简谐振动黄颂翔

简谐振动黄颂翔第一页，共五十页，编辑于2023年，星期五简谐振动例题例题1有一轻弹簧，当下端挂m1=10g的物体而平衡时，伸长量为4.9cm。用这个弹簧和m2=16g的物体连成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向。将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度v0=5cm/s并开始计时，试求m2的振动周期和振动表达式。2mO0xx分析:振动系统的周期(或角频率)由系统本身性质决定;要求系统的振动表达式,即要写出振幅、圆频率和初相这三个物理量.第二页，共五十页，编辑于2023年，星期五解:设弹簧原长为l，悬挂m1后伸长Δl达到平衡，则取坐标轴向上为正．取下m1挂上m2后，系统的角频率为2mO0xx第三页，共五十页，编辑于2023年，星期五能同时满足初始位移和初始速度的初相为一般将初相表示为弧度形式于是,振动表达式为问：如果取坐标轴向下为正，则初相变化否？第四页，共五十页，编辑于2023年，星期五第五页，共五十页，编辑于2023年，星期五例题3边长l=25cm的正方形木块，密度ρ=0.80克/厘米3，将木块刚好完全浸入水中后放手，求其运动形式及运动方程。振动表达式为：第六页，共五十页，编辑于2023年，星期五解：木块受浮力及重力作用.取竖直向下为坐标轴正方向，水面处为坐标原点.设木块平衡时浸入水中深度为b.则达平衡时有：如图，当C点离O点为y时，作用在木块上的合力为第七页，共五十页，编辑于2023年，星期五由牛顿第二定律符合简谐振动的运动学判据，即木块作简谐振动。第八页，共五十页，编辑于2023年，星期五即初始时刻在最大位移处。振动表达式为例题4劲度系数为k的弹簧下端固定于地面，压上一重物后弹簧压缩b=9.8cm，给重物m以冲击力使其具有向下的初速v0

=1米/秒，分析其运动及运动方程。第九页，共五十页，编辑于2023年，星期五解：取竖直向下为y轴正向，弹簧原长上端为原点O，当m在y位置时，受重力mg向下，弹性力-ky向上。由牛顿第二定律当重物的重力与弹性力平衡时，弹簧压缩量为b，此时弹簧处于平衡点Oˊ

mg=kb代入上式得第十页，共五十页，编辑于2023年，星期五即有可见物体作简谐振动。从这里看到，当物体除受回复力作用外，还受恒力作用时，仍然作简谐振动。在新坐标系中第十一页，共五十页，编辑于2023年，星期五求得由初始条件运动方程为由此可知，应注意初位相的确定与坐标轴的正向有关。第十二页，共五十页，编辑于2023年，星期五解（1）设这一简谐振动的表式为第十三页，共五十页，编辑于2023年，星期五由初始速度条件简谐振动的表式为由旋转矢量方法易求得初相第十四页，共五十页，编辑于2023年，星期五（2）由位移的表式得第十五页，共五十页，编辑于2023年，星期五因为物体向x轴负向运动，v<0,所以不取4π/3.求得第十六页，共五十页，编辑于2023年，星期五由旋转矢量能直观地看出，第一次回到平衡位置时旋转矢量转过的角度为因而所需时间为第十七页，共五十页，编辑于2023年，星期五例题6一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，现将物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg，待其静止后再把物体向下拉10cm，然后由静止释放，问：(1)此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A满足何条件？二者在何位置开始分离？解：小物体受力如图，设小物体随振动物体的运动加速度为a，按牛顿第二定律（取坐标轴向下为正）有即第十八页，共五十页，编辑于2023年，星期五系统的最大加速度第十九页，共五十页，编辑于2023年，星期五第二十页，共五十页，编辑于2023年，星期五例题7:单摆（数学摆）由牛顿第二定律有“―”表示切向分力矩的指向恒与角位移方向相反。第二十一页，共五十页，编辑于2023年，星期五振动表式为第二十二页，共五十页，编辑于2023年，星期五

