第四章 流体动力学基础

第四章流体动力学基础第一页，共七十二页，编辑于2023年，星期五第四章作业4.34.44.54.94.104.114.134.144.154.194.294.31第九周交作业第二页，共七十二页，编辑于2023年，星期五目录绪论第一章流体及其主要物理性质第二章流体静力学第三章流体运动学基础第四章流体动力学基础第五章相似原理和量纲分析第六章理想流体不可压缩流体的定常流动第七章粘性流体流动第八章定常一元可压缩气流第九章计算流体力学第三页，共七十二页，编辑于2023年，星期五

流体动力学是按照牛顿力学的基本定律建立起流体力学的基本方程和定解条件，并根据流动的基本定律揭示流动过程中的一些主要性质。能量守恒定律（热力学第一定律）质量守恒定律动量定律（牛顿第二定律）基本的物理定律流体动力学积分型方程流体动力学微分型方程拉格朗日方法欧拉方法（物质导数）流体运动数学描述方法流体运动性质牛顿粘性定律等边界条件、初始条件第四页，共七十二页，编辑于2023年，星期五第四章流体动力学基础§4.1系统和控制体，雷诺输运定理§4.2对控制体的流体力学积分方程§4.3微分形式的连续性方程§4.4微分形式的动量方程——N-S方程第五页，共七十二页，编辑于2023年，星期五系统是指某一确定流体质点集合的总体。系统所包含的流体具有确定的质量，系统的边界把系统和外界分开。边界上有力的相互作用和能量交换，系统随流体流动，其边界形状和所包围的空间随流动不断变化。系统与外界没有质量交换。控制体的定义：§4.1系统和控制体，雷诺输运定理

系统的定义：

控制体是指流场中某一确定的空间区域，控制体的边界为控制面。控制界面上有力的作用和能量交换。控制面上可以有流体流进或流出，即质量交换。控制体的形状可根据流体流动情况和边界位置任意选定，一旦选定之后，控制体的形状和位置相对坐标系固定不变。第六页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.1系统和控制体，雷诺输运定理雷诺输运定理：

举例：动量定理运用于流体系统F是外界作用系统的合力，K是系统的动量，由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即求该流体系统体积分的物质导数。雷诺输运定理就是用来解决用欧拉变量表示系统体积分的物质导数的问题第七页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.1系统和控制体，雷诺输运定理流体系统所具有的物理量对时间的随体导数：系统所具有的物理量系统物质导数定义第八页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.1系统和控制体，雷诺输运定理（速度矢量和控制面外法线单位矢量的夹角大于90°）第九页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.1系统和控制体，雷诺输运定理第十页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.1系统和控制体，雷诺输运定理系统内所具有的某种物理量对时间的随体导数也是由两部分组成的：当地导数，是控制体内物理量总量的对时间的变化率，是由流场不稳定引起的。迁移导数，是单位时间流进和流出控制体的某种物理量的差值（净流率），是由流场的不均匀性和系统的空间位置和体积随时间改变而引起的。或在定常流动条件下，整个系统内部流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细情况。上式为流体系统内物理量对时间的随体导数，雷诺输运公式。定常流动条件下，

则有

第十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期五第四章流体动力学基础§4.1系统和控制体，雷诺输运定理§4.2对控制体的流体力学积分方程§4.3微分形式的连续性方程§4.4微分形式的动量方程——N-S方程第十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期五在流场内取一系统，其体积为则系统内流体质量§4.2对控制体的流体力学积分方程根据输运公式根据流体系统的质量不会随时间发生变化的质量守恒定律有积分形式的连续性方程A、积分形式的连续性方程取单位体积的质量第十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期五即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流入与流出控制体的流体质量相等。§4.2对控制体的流体力学积分方程非定常流动情况下：在定场流动条件下，控制体内的流体质量不随时间变化，通过控制面的流体质量通量等于零。

