广东省珠海市光明中学高三数学文联考试题含解析

广东省珠海市光明中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=(

)A．{0} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由集合B中的元素的属性用列举法写出集合B，直接取交集即可．【解答】解：因为集合A={0，1，2，3，4}，所以集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，所以A∩B={0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6，8}={0，2，4}．故选D．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题，是会考常见题型．2.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D略3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为(

)A.(0,0)

B.

C.

D.(π,0)参考答案：A4.已知y＝f(2x)的定义域为[－1，1]，则y＝f(log2x)的定义域为()A．[－1，1]

B．[，2]

C．[1，2]

D．[，4]参考答案：D5.若，，且，，则的值是（A）

（B）

（C）或

（D）或参考答案：A6.设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（） A．若|+|=||﹣||，则⊥ B．若⊥，则|+|=||﹣|| C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||参考答案：C7.抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．

9.给出下列四个命题：①若集合、满足，则；

②给定命题，若“”为真，则“”为真；③设，若，则；④若直线与直线垂直，则．

其中正确命题的个数是（

）A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：B略10.已知将的图象向右平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称，若将的图象向左平移个单位，得到的函数图象也关于x轴对称，则的解析式可以为

A．=sinx

B．=sin2x C．=

D．=2sinx参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知关于x的不等式对于任意恒成立，则实数a的取值范围为_________．参考答案：【分析】先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，不等式对于任意恒成立，即，又因为，，对任意恒成立，设，其中，由不等式，可得：，则，当时等号成立，又因为在内有解，，则，即：，所以实数的取值范围：.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.12.过椭圆的焦点且倾斜角为的直线与椭圆C交于A、B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为，则椭圆的方程为________．参考答案：【分析】根据条件可得直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，表示出的坐标，进而可得，解出，的值，即可求解．【详解】由题意，过点且倾斜角为的直线方程为，即，联立方程组，可得，不妨设，，则，，所以，可得，又因为且，解得，，故椭圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线的点斜式方程，以及椭圆的标准方程及几何性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力．13.数列的前项和为，若（），则

.参考答案：1006略14.已知数列的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列满足，则__________.参考答案：【知识点】等差数列；等比数列；数列通项公式的求法.

D2

D3

解析：设=k，则，同理，因为数列的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以，所以数列是等比数列，把代入得公比q=3(负值舍去)，所以.

【思路点拨】设=k，利用指数与对数互化及对数换底公式得，，再由的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，以及对数运算性质得，所以数列是等比数列，又因为各项都是正数且得公比q,从而求得.

15.(坐标系与参数方程)已知曲线C的极坐标方程为，则曲线C上的点到直线为参数）的距离的最大值为

.

参考答案：16.已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为．参考答案：14π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．【解答】解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，∴球的直径是，∴球的半径是∴球的表面积是=14π，故答案为：14π【点评】本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成，本题非常值得一做．17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是__________，若，则AE=__________．参考答案：90°

1长方体ABCD﹣A1B1C1D1中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又，，点在棱上移动则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，m，0），0≤m≤2，则=（1，m，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴?=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，m，﹣1），=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系中，已知点到抛物线焦点的距离为2．（1）求的值；（2）设是抛物线上异于的两个不同点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线分别交于点．求证：①直线的斜率为定值；②是线段的中点．参考答案：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，（2）设①则直线的方程为：令得，，所以同理所以直线的斜率为（定值）②设点的横坐标分别为由①知，直线的方程为：令得，又直线的方程为：令得，所以所以是线段的中点.19.在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2，AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求该多面体的体积；（2）求证：BD⊥EG；（3）在BD上是否存在一点M，使EM∥面DFC，若存在，求出BM的长，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题；转化思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】（1）把多面体的体积看作是三棱锥D﹣ABE与四棱锥D﹣BCFE的体积和，然后结合已知条件求解；（2）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG；（3）过E作EN∥FC，交BC于N，作ER∥DF交DA的延长线于R，连接NR交BD于M，连接EM，由面面垂直的判定可得面ENR∥面DFC，从而得到EM∥∥面DFC．然后求解三角形求得BM的长．【解答】（1）解：由EF⊥平面AEB，且EF?平面BCFE，得平面ABE⊥平面BCFE，又AE⊥EB，∴AE⊥平面BCFE，再由EF⊥平面AEB，AD∥EF，可得AD⊥平面AEB，∴=；VD﹣BCFE==．∴多面体的体积为=6；（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，即EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．（3）解：过E作EN∥FC，交BC于N，作ER∥DF交DA的延长线于R，连接NR交BD于M，连接EM，∵EN∥CF，∴EN∥面DFC，∵ER∥DF，∴ER∥面DFC，∴面ENR∥面DFC，又EM?面ENR，∴EM∥∥面DFC．∵，∴BM=．在Rt△ABD中，AD=2，AB=，∴BD=2，则BM=．故在BD上是否存在一点M，使EM∥面DFC，此时BM=．【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．20.（本题12分）如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为边长为5的正方形，AE平面CDE，AE=3.（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：证明：(1)连结交于，连为中点，为中点，，平面，平面，平面．………………（6分）（2）过作于，连结，………(7分)平面，平面，，，平面，平面，平面，，平面，平面，为在平面内的射影，为与平面的所成角的平面角，又平面，为直角三角形，，且，．…（12分）21.已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为.（1）当时，求函数的最值；（2）试判断函数在区间的单调性；（3）设，试证明：.参考答案：当时，方程的两实根为，当时，，在为单调递增函数，的最小值为，的最大值为；（2）由题知：时，所以，在区间为单调递增函数；

（3）由（2）知，又由题得：，∴∴∴22.为缓解某地区的用电问题，计划在该地区水库建一座至多安装4台发电机的水电站.为此搜集并整理了过去50年的水文数据，得如下表：年入流量年数103082将年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位:亿立方米）在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年得年入流量相互独立.（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可