广东省阳江市阳春半山塘中学高三数学文下学期期末试题含解析

广东省阳江市阳春半山塘中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，为的导函数，则的图象是（

）

参考答案：A：因为，所以，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B、D，因为当时，，所以当从右边趋近于0时，，所以，故选A。2.直线y=2x与抛物线所围成的曲边图形的面积是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D3.已知f（x）为定义在上的函数，f'（x）是它的导函数，且恒成立，则（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），整理后即可得到答案．【解答】解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0，由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0，所以函数g（x）在x∈（0，）上为增函数，则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），对照选项，变形得A正确；故选：A．4.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．5.已知数列满足（），将数列中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（

）A．8

B．2

C．3

D．7参考答案：B由（），可得此数列为：，的整数项为,∴数列的各项依次为：，末位数字分别是，∵，故的末位数字为2，故选B．6.下列说法正确的是（）A．命题“2≥1”是假命题B．命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是：x0∈R，+1＜0C．命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题是“若2a＞2b，则a≤b”D．“x＞1”是“x2+x+2＞0”充分不必要条件参考答案：D【考点】四种命题．【分析】利用命题的定义以及四个命题之间的关系分别对选项分析选择．【解答】解：A，“2≥1”不是命题；故A错误；B．命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是：≥0；故B错误；C．命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题是“若2a≤2b，则a≤b”；故C错误；D．“x＞1”能够推出“x2+x+2＞0”；但是“x2+x+2＞0”?x∈R，不一定?“x＞1”；所以“x＞1”是充分不必要条件．故选：D．7.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则A.2B.

C.

D.参考答案：B8.若的大小关系（

）A.

B. C. D.与x的取值有关参考答案：D略9.已知向量，，，则“”是“”的（A）充要条件

（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B10.函数的单调递增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与曲线的交点个数是

．参考答案：2个略12.已知（），f’(x)为f(x)的导函数，f’(1)=2，则a=

参考答案：213.（﹣）5的展开式的常数项为（用数字作答）．参考答案：﹣10【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在（﹣）5展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．【解答】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．15.已知向量a,b夹角为

，且|a|=1，|2a－b|=，则|b|=________.参考答案：因为|2a－b|=，所以（2a－b）2=10，即4|a|2－4|a||b|＋4|b|2=10，所以4＋|b|2－4|b|cos45°=10，整理得|b|2－|b|－6=0，解得|b|=或|b|=（舍去）16.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：.试题分析：因为，所以由基本不等式知，，当且仅当即等号成立.问题恒成立转化为，即，由一元二次不等式解法知，.考点：一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.17.已知等腰中，，分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求在上的最大值和最小值.参考答案：C略19.为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：

使用手机不使用手机总计学习成绩优秀1040

学习成绩一般30

总计

100

（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，求所抽取的6人中“学习成绩优秀”和“学习成绩一般”的人数；（3）从（2）中抽取的6人中再随机抽取3人，求其中“学习成绩优秀”的学生恰有2人的概率．参考公式：，其中．参考数据：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参考答案：（1）填表见解析，有的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关；（2）4人，2人；（3）．（1）填表如下：由上表得，故有的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关．（2）由题意得，所抽取的位不使用手机的学生中，“学习成绩优秀”的有人，“学习成绩一般”的有人．（3）设“学习成绩优秀”的人为，，，，“学习成绩一般”的人为，，所以抽取人的所有结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，其中“学习成绩优秀”的学生恰有人的结果有，，，，，，，，，，，，共个，所以所求概率．20.如图，点是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径，、是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆C2于A、B两点，交椭圆C1于另一点D.（1）求椭圆C1的方程；（2）求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.参考答案：（1）；当直线的方程为时，的面积取最大值.【详解】试题分析：（1）首先根据题中条件求出和的值，进而求出椭圆的方程；（2）先设直线的方程为，先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系（勾股定理）求出直线截圆所得的弦长，然后根据直线与两者所满足的垂直关系设直线，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线截椭圆的弦长，然后求出的面积的表达式，并利用基本不等式求出的面积的最大值，并求出此时直线的方程.试题解析：（1）由题意得，椭圆的方程为；（2）设、、，由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为，故点到直线的距离为，又圆，，又，直线的方程为，由，消去，整理得，故，代入的方程得，设的面积为，则，，当且仅当，即时上式取等号，当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为21.已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【知识点】函数的奇偶性；不等式恒成立问题．

B4

E8【答案解析】(1)证明：略；（2）m≤－

.解析：(1)证明：因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(-x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝ex(x>0)，则t>1，所以m≤－＝－对任意t>1成立．因为≥2＋1＝3,所以－≥－，当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．因此m≤－【思路点拨】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．22.（本小题满分14分）设函数的图象在x=2处的切线与直线x－5y－12=0垂直．（Ⅰ）求函数的极值与零点；（Ⅱ）设，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)若，，，且，证明：参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以，解得：或，又，所以，

………2分由，解得，，列表如下：100极小值极大值2所以，，

………4分因为，所以函数的零点是．

………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值大于在上的最小值，即当时，”，

………6分因为，①当时，因为，所以，