定常流动条件下：第十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程B、动量方程

式中

代表单位质量流体的动量，则为流体系统的动量，它为矢量。流体系统的随体导数为：根据输运公式根据动量定理：流体系统动量的时间变化率等于作用在流体系统上的外力的矢量和（包括质量力和表面力）。第十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程如果式中：为单位质量流体上的质量力，为沿外法线方向作用在上的表面应力。由于时刻流体系统与控制体重合，故上式可写成：右端——表示作用在流体系统上的所有外力的矢量和。左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化产生的力，它反映流体运动的非定常性

左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量不等所产生的力。积分形式的动量方程第十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程定常流动条件：定常流动条件下，控制体内质量力与控制面上的表面力的主矢量之和应等于单位时间通过控制体表面的流体动量通量的主矢量，而与控制体内部的流动状态无关。第十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程动量方程是矢量方程，在直角坐标系中的分量式如下：动量方程应用上式时必须注意：力和速度沿坐标轴正向时为正矢量点积存在正负，流入为负，流出为正第十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程伯努利方程xyz流场中一流管元：定常、无摩擦、均质、不可压定常流动条件下：质量守恒第十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程动量方程：外力：只有两端面的压力、流管侧表面的压力和质量力伯努利方程P64定常、无摩擦、均质、不可压控制体为运动的情况时，连续方程和动量方程的情况见书P65两方程的形式和固定控制体的形式一样，只是将速度换为相对于运动控制体的相对速度例题4-6第二十页，共七十二页，编辑于2023年，星期五

代表单位质量流体的动量矩，则为流体系统的动量矩，它的随体导数为：§4.2对控制体的流体力学积分方程C、动量矩方程根据动量矩定理：流体系统动量矩的时间变化率等于作用在流体系统上的外力矩的矢量和，即：积分形式的动量矩方程根据输运公式第二十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程定常流动条件下：定常流动条件下积分形式的动量矩方程忽略表面力和对称质量力所产生的力矩，对定常流动第二十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程动量矩方程在旋转式流体机械中的应用与旋转半径垂直的速度分量产生的转矩转递给叶轮的功率能量头CV第二十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程根据能量守恒和转换定律，流体系统中能量的时间变化率应等于单位时间质量力和表面力对系统所做的功加上单位时间与系统交换的热量。e单位质量流体的能量，则

流体系统的总能量根据输运公式D、能量方程初始时刻系统与控制体重合第二十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.2对控制体的流体力学积分方程式中功由从外界向控制体内输入的功率和表面力所完成的功率。表面力对控制体作的功率：1、正应力对控制体作的功率对整个控制面对微元控制面2、切应力对控制体作的功率对整个控制面第二十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期五2、切应力对控制体作的功率对整个控制面上述面积分分三种情况讨论：1、如果控制面的部分表面为旋转表面，则这部分表面上的切应力所作的功已归入轴功之中；2、部分控制体表面可能是静止固体表面，则因为此时，在这部分控制面上的积分为零；3、控制面表面是流体流进或流出控制体的通道，此时可以通过恰当选取控制面的方位和形状使控制面和流体的速度相互垂直，，这部分表面积分也为零。§4.2对控制体的流体力学积分方程对整个控制面1、正应力对控制体作的功率在上述控制面条件下，外界对控制体做功为：第二十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期五4.2对控制体的流体力学积分方程控制体能量方程外界对控制体作的功率第二十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期五4.2对控制体的流体力学积分方程对于定常流动对于定常绝能流动重力场中的一维绝能定常流积分形式的能量方程第二十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期五4.2对控制体的流体力学积分方程流体流动参数在进、出口截面上均匀分布，且控制体只有一个进口和一个出口时第二十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期五第四章流体动力学基础§4.1系统和控制体，雷诺输运定理§4.2对控制体的流体力学积分方程§4.3微分形式的连续性方程§4.4微分形式的动量方程——N-S方程第三十页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.3微分形式的连续性方程一）微分形式的连续性方程的推导：[微元控制体内流体质量增长率]+[通过微元控制体界面流出的总质量流量]=0X方向y方向z方向第三十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.3微分形式的连续性方程[微元控制体内流体质量增长率]+[通过微元控制体界面流出的总质量流量]=0上式为微分形式的连续性方程，是流体力学重要的基本方程之一。定常密度场第三十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.3微分形式的连续性方程不可压缩流体上式对定常流动和非定常流动都适用第三十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期五第四章流体动力学基础§4.1系统和控制体，雷诺输运定理§4.2对控制体的流体力学积分方程§4.3微分形式的连续性方程§4.4微分形式的动量方程——N-S方程第三十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程一、粘性流体中的应力理想流体中，由于不存在粘性，无论流体是静止的还是在运动，流体中没有切应力。只有法向应力的存在。而且此法向应力只能是压应力，它的大小与作用面无关，只是作用点空间位置的函数。YXCZσzσxσyσnBAo第三十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期五2）粘性流体中，由于存在粘性，流体作用面上除了有法向应力外还有切向应力。总应力不再垂直于作用面。§4.4微分形式的动量方程——N-S方程粘性流体中一点的应力可以用3个相互垂直平面上的9个应力分量表示取n的方向为y轴正向：取n的方向为x轴正向：取n的方向为z轴正向：第三十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程在流场中取一正六面体流体微团，边长为中心点的应力张量为：可以得到六个面上的应力张量大小和方向，如图第三十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程可以得到三个坐标轴方向的合力大小：第三十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期五1、应力形式的粘性流体运动微分方程§4.4微分形式的动量方程——N-S方程二）不可压缩粘性流体的运动微分方程（N-S方程）推导

