第十章 矩阵位移法

第十章矩阵位移法1第一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-1概述一、引言静定结构：主要应用静力平衡条件求解；超静定结构1.结构力学手算方法精确解法：力法、位移法渐近法：力矩分配法等近似法：反弯点法、分层法等2.结构力学电算方法：结构矩阵分析法（1）计算手段：矩阵——数学工具矩阵使公式排列紧凑、具有统一形式，适宜于计算机计算过程的程序化与重复计算的要求。（2）计算工具：计算机（3）理论依据：矩阵分析法矩阵力法(柔度法)：以多余约束力为基本未知量；矩阵位移法(刚度法)：以结点位移为基本未知量。(便于编程、应用较多)矩阵位移法是有限元法的雏形，又称为“杆系结构的有限元”。2第二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五二、矩阵位移法的基本思路§10-1概述1、“拆”——单元分析（结构离散）单元—杆件（相邻结点之间的杆件部分）结点—杆件的转折点、汇交点、边界点、变截面点、荷载作用点等1)杆系结构的离散结果5362174⑥①②③④⑤P2)离散目的：建立各单元杆端位移与杆端力之间的关系式——单元刚度方程，由此得单元刚度矩阵。2、“搭”——整体分析引入静力平衡条件、变形协调条件、位移边界条件，将单元刚度矩阵集成，得到结构的整体刚度矩阵，进而可得结构的矩阵位移法基本方程，由方程即可解出结点位移——基本未知量。3第三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)一、一般单元1、局部坐标系ije2、单元杆端位移与单元杆端力的正号规定1)、单元杆端线位移、、、与单元杆端力、、、uiujvivjC

iC

jYiYjq

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jMiMj2)、单元杆端角位移、与单元杆端力、规定：、、、沿x轴正向为正，反之为负。uiujC

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j、、、沿y轴正向为正，反之为负。vivjYiYj规定：、、、顺时针转动为正，反之为负。q

iq

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jMj4第四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)3、单元杆端位移与单元杆端力的表示方法eeeeee······(1)······················(2)······················(3)······················(4)······················(5)······················(6)················局部码ijeujC

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jMj5第五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五4、建立单元杆端位移与单元杆端力之间的关系式——单元刚度方程§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)1X1Y1M2X2Y2M1q1u1v2u2v2q,,21NXNX=-=由转角位移方程，并考虑：2QY21=1QY12-=12vv-=D)(12uu-ll=EAND=由虎克定律：lEA()123212212)(6vvlEIlEIY-++-=qq()123212112)(6vvlEIlEIY--+=qq()122212642vvlEIlEIlEIM--+=qq()122211624vvlEIlEIlEIM--+=qq12eEI，EA，l6第六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五——单元刚度方程§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)=eeee即：“”问题，只要已知杆端位移就可以求杆端力ee单元刚度矩阵(局部坐标系)简写为：eee7第七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五二、单元刚度矩阵的性质§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)1、单元刚度系数的意义单刚中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。如元素代表当第j个杆端位移为单位位移（其它位移分量为零）时引起的第i个杆端力的值。单刚中第j列元素代表当第j个杆端位移为单位位移（其它位移分量为零）时引起的六个杆端力的值。e8第八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)ee=u1u2=1v1=1=1v2=1q

1=1q

2=1（1）（2）（3）（4）（5）（6）(1)(2)(3)(4)(5)(6)9第九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)ee由反力互等定理可知：

，单元刚度矩阵是对称矩阵。2、对称性3、奇异性ee只要已知杆端位移就可以求杆端力，且是唯一解；不存在反问题：“

”，即已知单元杆端力求单元杆端

位移，此时可能出现两种情况：

eee有无穷多组解。e可能无解一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵。e10第十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)表1.与单元刚度方程