例题8.复摆（物理摆）式中负号表示力矩的转向与角位移的转向相反。当摆角很小时，近似有第二十三页，共五十页，编辑于2023年，星期五根据转动定律或周期为k为复摆的回转半径.第二十四页，共五十页，编辑于2023年，星期五利用复摆可正确测定重力加速度的值，不同地质结构处的重力加速度不同，可进行地质探矿。单摆、复摆的振动表达式、速度（角速度）表达式、加速度（角加速度）、振幅（角振幅）及初位相的表达式与弹簧振子的情况相似。圆频率与周期又可表示为:第二十五页，共五十页，编辑于2023年，星期五问题：谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为1/4周期吗？走过该距离的一半所需的时间为多少？是1/8周期吗？振子从平衡位置出发经历1/8周期时运动的位移是多少？辨析：振子作简谐运动时，从平衡位置运动到最远点所需的时间是1/4周期.因振子的运动速度不是常数，振子作变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是1/8周期.从旋转矢量图可以看出，振子从平衡位置P运动到A/2处M点时，相应的振幅矢量转过了π/6的角度，即第二十六页，共五十页，编辑于2023年，星期五所以也就是说，振子从平衡位置O运动到A/2处所用的时间为T/12，而不是T/8.而振子从A/2处运动到最远点的时间为振子从平衡位置O出发，经过T/8时，位移为第二十七页，共五十页，编辑于2023年，星期五问题：一水平放置的弹簧振子，如图a所示，当其从A/2运动到-A/2时，所需的最短时间为1s.现将该弹簧振子竖直挂起，并让其振动，那么它的振动周期为多少？第二十八页，共五十页，编辑于2023年，星期五辨析：应当明确，弹簧振子的谐振周期（或圆频率）决定于系统本身的性质，即由弹簧的劲度系数和振子的质量来决定.只要k和m确定后，无论系统作怎样的简谐振动，周期都相同，即按题意作旋转矢量图，当振子从A/2运动到-A/2时，相当于振幅矢量A从φ1=π/3旋转到φ2=2π/3，即转过了π/3的角度.因而转过π/3角度所用的时间是T/6.即T/6=1，T=6s.第二十九页，共五十页，编辑于2023年，星期五例1：如图所示，有两个完全相同的弹簧振子a和b，并排放在光滑的水平桌面上，测得它们的振动周期都是2s.现将两物体都从平衡位置向右拉开5cm，然后先释放a振子，经过0.5s后，再释放b振子.如果从b释放时开始计时，求两振子的振动表达式.在同一坐标系中画出两者的振动曲线，并用旋转矢量表示这两个振动.解：因两振子的周期相同，所以圆频率也相同，其值为第三十页，共五十页，编辑于2023年，星期五设两振子的振动表达式分别为现由初始条件来确定振幅和初相位.对振子b来说，t=0时，有由此可得则振子b的振动表达式为第三十一页，共五十页，编辑于2023年，星期五对振子a来说，t=0时，它已开始振动了0.5s，由于两振子完全相同，所以t=0时，a振子的位移和速度就是t=0.5s时b振子的位移和速度，即由此可得：因而振子a的振动表达式为第三十二页，共五十页，编辑于2023年，星期五这就是说，a振子的振动相位要比b振子超前π/2.它们的振动曲线如图（a）所示.用旋转矢量表示，则如图（b）所示.第三十三页，共五十页，编辑于2023年，星期五例2：一质量可忽略不计的弹簧下端，悬挂质量为4kg的物体，弹簧伸长20cm，再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，试证明此振动为简谐振动，并求：（1）物体的振动方程；（2）物体在平衡位置上方5cm处弹簧对物体的拉力；（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置上方5cm处所需要的最短时间.第三十四页，共五十页，编辑于2023年，星期五解：如图所示，以平衡位置为原点，向下为x轴的正方向，在挂物体达平衡位置时有当物体离开平衡位置x距离时，弹簧实际的伸长量为（x+l0），则物体所受到的合外力为可见，物体所受到的合外力与水平放置的弹簧振子是相同的，因此，该振动是简谐振动.第三十五页，共五十页，编辑于2023年，星期五（1）由已知条件可知振动的圆频率t=0时，x0=0.1m,v0=0,可得则振动方程为第三十六页，共五十页，编辑于2023年，星期五（2）物体在平衡位置上方5cm处时（3）设t1时刻物体在平衡位置，此时x=0,即因为此时物体向上运动，所以由此可得第三十七页，共五十页，编辑于2023年，星期五再设t2时刻物体在平衡位置上方0.05m处，此时x=-0.05m,即第三十八页，共五十页，编辑于2023年，星期五例3：已知某质点作简谐振动的振动曲线如图（a）所示，试求该质点的振动方程.解：要求质点的振动方程，即要求出振幅、圆频率和初相.由振动曲线易看出振幅A.角频率和初相可根据振动曲线用旋转矢量法或解析法求出.下面分别用两种方法求解.方法1：旋转矢量法.由图可见，，t=0时刻质点的振动状态为第三十九页，共五十页，编辑于2023年，星期五所对应的旋转矢量OM如图（b）所示.由图可见，质点在t=0时的振动初相为且有由图（a）可见，t=0.5s时质点的振动状态为x=0,v>0;对应的旋转矢量为OP，即历时Δt=0.5s,旋转矢量从OA转到了OP，共转过了π/4，所以第四十页，共五十页，编辑于2023年，星期五故有质点的振动方程：或：方法2：解析法.将t=0时刻代入振动方程，有第四十一页，共五十页，编辑于2023年，星期五由图（a）可知，t>0时质点离开平衡位置的位移变小了，因此t=0时刻质点的速度向着平衡位置，是正的，即所以，取初相已求出，故该质点的振动方程为将t=0.5s时，x=0代入，有第四十二页，共五十页，编辑于2023年，星期五即由于初相取的是负角，振动状态从O点传到P点需要0.5s，故这里也应取负角，即得若初相取的是正角5π/4，则振动方程为将t=0.5s时，x=0代入，有第四十三页，共五十页，编辑于2023年，星期五由于初相取的是正角，振动状态从O点传到P点需要0.5s，故这里也应取正角，即即得故有质点的振动方程：或：第四十四页，共五十页，编辑于2023年，星期五例4：如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm的两点A、B，历时2s，并且在A、B两点处具有相同的速度；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点.试求该质点运动的周期和振幅.解：取坐标Ox沿AB连线，坐标原点处在A、B连线中点，如图所示.设质点的振动方程为由于，且，所以A、B两点坐标为第四十五页，共五十页，编辑于2023年，星期五用旋转矢量法求振幅.质点从O点运动到B点所经历的时间为Δt=1s，旋转矢量从P0点旋转到PB点，转过的角度为Δφ=ωΔt=π/4,如图所示.在ΔOPBB中，有所以振幅由连续两次从相反方向通过B点历时2s知，T/4=2，T=8s.第四十六页，共五十页，编辑于2023年，星期五例5：如图所示，一弹簧振子沿x轴作简谐振动，振子质量m=2.5kg,弹簧的劲度系数k=250N/m,当振子处于平衡位置右方且向x轴的负方向运动时开始计时（t=0），此时的动能Ek=0.2J,势能Ep=0.6J，试求：（1）（t=0）时，振子的位移和速度；（2）系统的振动表达式.解：（1）由t=0时Ep=0.6J知，得第四十七页，共五十页，编辑于2023年，星期五据题意可知，在t=0