根据牛顿第二定律，可写出微团的运动微分方程

第三十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程上式为应力形式的粘性流体运动微分方程第四十页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程上述方程是用应力形式表示的粘性流体运动微分方程，式中的单位质量力和密度是已知的，其余九个应力和三个速度分量都是未知数，共计有十二个未知数。三个运动微分方程和一个连续性方程联立只能解四个未知数。因此必须找出应力与应变速度之间的关系才能使未知数减少。第四十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期五在OYZ平面上A点取流体微团，设转动角速度为根据达朗伯原理，作用在平行六面体上的各力对通过中心A并与X轴的力矩之和应等于零。

§4.4微分形式的动量方程——N-S方程2、切向应力与旋转变形速度之间的关系：第四十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程广义牛顿内摩擦定律切应力与剪切变形速度之间的关系：第四十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程3、法向应力与线变形速度之间的关系：

粘性流体中，由于受粘性的影响，流体微团既有角变形又有线变形，会产生附加的法向应力（该应力等于动力粘度与两倍的线应变速度的乘积。）理想流体中，同一点各方向的法向应力是等值的，即第四十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程法向应力与线变形速度之间的关系切向应力与旋转变形速度之间的关系上述应力和变形速度关系的方程称为本构方程第四十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程对于不可压缩流体，最后一项=0，上式可简化为：引入压强梯度和拉普拉斯算子：N-S方程第四十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程1、N—S方程是二阶非线性偏微分方程，仅适用于牛顿流体，在流体力学中具有普遍意义。但该方程解的存在性、唯一性和稳定性即该方程的适定性问题，至今在数学上还没有解决。该方程只能在一些特殊的边界条件下才有解析解；3、对层流或紊流状态时的真实流场，N—S方程都可应用，但对紊流的时均流场，N—S方程将演变为雷诺方程；2、对于理想流体，N—S方程变成不可压缩理想流体欧拉运动微分方程；对于静止流体又变成欧拉平衡方程；4、N—S方程的边界条件与理想流体欧拉运动方程不同。静止物面的边界条件为

运动物面的边界条件为第四十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期五§4.4微分形式的动量方程——N-S方程三、流体运动方程组的封闭问题a、流体的任何流动必须满足连续性方程和运动微分方程组，且方程组要封闭。b、连续性方程和运动微分方程组共计四个方程。在这四个方程中发现有五个未知数，方程组不封闭需增添封闭方程。c、封闭方程：对于不可压缩流体，密度等于常数，它的封闭方程为：对于正压流体，密度仅是压强的函数，它的封闭方程为：