相应的正、反两类问题eee11第十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)三、特殊单元一般单元的六个杆端位移分量可以指定为任意值。特殊单元的某个或某些杆端位移已知为零，特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的刚度矩阵中划去与零位移对应的行和列得到。1、连续梁单元的单元刚度矩阵∵连续梁通常忽略轴向变形，ee123①②1v1θ1u2u2v2θ①121θ2θ①12v1=0v2=又例①单元，u1u2=0=∴12第十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2、桁架单元的单元刚度矩阵eeee扩阶§10-2单元刚度矩阵(局部坐标系)3、忽略轴向变形时梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵ee=2M2v1v某些结点有竖向位移的连续梁的单刚123①②132①②13第十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)整体坐标系下的单元分析：

选取局部坐标系推导单元刚度矩阵，方便且单元刚度矩阵的形式简单。但是，在一个复杂的结构中，各单元的局部坐标系不尽相同，很不统一。为了进行整体分析，必须选一个统一的坐标系（称为整体坐标系)。按这个统一的坐标系来建立各单元的单元刚度矩阵。14第十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五一、单元坐标转换矩阵§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxα局部坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力α——两坐标间的夹角，以从x轴正向顺时针转到x轴正向为正。12αyx2115第十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)=eee1简写为：eeeeee单元坐标转换矩阵[T]是一正交矩阵：eee同理：eeee单元坐标转换矩阵TeeeT16第十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)二、单元刚度矩阵（整体坐标系）已推得：eee又有局部坐标系中的单元刚度方程：eeeeeee又已推得：eeeTeeeeeeeee（整体坐标系中的单元刚度方程）单元刚度矩阵（整体坐标系）17第十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)e（整体坐标系中的单元刚度矩阵）的性质：元素代表当第j个杆端位移为单位位移（其它位移分量为零）时引起的第i个杆端力的值。e1、单元刚度系数的意义ee由反力互等定理可知：

，单元刚度矩阵是对称矩阵。2、对称性3、奇异性一般单元的单元刚度矩阵（整体坐标系）仍是奇异矩阵，不存在逆矩阵：e18第十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)桁架单元整体坐标系中的单元刚度矩阵公式：eeX1X2Y1Y2eeee由公式：e另桁架单元的：eα1X2Xyxyx12EA，le其中，c=cosα，s=sinα对称19第十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例10.1求图示刚架中各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m2解：(1)×104§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)②①k1k2==求yx20第二十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五（2）求ke单元α=90°：21单元α=0：k2=×104§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)②①①①①21第二十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-3单元刚度矩阵(整体坐标系)×104×10422第二十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-4整体刚度矩阵([K])一、概述“搭”——整体分析：建立整体刚度矩阵[K]及整体刚度方程。传统位移法：先考虑各结点位移单独作用于结构所产生的杆端力、由静力平衡条件得附加约束中的约束力；再根据叠加原理得位移法基本方程。

先不考虑支承（约束）条件由单元刚度矩阵形成结构的原始刚度矩阵、再引入支承条件划去原始刚度矩阵中与位移为零对应的行和列即得结构的整体刚度矩阵。后处理法：先处理法：先考虑支承条件，再由单元刚度矩阵形成结构的整体刚度矩阵。具体做法直接刚度法（单元集成法）

！23第二十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五②①二、单元集成法形成整体刚度矩阵§10-4整体刚度矩阵1、结点位移分量的统一编码——总码000123040yxACB②①：整体分析中考虑支承条件将结点位移在结构中统一进行编码，

