高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质讲义新人教A版本

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)第一章

§1.4三角函数的图象与性质学习目标1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是

.对于正弦函数y＝sinx，x∈R，有：当且仅当x＝_____________时，取得最大值1；当且仅当x＝________________时，取得最小值－1.对于余弦函数y＝cosx，x∈R，有：当且仅当x＝

时，取得最大值1；当且仅当x＝

时，取得最小值－1.[－1,1]2kπ，k∈Z(2k＋1)π，k∈Z知识点二正弦、余弦函数的单调性答案观察图象可知：推广到整个定义域可得思考2

观察余弦函数y＝cosx，x∈[－π，π]的图象.余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.思考3

正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？y＝cosx的增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.解析式y＝sinxy＝cosx图象

值域[－1,1][－1,1]梳理单调性在_______________________上递增，在_______________________上递减在

上递增，在

上递减最值当x＝__________________时，ymax＝1；当x＝______________时，ymin＝－1当x＝

时，ymax＝1；当x＝

时，ymin＝－1[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z2kπ，k∈Zπ＋2kπ，k∈Z[思考辨析判断正误]1.正弦函数在定义域上是单调函数.(

)提示正弦函数不是定义域上的单调函数.2.正弦函数在第一象限是增函数.(

)答案提示××3.存在实数x，使得cosx＝.(

)提示余弦函数最大值为1.4.余弦函数y＝cosx在[0，π]上是减函数.(

)提示由余弦函数的单调性可知正确.答案提示×√题型探究类型一求正弦、余弦函数的单调区间解答因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sinz的单调递增区间，即求sinz的单调递减区间，反思与感悟用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.解答所以函数f(x)的单调递增区间是类型二正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1利用正、余弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin196°与cos156°；解答解sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°.∵0°<16°<66°<90°，且y＝sinx在[0°，90°]上是增函数，∴sin16°<sin66°，从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.解答反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2

cos1，cos2，cos3的大小关系是________________.(用“>”连接)答案解析解析由于0<1<2<3<π，而y＝cos

x在[0，π)上单调递减，所以cos1>cos2>cos3.cos1>cos2>cos3解答命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围反思与感悟此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.答案解析√类型三正弦、余弦函数的值域或最值解答反思与感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论.解答若a＝0，不满足题意.达标检测答案解析1.函数y＝cosx－1的最小值是

A.0 B.1 C.－2 D.－112345解析cosx∈[－1,1]，所以y＝cosx－1的最小值为－2.√2.函数y＝sin2x的单调递减区间是

答案解析12345√答案解析123453.下列不等式中成立的是

√即sin2>cos1.故选D.答案解析123454.函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.(－π，0]解析因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0].12345即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，此时自变量x的