ZB