每个位移分量对应的编码序号称为该位移分量的“总码”。结构的结点位移列阵:{Δ}=[Δ1Δ2Δ3Δ4]T=[uAvAθAθC]T结构的结点力列阵:{F}=[F1F2F3F4]T2、单元结点位移分量的局部码(1)(2)(3)(5)(4)(6)(1)(2)(3)(4)(6)(5)将单元始、末两端的六个结点位移分量按u1、v1、θ1、u2、v2、θ2的顺序依次编码(1)、(2)、······、(6)。始端1末端224第二十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五3、单元定位向量λe：单元结点位移总码按照局部码(1)、(2)、····、(6)的顺序组成的列向量。§10-4整体刚度矩阵yx000123040ACB②①②(1)(2)(3)(5)(4)(6)①(1)(2)(3)(4)(6)(5)(1)→1(2)→2(3)→3(4)→0(5)→0(6)→4(1)→1(2)→2(3)→3(4)→0(5)→0(6)→0单元①单元②局部码→总码局部码→总码λ①λ②25第二十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-4整体刚度矩阵4、根据和形成整体刚度矩阵[K]keλe1).按单元定位向量将单元刚度矩阵中第i行第j列的元素定位在整体刚度矩阵[K]第λi行、第λj列的位置上。λekee定位规则：ee（对号入座）同号相加2).在[K]中同一位置（同号）上若有多个单元贡献的元素，则累加求和。26第二十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-4整体刚度矩阵三、单元集成法形成整体刚度矩阵[K]的实施方案1、根据结点位移总码的最大编码数确定整体刚度矩阵[K]的阶数，并将[K]置零，此时[K]为零矩阵。2、将每一个单元的单元刚度矩阵按照单元定位向量在[K]

中定位（对号入座），并与其它单元填入[K]同一位置的元素累加求和（同号相加），由单元刚度矩阵

直接形成整体刚度矩阵[K]。λekeke27第二十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五A{1,2,3}C{0,0,4}B{0,0,0}yx②①例10.2求例题10.1刚架的整体刚度矩阵。§10-4整体刚度矩阵已知单刚：[k]=1×104

(1)(2)(3)(4)(5)(6)λ①={123004}T

×104[K]=1234解：01005030000012300301000305030

(1)(2)(3)(4)(5)(6)λ②={123000}T

×104+12+0－30+0+300+0－30+0+10028第二十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-4整体刚度矩阵四、整体刚度矩阵[K]的性质1、整体刚度系数Kij的意义2、[K]是对称矩阵。（可由反力互等定理证明）4、[K]是稀疏矩阵（[K]中有许多零元素）和带状矩阵（[K]中的非零元素主要集中在以主对角线为中线的倾斜带状区域内）3、[K]是可逆矩阵（）。（因为已经考虑了支承条件）有了整体刚度矩阵[K]，仿照单元刚度矩阵的形式不难建立结构的整体刚度方程：。整体刚度矩阵[K]中的元素Kij称为整体刚度系数，表示当且仅当第j个结点位移分量为单位位移（其它结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力。29第二十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例10.3试求图示连续梁的整体刚度矩阵[K]。解：1）整理数据：结点编号、单元编号、建立坐标系，编制结点位移总码。{λ}=112{λ}=2232）单元定位向量：{λ}=3303）求单刚并集成整刚[K]：[k]=14i12i12i14i1(1)(2)↑↑124i12i12i14i1[k]=24i22i22i24i2(1)(2)↑↑23+4i22i22i24i2[k]=34i32i32i34i3(1)(2)↑↑30+4i31231

2300i1i2i31234③①②{2}{3}{0}{1}§10-4整体刚度矩阵30第三十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-4整体刚度矩阵五、特殊情况的结点位移总码1、铰结点的位移总码3{1,2,4}4{0,0,5}1{0,0,0}2{1,2,3}2、忽略轴向变形的结点位移总码1{0,0,0}4{0,0,0}2{1,0,2}3{1,0,3}31第三十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五解：1）整理数据：结点编号、单元编号、建立局部和整体坐标系，编制结点位移总码。例10.4集成图示刚架的整体刚度矩阵[K]。设刚架已知条件同例10.1、即各杆的几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4，

E=3×107kN/m2。2）单元定位向量：{λ}=1[123456]T{λ}=2[123000]T{λ}=3[457000]T3）按①、②、③单元次序依次进行单元集成[K]：§10-4整体刚度矩阵23145③①②xy{0,0,0}{0,0,0}{1,2,3}{4,5,6}{4,5,7}32第三十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五×104[k]=1

