第六章迭代法数值分析

第六章迭代法数值分析第一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五§1.引言迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。第二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五引入误差向量则可得由问题是在什么条件下所以等价于也即第五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五§2.基本迭代法设有其中A为非奇异矩阵将A分解成其中M是可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解由此,原问题就可转化为等价方程得:可构造迭代法第六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五Jacobi迭代法第七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五

Jacobid迭代的矩阵形式第九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解.B称迭代矩阵.第十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法第十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五用矩阵可表示为:移项得又所以可逆第十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五也即选取M为A的下三角部分，即M=D－L，Ａ＝Ｍ－N，则Ａx=b可等价为（M－N)x=b联系上面已经得到的矩阵迭代形式,为统一起见,记:A=D－L－U第十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五等价为其中或其中Ｇ即为G-S迭代法的迭代矩阵第十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第二十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下：第二十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五松弛(SOR)法第二十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第二十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一种修正.假设已知:及首先利用G-S迭代计算预测值加权平均可得:即得再由和的前i-1个分量第二十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第二十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五返回第二十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五松弛法计算过程如下：第二十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五引入误差向量则可得由等价于问题是在什么条件下所以等价于也即§3.迭代法的收敛性作:第二十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第二十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五注:其中为矩阵的任一种算子范数(p244定理1)

第三十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五注第三十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五迭代法基本定理第三十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第三十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五矩阵的谱半径定理2第三十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五由此得P248的定理5(迭代法收敛的充分条件)定理5设有方程组和其定常迭代法如果B的某种算子范数则:1.迭代法收敛．即对任取的有２．３．４．证明第三十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五(P252定理8)第三十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第三十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第三十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第三十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五(特殊方程组迭代法的收敛性P249)第四十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第四十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五定理6:(对角占优定理P250)如果矩阵A为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵,则A为非奇异矩阵.第四十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五(P251定理7,9,10)<例同时G-S迭代法也收敛.如1．条件的矩阵，证明第四十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第四十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第四十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五特别第四十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第四十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五误差估计第四十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第四十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第五十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五第五十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五证明：2.3.1.返回第五十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五注:返回第五十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五证明:只证关于简单迭代法的两个，其余两个的证明类似.(1)设A具有严格对角优势，以下证ρ(BJ)<1反证法，设BJ有特征值μ,|μ|≥1.3.20第五十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五所以μD+L+U也具有严格对角优势，所以|μD+L+U|≠0，所以|μ|≥1不可能成立，所以|μ|<1，即ρ(BJ)<1。3.21与矛盾第五十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五(2)A不可约且具有对角优势，证ρ(BJ)<1，由定理有A非奇异，又（否则A必有一行元素全为零，与A非奇矛盾）用反证法，设BJ有特征值μ,|μ|≥1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意μD+L+U中非零元素的位置与A中非零元素的位置完全