高中总复习第一轮数学(新)第五章向量的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5.5向量的应用巩固·夯实基础一、自主梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力.链接·提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理。它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点.二、点击双基1.(理)已知双曲线x2—=1的焦点F1、F2，点M在双曲线上且·=0,则点M到x轴的距离为（)A。B。C.D。解析：如图，不妨设M在右支上，则MF1⊥MF2。设｜MF1｜=r1,｜MF2|=r2，由定义r1—r2=2a=2.①Rt△MF1F2中,r12+r22=(2c)2=12。②①式平方代入②后得r1r2=4,∴S△MF1F2=r1r2=2=｜F1F2|·h=×2h。∴h=.答案：C（文）若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的(）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+.又++=0,∴+=-.∴—=.∴O为AD的中点,且A、O、D共线.又E为OD的中点，∴O是中线AE的三等分点,且OA=AE.∴O是△ABC的重心。答案:D2。已知点A（,1)、B（0，0）、C（,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,若=λ,则λ等于…(）A。-B.C.-3D.-解析：由=λ,得λ=-=-=-1-=—1—=-1—=-。故选择A。答案:A3。(2006湖北八校联考)（理)已知向量a=(2cosα,2cosβ)，b=(3cosβ,3sinβ）,若a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+=0与圆（x—cosβ)2+（y+sinβ）2=的位置关系是（)A。相交B.相交且过圆心C.相切D.相离解析：由题意得=，∴cosαcosβ+sinαsinβ=。圆心为(cosβ,-sinβ).设圆心到直线的距离为d，则d==1>,∴直线和圆相离。故选D。答案：D(文）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且｜+|=｜—|，其中O为原点,则实数a的值为（)A.2B.-2C。2或-2D。6或-6解析：由|+｜=|-|，得·=0,∴OA⊥OB.联立方程组整理得2x2-2ax+（a2-4）=0，设A（x1，y1)、B(x2，y2),∴x1+x2=a，x1·x2=.∴y1·y2=（a—x1)·(a—x2)=a2-a（x1+x2）+x1x2=a2—2。∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0.∴+-2=0.∴a2=4.∴a=±2.又∵Δ=（—2a)2-8（a2-4）>0,∴a2<8。∴a∈(-2,2）,而±2∈(-2，2).故选C。答案：C4。在四边形ABCD中，·=0,=，则四边形ABCD是______________________.解析：由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四边形ABCD是矩形。答案：矩形5。若a=（1，-1),b=（—1,3）,c=(3，5）,使c=xa+yb成立的实数x、y取值是_____________.解析:依题意(3，5)=x（1,-1)+y（-1,3)，解得答案：7、4诱思·实例点拨【例1】已知O（0,0)、A（1,2）、B（4,5)及=+t，求:(1)t为何值时,P在x轴上？P在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不埽胨得骼碛？解：(1）=+t=（1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0，∴t=—；若P在y轴上，只需1+3t=0，∴t=—；若P在第二象限，则∴—〈t〈-.(2)∵=(1,2），=（3-3t，3-3t).若OABP为平行四边形，则=.无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形。链接·聚焦本题第（2）问还可以利用共线的充要条件：∵=+t，∴—=t.∴=t。∴A、B、P共线.∴四边形OABP不能成为平行四边形。【例2】已知向量u=（x,y）与向量v=(y，2y-x)的对应关系用v=f（u)表示。（1）证明对于任意向量a、b及常数m、n,恒有f(ma+nb）=mf(a）+nf（b）成立;(2）设a=(1,1），b=(1，0），求向量f（a）及f（b)的坐标；(3)求使f(c）=（p、q)（p、q为常数)的向量c的坐标.解：（1)设a=（a1,a2),b=(b1,b2）,则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2）。∴f（ma+nb)=（ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1—nb1)，mf（a）+nf（b)=m（a2，2a2—a1）+n(b2,2b2—b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1—nb1).∴f(ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立.（2)f（a)=(1，2×1—1）=(1,1),f（b)=(0,2×0-1）=(0,-1)。（3）设c=（x，y），则f(c）=(y,2y-x)=（p，q).∴y=p，2y-x=q.∴x=2p-q，即向量c=（2p—q,p)。讲评：要利用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题，这也是向量运算中比较常用的方法.【例3】已知m、n、p、q∈R，求证：mp