1234561234567[K]=104×－3030050010030000－30000012300－12300301000－3050－120－30012－30－3000030000123000k2=×104+12+0－30+0+300+0－30+0+100k3=×104457000+12+0－30+0+300+0－30+0+100－30?已知单元刚度矩阵4570000000000033第三十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-4整体刚度矩阵34第三十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五一、位移法基本方程§10-5等效结点荷载1.结构的整体刚度方程：{F}=[K]{Δ}

表示由结点位移{Δ}推算结点力{F}的关系式。只反映结构的刚度性质，不涉及结构上的实际荷载。并非用以分析原结构的位移法基本方程。2.位移法基本方程原结构123↓↓↓↓↓↓↓↓q－X2－Y2－M2状态一状态一：固定结点、只有荷载单独作用：{FP}={X2Y2M2

}T状态二状态二：放松结点、只有结点位移作用：{F}={－X2－Y2

－M2

}T=+原结构：有荷载和结点位移共同作用。X2Y2M2附加约束中的约束力y↓↓↓↓↓↓↓↓qx35第三十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-5等效结点荷载位移法基本方程就是基本体系中附加约束中的合力为零：{F}+{FP}=0其中状态二就是已知结点位移{Δ}求结点力{F}，即结构的整体刚度方程：{F}=[K]{Δ}

∴位移法基本方程成为：[K]{Δ}+{FP}=0矩阵形式表示的位移法基本方程原结构123↓↓↓↓↓↓↓↓q－X2－Y2－M2y↓↓↓↓↓↓↓↓qx状态一状态二=+X2Y2M236第三十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-5等效结点荷载二、等效结点荷载{Pe

}荷载可以是结点荷载，或是非结点荷载，或是两者的组合。对于非结点荷载可以换成与之等效的等效结点荷载{Pe

}。

荷载等效的原则是非结点荷载与等效结点荷载在位移法基本体系中产生相同的结点约束力{FP}。－X2－Y2－M2非结点荷载：{FP}={X2Y2M2

}T产生相同的结点约束力↓↓↓↓↓↓↓↓qX2Y2M2状态一等效结点荷载：{Pe}={－X2－Y2

－M2

}T∴{Pe}=－{FP}等效结点荷载公式：37第三十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-5等效结点荷载∴位移法基本方程成为：[K]{Δ}={P}

由位移法基本方程：[K]{Δ}+{FP}=0又由：{Pe}=－{FP}[K]{Δ}－{Pe}=0如果结构上另有直接结点荷载{Pd}：123↓↓↓↓↓↓↓qP2M0P1结构的整体刚度方程{F}=[K]{Δ}{F}换成综合结点荷载{P}{Pd}={P1P2M0

}T∴位移法基本方程成为：[K]{Δ}={Pe}解方程得基本未知量、结点位移：{Δ}=[K]－1{P}则得综合结点荷载{P}：{P}={Pe}+{Pd}38第三十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-5等效结点荷载原结构123↓↓↓↓↓↓↓↓q↓↓↓↓↓↓↓↓q状态一－X2－Y2－M2状态二=+X2Y2M2{Δ}=[K]－1{P}[K]{Δ}={P}

解方程{Δ}={Δ}+{0}结点位移杆端力e=eee+39第三十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-5等效结点荷载三、按单元集成法集成等效结点荷载{Pe

}1、在局部坐标系中求非结点荷载产生的各单元的固端力列向量：e2、形成局部坐标系中的单元等效结点荷载：ee3、形成整体坐标系中的单元等效结点荷载：eee5、形成综合结点荷载{P}

