第四章 方程求根的迭代法

第四章方程求根的迭代法第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期五012345610.50.6666660.60.6250.6153850.619048789101112130.6176470.6181820.6179780.6180560.6180260.6180370.618033第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期五记笔记由得表一：由表一知迭代收敛于的根.而由得表二：由表二知迭代是发散的．01234561.51.375211.330681.325851.324931.324751.32473012…1.52.37512.398…1.迭代函数如何构造？2.初值的选取3.误差估计（迭代结束的条件）例

用迭代法求方程，在x=1.5附近的一个根第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期五

―――――

准确方程

校正量

，校正值

―――――近似方程

―――――校正方程

－－－－－开方公式

忽略高阶小量,令第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期五§1开方法记笔记k1.4142141.4142141.4142161.4666671.51Xk453210一、公式的建立二、直观解释第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期五记笔记三、收敛性第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期五令，则由上式得对任意，总有，所以．定理1开方公式对于任意初值均收敛．

思考题

1．若，开方公式结果如何？

2．证明对于任意，开方公式所得序列单调减有下界．k012345Xk11.51.4666671.4142161.4142141.414214第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期五

―――――

准确方程

校正量

，校正值

―――――近似方程

―――――校正方程

－－－－－Newton公式

令－－－－－迭代函数

§2法

一、公式的导出第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期五二、几何解释Newton法又称为Newton切线法或切线法第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期五yx0x0f´´(x)>0X*yx0x0f´´(x)<0yx0f´´(x)<0x0yx0f´´(x)>0x0

从几何的角度探讨牛顿迭代法的收敛性第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期五x1y0x0X*0x0X*x2不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况从几何角度探讨牛顿迭代法的收敛性第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期五三牛顿迭代法的计算流程第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例

用牛顿迭代法求x=e-x的根,ε=10-5解：因f(x)=xex–1,f´(x)=ex(

x+1) 建立迭代公式

取x0=0.5,逐次计算得x1=0.571021,x2=0.567156,x3=0.567143, x4=0.567143第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期五求倒数，就是求解方程

则相应的迭代公式思考题：讨论牛顿迭代法的收敛条件．，其法的迭代函数为第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期五§3压缩映象原理

如果由迭代格式产生的序列收敛,即

则称迭代法收敛．－－－－－－结束条件第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期五(a)(b)第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期五第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期五定理2设函数在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足

（1）封闭性条件对所有的x∈[a,b]有

∈[a,b]

（2）压缩性条件存在0<L<1,使所有的x∈[a,b]有

则方程在[a,b]上的根存在且唯一，对任意的∈[a,b]，迭代过程均收敛于.且成立①

②

压缩映象原理迭代结束的条件（事后误差估计法）满足精度要求的最大迭代次数（事先误差估计法）推论:

若方程

在区间

内有根

且则迭代

均发散第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例1

对方程,构造迭代函数如下①，②

.试讨论在[1,2]上迭代的敛散性.解

①则此时迭代公式满足迭代收敛条件，所以迭代在此区间上收敛.

②所以此迭代发散.第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例2已知讨论迭代

在区间的敛散性.

例4求的近似值，.例3用下列迭代法求的正根的近似值，试判断其敛散性.

（1）；（2）.k1.4142141.4142141.4142161.4666671.51Xk453210第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期五

迭代法的算法框图实验：1.探讨初值对迭代收敛的影响.2.同一方程构造不同的迭代，探讨敛散性；比较收敛迭代的收敛快慢情况.第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期五三、局部收敛性定理3设在的根的邻域中有连续的一阶导数,且则迭代过程具有局部收敛性.未知，如何求？（1）定理3对初值的要求比较高，一般用对分法找出较满意的初值，定理2对初值的要求较宽松．（2）一个迭代若是整体收敛的，则一定局部收敛；反之则不成立．第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例5已知方程在附近有一实根，讨论迭代的敛散性.并计算结果，取.

解：令

，则取计算结果见书.附近的实根，且则取收敛于.第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例6设，要使迭代过程局部收敛到,求的取值范围.解：

由在根邻域具有局部收敛性时，收敛条件所以

第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例7已知方程在内有根,且在上满足,利用构造一个迭代函数,使局部收敛于.解:由可得,

故,迭代公式局部收敛于分析，则由习题9,对应的迭代发散.第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期五定义2设迭代过程收敛于的根,记迭代误差若存在常数m（m≥1）和c（），使

则称序列是m阶收敛的,

特别地,m=1时称为线性收敛,m=2时称为平方收敛.1<m<2时称为超线性收敛.四、迭代过程的收敛速度

第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例8讨论迭代公式

①，②

的收敛阶.

定理4设迭代过程，若在所求根的邻域连续且

则迭代过程在邻域是m阶收敛的.第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期五证明：

则此迭代过程是m阶收敛的.迭代过程局部收敛于，又第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例9已知迭代公式收敛于证明该迭代公式平方收敛.证:迭代公式相应的迭代函数为将代入，根据定理4可知，此迭代平方收敛.第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期五牛顿迭代法的收敛性分析定理5设是方程的单根,且f(x)在的某邻域内有连续的二阶导数,则牛顿法是局部收敛的,且至少为二阶收敛,有

证:牛顿迭代公式对应的迭代函数为若是方程的单根,则有,从而由定理3知,牛顿迭代法在附近收敛.又由定理4知,迭代公式至少是二阶收敛的.第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期五第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期五利用泰勒公式所以

法逻辑结构简单，在单根附近时，收敛速度很快；但（1）若初值选取不当，迭代法可能失败或者收敛很慢；（2）若导数比较复杂，则每步的计算量较大；（3）若为方程的重根，结果如何？第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期五§4

法的改进与变形012341.51.347831.325201.324721.3247201230.617.911.946807.98552第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期五§4

法的改进与变形－－－－－－－－－下山法其中λ(0<λ<1)为下山因子------------下山法

第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期五

为避免计算函数的导数，使用差商称为弦截法迭代公式.（单点弦截法）替代牛顿公式中的导数，便得到迭代公式

第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期五在单根附近线性收敛第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期五

使用差商替代牛顿公式中的导数,便得到迭代公式

称为快速弦截法迭代公式.（双点弦截法）在单根附近收敛，收敛阶为1.618第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期五例10用快速弦截法求方程在初始值邻近的一个根.要求解：取,,令利用快速弦截法迭代公式

k2340.567540.567150.56714第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期