浙江专用备战2025年高考数学考点一遍过考点05二次函数与幂函数含解析

PAGEPAGE1考点05二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.驾驭幂函数的图象和性质.（2）了解幂函数的改变特征.（3）能将一些简洁的实际问题转化为二次函数或幂函数问题，并赐予解决.一、二次函数1．二次函数的概念形如的函数叫做二次函数.2．表示形式(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.3．二次函数的图象与性质函数解析式图象(抛物线)定义域R值域对称性函数图象关于直线对称顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数.在上是增函数；在上是减函数.最值当时，当时，4．常用结论(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=.(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().二、幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.2．几个常见幂函数的图象与性质函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减过定点过定点过定点3．常用结论(1)幂函数在上都有定义.(2)幂函数的图象均过定点.(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.(5)幂函数在第四象限无图象.考向一求二次函数的解析式求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是依据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：典例1若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为-∞,4，则该函数的解析式f(x)=__________【答案】f【解析】∵函数f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx∴2a+ab=0，即a(b+2)=0，∴a=0或b=-2，又∵函数f(x)的值域为-∞,4，∴2a2=4故该函数的解析式f(x)=-2x故答案为：f(x)=-2x【名师点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.1．已知二次函数f(x)满意f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x+5.（1）求f(x)的解析式；（2）若x∈[-3,1]，求f(x)的值域.考向二幂函数的图象与性质1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较困难，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特别点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.典例2如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为A． B．C． D．【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故选B．2．已知函数f(x)=(m2A．-1 B．2C．3 D．2或-1典例3设，则的大小关系是A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【解析】因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时须要取中间量.3．已知，，，则下列结论成立的是A． B．C． D．考向三二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等学问交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要精确运用二次函数的图象与性质，驾驭数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：1．图象识别问题辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手探讨或逐项解除．2．二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，依据函数的单调性及分类探讨的思想即可完成．3．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种状况：(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.另外，也可以实行分别变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max<B，求出函数f(x)的最大值即可.典例4若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为_________.【答案】【解析】的定义域为，，因为在上为增函数，故在上恒成立，且不恒为零.在上恒成立等价于在上恒成立，故即，而当，当且仅当时有，故不恒为零.的最小值为.故填.【名师点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则且不恒为零．4．“”是“函数在区间上为增函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件典例5已知函数，若对于随意的都有，则实数的取值范围为.【答案】【解析】据题意解得．5．已知a，b，cR，函数f(x)＝ax2＋bx＋c．若f(0)＝f(4)＞f(1)，则A．a＞0，4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋C．a＞0，2a＋b＝0 D．a＜0，2a＋1．若幂函数f(x)的图象过点(2,2)，则函数A．1 B．C．2 D．2．已知，，，则的大小关系是A． B．C． D．3．幂函数的图象经过点，则A． B． C． D．24．函数的大致图象是A． B．C． D．5．已知幂函数f（x）=xa（a是常数），则A．的定义域为R B．在上单调递增C．的图象肯定经过点 D．的图象有可能经过点6．已知：幂函数在上单调递增；则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是A． B．0C． D．8．设，，，则、、的大小关系为A． B． C． D．9．已知点在幂函数的图象上，设则的大小关系为A． B． C． D．10．已知函数（其中，且）在区间上单调递增，则函数的定义域为A． B．C． D．11．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则A．0 B．2024C．4036 D．403712．已知函数，则函数的最小值是__________．13．对幂函数有以下结论（1）的定义域是；（2）的值域是；（3）的图象只在第一象限；（4）在上递减；（5）是奇函数．则全部正确结论的序号是__________．14．已知二次函数的最小值为1,且．（1）求的解析式；（2）在区间上,的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．15．已知函数（1）对随意实数恒成立，求的最大值；（2）若函数恰有一个零点，求的取值范围.1．（2024年高考北京文数）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A． B．y=C． D．2．（2024年高考浙江卷）若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关3．（2024年高考山东卷理科）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是A． B．C． D．4．（2024年高考新课标III卷理科）已知，，，则A． B．C． D．5．（2024年高考浙江卷文科）已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024年高考浙江卷）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.变式拓展变式拓展1．【答案】（1）f(x)=x2+4x+1【解析】（1）设f(x)=ax2+bx+c，因为f(0)=1当x=0时，由f(x+1)-f(x)=2x+5，得f(1)=6；当x=1时，由f(x+1)-f(x)=2x+5，得f(2)=13.由f(0)=1f(1)=6f(2)=13，得c=1a+b+c=6所以f(x)=x（2）∵f(x)=x2+4x+1在-∞,-2又因为-2∈-3,1，所以当x=-2时，又因为当x=-3时，f(-3)=-2，当x=1时，f(1)=6，所以f(x)的值域是-32．【答案】A【解析】∵函数f(x)=(m∴m2-m-1=1，解得：m=2当m=2时，，其图象与两坐标轴有交点，不符合题意；当m=-1时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m=-1.故选A．3．【答案】A【解析】，，，，即，，故.选A．【名师点睛】本题主要考查了比较大小问题，其中解答中娴熟运用幂函数与指数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算实力.求解时，依据幂函数在上为单调递增函数，得出，再依据指数函数的性质得，即可得到结论.4．【答案】A【解析】因为时，函数在区间上为增函数；函数在区间上为增函数时，．所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件．故选A．5．【答案】A【解析】由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即．所以4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口向上，故a＞0，故选A．考点冲关考点冲关1．【答案】B【解析】设（是常数），∵f（x）的图象过点（2，2），∴=2，则，则f（x）=x，y=故其最大值为.故选B.2．【答案】C【解析】易知幂函数在上是减函数，，，即.故选C.3．【答案】B【解析】幂函数的图象经过点，