若结构还作用有直接结点荷载{Pd}，则{P}={Pe}+{Pd}。4、按单元集成法集成结构的等效结点荷载{Pe

}依次将各单元等效结点荷载中的元素按单元定位向量在结构的等效结点荷载{Pe

}中对号入座、同号相加，即得{Pe

}。ee！——查表40第四十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例10.5按单元集成法求结构的等效结点荷载。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yxe解：1)求单元①单元②§10-5等效结点荷载单元①的倾角α1=0，单元②的倾角α2=90°2)求eee！41第四十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五123000{Pe}=123401210-10+4+0－5§10-5等效结点荷载↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx{1,2,3}{0,0,4}{0,0,0}λ②={123000}T123004λ①={}T4125－103)单元集成法形成{Pe

}42第四十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-6计算步骤与应用举例矩阵位移法计算平面杆件结构的一般步骤：1、整理原始数据，对单元和结构进行局部编码和整体编码。2、在局部坐标系中形成各单元的单元刚度矩阵。e3、在整体坐标系中形成各单元的单元刚度矩阵：eeeee4、根据单元定位向量、由单元集成法形成结构的整体刚度矩阵[K]。λe5、求各单元在局部坐标系中的等效结点荷载和整体坐标系中的等效结点荷载。ee6、单元集成法形成整体结构的等效结点荷载{Pe

}；若结构还作用有直接结点荷载{Pd}，则综合结点荷载{P}={Pe}+{Pd}。7、解位移法基本方程[K]{Δ}={P}，求结点位移{Δ}=[K]-1{P}。eeeeeeeeeeee8、求各杆的杆端力：或：，。43第四十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-6计算步骤与应用举例局部码、总码

ee[K]e[K]{Δ}={P}{Δ}=[K]-1{P}

e矩阵位移法计算平面杆件结构的一般步骤：eeee44第四十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-6计算步骤与应用举例例10.6求内力。横梁b1×h1=0.5m×1.26m,立柱b2×h2=0.5m×1m.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m解：1)原始数据及编码（为方便计算设E=1）。213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}45第四十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}§10-6计算步骤与应用举例2)形成ee×10－346第四十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五e213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}§10-6计算步骤与应用举例3)形成e单元②：α=0：213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}47第四十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-6计算步骤与应用举例单元①、③：α=900：213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}48第四十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}§10-6计算步骤与应用举例4)形成[K]49第四十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五5)求等效节点荷载{Pe}及综合结点荷载{P}§10-6计算步骤与应用举例集成结构的等效结点荷载！↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m6m50第五十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五6)解基本方程[K]{Δ}={P}，即：§10-6计算步骤与应用举例213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}51第五十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-6计算步骤与应用举例7)求单元杆端力，单元①：↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m6m52第五十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§10-6计算步骤与应用举例↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m单元②：53第五十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m§10-6计算步骤与应用举例单元③：54第五十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五8)作内力图§10-6计算步骤与应用举例2.093.044.38M图(kN.m)4.76＋1.24－－0.431.24＋1.24Q图(kN)N=0.43N=－1.24N=－0.43N图(kN)2138.4955第五十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五SAP95结构分析程序数据文件的编制：第一行：整体控制信息：NDE,NEL,NCD,NPC,NPENDE—总的结点数NEL—总的单元数NCD—总的结点位移数NPC—总的结点荷载数NPE—总的非结点荷载数整型量xy③①②3{1,2,4}1{0,0,0}4{5,6,7}5{0,0,8}2{1,2,3}（若某一项缺省时，填0）5,3,8,1,2第一行信息：25kN/m↑↑↑↑↑↑↑↑2m18kN2m4m15kN·mEA=4.0×106kNEI=1.6×104kN·m56第五十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五第二行：结点信息：X,Y,I1,I2,I3X,Y—结点在整体坐标系中的坐标值I1,I2,I3—结点的三个位移总码SAP95结构分析程序25kN/m↑↑↑↑↑↑↑↑2m18kN2m4m15kN·m——实型量——整型量0.0,0.0,0,0,00.0,－4.0,1,2,30.0,－4.0,1,2,44.0,－4.0,5,6,74.0,0.0,0,0,8第二行信息：共NDE行按结点的编码顺序xy③①②3{1,2,4}1{0,0,0}