2022年湖南省娄底市水月中学高三数学文联考试卷含解析

2022年湖南省娄底市水月中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是（

）A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：A设切点为，，所以切线方程为，把点A（2,1）代入得：，整理得：，即，次方程有三个解，所以过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是三条。2.分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（

）A．15

B．16

C.

17

D．18参考答案：D3.已知集合（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略4.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是 （

） A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.设函数，若，，，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】把化成，利用对数函数的性质可得，再利用指数函数的性质得到，最后根据的单调性可得的大小关系.【详解】，因为且，故，又在上为增函数，所以即，故选D.【点睛】本题考查对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.6.设椭圆的左焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，则的值是（

）A.2 B. C.4 D.

参考答案：C分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.详解：设椭圆的右焦点为连接因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.7.若关于x的不等式xex﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）参考答案：B【考点】其他不等式的解法．【分析】设g（x）=xex，y=ax﹣a，求出g（x）的最小值，结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：设g（x）=xex，y=ax﹣a，由题设原不等式有唯一整数解，即g（x）=xex在直线y=ax﹣a下方，g′（x）=（x+1）ex，g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=ax﹣a恒过定点P（1，0），结合函数图象得KPA≤a＜KPB，即≤a＜，，故选：B．8.已知一组正数的方差为，则数据的平均数为：A．2

B．3

C．4

D．6参考答案：C略9.,则的大小关系是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知对任意实数，有，，且时，，，则时

（）A.，

B.，C.，

D.，

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为．参考答案：139略12.（4分）（2015?杨浦区二模）已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线ln与圆x2+y2=n2相切，且ln交y轴的正半轴于点Pn，交x轴于点Qn，则的值为．参考答案：【考点】：极限及其运算；直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：设切线ln的方程为：y=nx+m，由于直线ln与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线ln的方程为：y=nx+n，可得Pn，Qn，可得|PnQn|．再利用数列极限的运算法则即可得出．解：设切线ln的方程为：y=nx+m，∵直线ln与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线ln的方程为：y=nx+n，∴Pn，Qn．∴|PnQn|==1+n2．∴===．故答案为：．【点评】：本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.设椭圆的上顶点为B，右顶点为A，右焦点为F，E为椭圆下半部分上一点，若椭圆在E处的切线平行于AB，且椭圆的离心率为，则直线EF的斜率是

．参考答案：14.若x，y满足，则的取值范围是

．参考答案：[，6]

【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故答案为：[，6]15.（几何证明选讲）如图,在圆中直径与弦垂直，垂足为，⊥,垂足为,若,则=____________ 参考答案：5【知识点】与圆有关的比例线段．N1

解析：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF?DB=DE2=5．故答案为：5【思路点拨】利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF?DB=DE2=5．16.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是

．参考答案：略17.曲线f（x）=x3+x在（1，f（1））处的切线方程为．参考答案：4x﹣y﹣2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）=x3+x的导数为f′（x）=3x2+1，可得在（1，f（1））处的切线斜率为4，切点为（1，2），即切线的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0．故答案为：4x﹣y﹣2=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在中，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.

参考答案：解：（1）∵∴………2分∴∴……4分依椭圆的定义有：∴，…………6分又，∴………7分∴椭圆的标准方程为……………8分（求出点p的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分。）（2）

椭圆的右顶点，圆圆心为，半径。假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则，圆心到直线的距离………………10分当直线斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离（符合）……………11分当直线斜率存在时，设的方程为，即，∴圆心到直线的距离，无解……………13分综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧，此时方程为…15分。

19.设关于的函数，其中为上的常数，若函数在处取得极大值．(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)若函数的图象与直线有两个交点，求实数的取值范围；(Ⅲ)设函数，若对任意地，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(Ⅰ)

………2分因为函数在处取得极大值所以,

………4分解………5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，令得或（舍去）在上函数单调递增，在上函数单调递减当时，，所以,函数在区间上单调递增，在区间上单调递减………7分所以,当时，函数取得最大值，当时，即所以，当时，函数的图象与直线有两个交点，………9分(Ⅲ)设………10分

当时,，在递增，不成立，（舍）……11分当时当，即时，在递增，，不成立当，即时，在递增，所以，解得

，所以，此时

当时，在递增，成立；当时，不成立，综上，

………13分略20.在ΔABC中，三个内角，，的对边分别为，，，其中，且(1)求证：ΔABC是直角三角形；(2)设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，，用的三角函数表示三角形的面积，并求面积最大值.[来源:学,科,网Z,X,X,K]参考答案：(1)证明：由正弦定理得，………………2分整理为，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B或A＋B＝∵，∴A＝B舍去.由A＋B＝可知c＝，∴ΔABC是直角三角形

…………6分(2)由(1)及，得，

……………７分在RtΔ中，

所以，…………………9分，

……12分因为，所以，当，即时，最大值等于

……14分

21.已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f（x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）①求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程；②设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通过两次求导，判断F（x）的单调性，即可得证；（2）由题意可得存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，两次求导，判断单调性，对a讨论，分①当a≥时，②当a＜时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立?存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，可得u（x）在[0，+∞）单调增，则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，解得a＞e；②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），h′（x）=1﹣=，另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．则h（x）≥h（）=0．设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（x）＞g（0）＞0，则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查推理能力和运算能力，属于难题．22.(本小题满分13分)已知函数,函数（Ⅰ）当时,求函数的表达式;（Ⅱ）若,函数在上的最小值是2,求的值;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,