第四十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期五A、初始条件

——初始条件是对不定常流动问题提出的，即给出某一时刻流场的中各点的所有运动参数值，方程组的解必须满足这一初始条件。§4.4微分形式的动量方程——N-S方程四、流体运动方程组的定解条件问题1）运动学条件——理想流体没有粘性，流体质点的速度与物面只能相切，即流体质点速度不可能有穿越物体表面的法向分量。B、边界条件2）动力学条件——指边界表面上的流体压力条件。根据作用于反作用定律，即流场边界面处流体的压力与固体壁面所受的压力相等。第四十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期五伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用

第五十页，共七十二页，编辑于2023年，星期五动量方程的应用伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用第五十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期五动量方程的应用1）弯曲喷管受力分析已知:设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用。求：(1)水流对喷管的作用力F的表达式

(2)若θ=30°,求水流对喷管的作用力

第五十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期五解：1.只包含水流的控制体2.建立如图所示坐标系oxy。3.由一维不可压缩流体连续性方程第五十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期五4.由伯努利方程因p3=0,p0=395332.85pa5.由一维定常流动动量方程设水对喷管的作用力F如图所示。本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力－F和压强合力。作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p0，方向沿x轴正向；出口截面压强为零：(1)F的表达式为(2)设θ=30°,F在x,y方向的分量式为第五十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期五压强合力动量变化讨论：(1)一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。(2)力F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例F大小相等，方向相反。(3)从计算结果来看,喷管受力中压强占主要成分,流体加速造成的动量变化引起的力只占次要成分.当θ角改变时,压强合力保持不变,仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小.如在Fx中动量变化占的比例在θ=83.62°时为零,在θ=180°时为最大值,占25%.第五十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期五动量方程的应用2）主动脉弓流动已知:图示人主动脉弓,设血液的密度为ρ=1055kg/m3

求：从控制体净流出的动量流量第五十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期五主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程解：建立坐标系oxy如图所示第五十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期五主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程讨论：计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主动脉弓壁的冲击力很小。Δ(mV)y=ρQ1(0.11V2cos16°+0.07V3cos6°+0.04V4cos23°-0.78V5-V1)

=0.1055(0.11×11.6×0.9613+0.07×18.2×0.9945+0.04×8×0.9205

-0.78×24.8-20.4)×10-2

=-0.039N

Δ(mV)x=ρQ1(－0.11V2sin16°+0.07V3sin6°+0.04V4sin23°)=0.1055(-0.11×11.6×0.2756+0.07×18.2×0.1045+0.04×8×0.3907)×10-2净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为

=-1×10–4N

第五十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期五动量方程的应用如果上下游的气体压强都相同，试证明，平板受到的气流作用力为例题：一块单位宽度的平板放在气流中平板上游的气流速度均匀分布，下游的速度分布为第五十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期五动量方程的应用4、利用动量方程计算作用力3、建立连续性方程1、作控制体2、确立坐标系解：第六十页，共七十二页，编辑于2023年，星期五伯努利方程、动量方程、动量矩方程的应用动量矩方程的应用第六十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期五已知:一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm,n

=4000转/分，。动量矩方程的应用CV1）混流式离心泵求：(1)输入轴矩Ts(2)输入轴功率

第六十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期五求：(1)输入轴矩Ts混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

已知:一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm, n=4000转/分，=3m/s。(2)输入轴功率

解：取包围整个叶轮的固定控制体CV，忽略体积力和表面力。设流动是定常的，由连续性方程可得CV第六十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期五混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

Vθ1=0,由欧拉涡轮机方程输入功率为

叶轮旋转角速度为

ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度为

Vθ2=ωR2=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

第六十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期五

动量矩方程的应用2）洒水器已知:洒水器示意图。R=0.15m,喷口A=40mm2,θ=30°,Q=1200ml/s

， 不计阻力。求：(1)Ts=0时，旋转角速度ω(1/s）；

(2)n=400转/分的轴矩Ts和轴功率

第六十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期五已知:洒水器示意图。R=0.15m,喷口A=40mm2,θ=30°,Q=1200ml/s， 不计阻力