2022-2023学年湖南省邵阳市武冈城西中学高三数学文联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市武冈城西中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图象如图所示，则满足的关系是（

）x

A．

B．C．

D．参考答案：A略2.集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，所以，选C.考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3.已知集合A. B. C. D.参考答案：B略4.如图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是A. B. C. D.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】C

由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而-2＜a＜-1，

而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，

∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．【思路点拨】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．5.若集合A={x||x|＜1}，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1] B．[﹣1，1] C．（0，1） D．（﹣∞，1]参考答案：A【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1}=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．6.若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：D7.若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B方程可化为，因其有两个不等实数根，所以，以为

横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系如下图所示，区域即为阴影区域.故由几何概型得，所求事件的概率为.8.变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3|x|+|y﹣2|的取值范围是（）A．[1，8] B．[3，8] C．[1，3] D．[1，6]参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：∴x≥0，y≤2，∴z=3|x|+|y﹣2|=3x﹣y+2，由z=3x﹣y+2得y=3x﹣z+2，平移直线y=3x﹣z+2，由图象可知当直线y=3x﹣z+3经过点A时，直线y=3x﹣z+3的截距最大，此时z最小，由，解得A（0，1），此时zmin=3×0﹣1+2=1，当直线y=3x﹣z+2经过点B（2，0）时，直线y=3x﹣z+2的截距最小，此时z最大，此时zmax=3×2﹣0+2=8，故1≤z≤8，故选：A．9.已知，集合，集合，若，则A．1

B．2

C．4

D．8参考答案：A【知识点】集合的运算【试题解析】若，则．所以

所以m+n=1．

故答案为：A10.若函数f（x）若af（－a）＞0，则实数a的取值范围是（

）

A．（－1，0）∪（0，1）

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正项数列为等比数列且的等差中项，若，则该数列的前5项的和为_________参考答案：【知识点】等比数列的前n项和．D2

【答案解析】31

解析：设正项数列等比数列{an}的公比为q，∵5a2是a4与3a3的等差中项，∴10a2=a4+3a3，∴10a2=，又a2=2，∴20=2q2+6q，又q＞0．解得q=2．∴a1==1．∴该数列的前5项的和==31．故答案为：31．【思路点拨】利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．12.若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是

▲

.参考答案：略13.已知等差数列的前项和为,并且,数列满足=,记集合=,若的子集个数为16,则实数的取值范围为

.参考答案：本题考查等差数列的前n项和公式,集合.因为等差数列中,联立解得,即,,;而=,所以=;构造函数=,当时单增,当时单减,且,,,;而的子集个数为16,所以中的元素个数为4,即;所以.【备注】等差数列:,.14.若实数满足，则的最小值是

．参考答案：，得，（时取等号）．15.若，则,,,按由小到大的顺序排列为

参考答案：

解析：由糖水浓度不等式知，且，得，即16.双曲线的渐近线方程为_____；离心率为______.参考答案：由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴，，所以，即，所以双曲线的渐近线为，离心率。17.（5分）已知i为虚数单位，则复数z=的实部为．参考答案：【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解：复数z===的实部为．故答案为：．【点评】：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于4.6的人数，求X的分布列和数学期望.参考答案：（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为，…………2分B班5名学生的视力平均数为.

………………3分从数据结果来看A班学生的视力较好.

………………4分（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大.

………………7分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班的5名学生中有2名学生视力大于.则的所有可能取值为，，.

………………8分所以；

………………9分；

………………10分.

………………11分所以随机变量的分布列如下：012………………12分故.

………………13分

略19.给定椭圆C：+=1（a＞b＞0）．称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，c=，a=，则b2=a2﹣c2=1，从而得到椭圆方程和其“准圆”方程；（2）讨论当P在直线x=上时，显然不垂直；当P不在直线x=上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于k的方程，求出两根之积，判断是否为﹣1，即可判断l1，l2垂直．解答： 解：（1）由题意可得，c=，=a=，则b2=a2﹣c2=1，则椭圆C的方程为+y2=1．其“准圆”方程为x2+y2=4．（2）①设P（±，±1），则过P的直线l1：x=±，则l2的斜率k≠0，即它们不垂直；②设P（m，n）（m≠±），m2+n2=4，过P的直线为y﹣n=k（x﹣m），联立椭圆方程，消去y，得到（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3=0，由于直线与椭圆C都只有一个交点，则△=0，即36k2（n﹣km）2﹣4（1+3k2）?3=0，化简得，（3﹣m2）k2+2kmn+1﹣n2=0，k1k2===﹣1．即l1，l2垂直．综上，当P在直线x=上时，l1，l2不垂直；当P不在直线x=上时，l1，l2垂直．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两直线的位置关系，直线和椭圆的位置关系，方法是联立直线和圆椭圆方程，利用整理后的一元二次方程的判别式求解．此题属中档题．20.已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，三角形△ABC的面积为，且，求b+c的值．参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降幂公式、辅助角公式等对进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到的值.（2）由得到的大小，利用面积公式得到的值，再由余弦定理，配凑出，得到答案.【详解】解：（1）的最大值为，故，可得（2），可得：，，可得，由三角形面积公式得，，可得：，由余弦定理得，，可得：，而【点睛】本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21.是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）。参考答案：解:假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n（n+1）2=记Sn=1·22+2·32+…+n（n+1）2设n=k时上式成立，即Sk=

（3k2+11k+10）那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2=

（3k2+5k+12k+24）=［3（k+1）2+11（k+1）+10］也就是说，等式对n=k+1也成立。综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立22.已