则，解得；

∴，

∴，

故选B．4．【答案】C【解析】函数可化为，当时，求得，选项B，D不合题意，可解除选项B，D；当时，求得，选项A不合题意，可解除选项A，故选C．5．【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=xa的定义域与a有关，不肯定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=xa的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=xa的图象肯定不过第四象限，D错误．故选：C．6．【答案】A【解析】由题意，命题幂函数在上单调递增，则，又，所以是的充分不必要条件，故选A．7．【答案】B【解析】由题设得，故在上单调递增，则当时取最小值，最小值为，应选B.8．【答案】B【解析】由题意得：，，，在上是增函数且，，故选B.【名师点睛】本题主要考查利用幂函数的单调性比较大小问题.比较大小类问题常用的解决方法有构造函数统一的函数模型，利用函数单调性来进行比较.9．【答案】A【解析】由为幂函数得,因为点在幂函数上，所以,即，因为又,所以，选A.【名师点睛】本题考查幂函数定义以及奇偶性与单调性，考查基本分析推断与求解实力，属基础题.10．【答案】B【解析】因为函数（其中，且）在区间上单调递增，所以令故选B．11．【答案】D【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，因此，因此故选D．12．【答案】【解析】设，则可化为当时，有最小值，即时，函数的最小值是，故答案为.【名师点睛】求函数最值的常见方法有：①配方法：若函数为一元二次函数，常采纳配方法求函数值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且肯定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需仔细分析换元参数的范围改变；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要留意基本不等式的运用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后精确地找出其单调区间，最终再依据其单调性求出函数的最值；⑤图象法：画出函数图象，依据图象的最高和最低点求最值.13．【答案】（2）（3）（4）【解析】对幂函数，以下结论（1）的定义域是，因此不正确；（2）的值域是，正确；（3）的图象只在第一象限，正确；（4）在上单调递减，正确；（5）是非奇非偶函数，因此不正确．则全部正确结论的序号是（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．【名师点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．14．【答案】（1）f(x)=2x2-4x+3【解析】（1）依据题意，f(x)是二次函数，且f(x)=f(2-x)，可得函数f(x)的对称轴为x=1，又其最小值为1，可设f(x)=a(x-1)又因为f(0)=3,则a+1=3,解可得a=2,则f(x)=2(x-1)（2）依据题意，2x2-4x+3>2x+2m+1在[-1,1]设g(x)=x2-3x+1,则g(x)在区间则g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,则有故m的取值范围为(-∞,-1)．15．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），恒成立，故，即的最大值为.（2），或；，在和上单调递增，在上单调递减，，恰有一个零点，或即或.故的取值范围是.直通高考直通高考1．【答案】A【解析】易知函数，在区间上单调递减，函数在区间上