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文档简介
安徽省六安市罗集中学2021年高二数学文联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.抛物线y2=4x的焦点坐标为()A.(﹣1,0) B.(0,﹣1) C.(1,0) D.(0,1)参考答案:C【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】根据抛物线y2=2px的焦点坐标为F(,0),得到抛物线y2=4x的2p=4,=1,所以焦点坐标为(1,0).【解答】解:∵抛物线的方程是y2=4x,∴2p=4,得=1,∵抛物线y2=2px的焦点坐标为F(,0)∴抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0).故选C2.已知为虚数单位,为实数,复数在复平面内对应的点为M,则“”是“点M在第四象限”的A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:C3.已知数列满足,,则等于(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略4.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,一学生到达该路口时,见到红灯的概率是(
) A. B. C. D.参考答案:A考点:几何概型.专题:计算题.分析:本题是一个那可能事件的概率,试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40秒,满足条件的事件是红灯的时间为30秒,根据等可能事件的概率得到答案.解答: 解:由题意知本题是一个那可能事件的概率,试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒,设红灯为事件A,满足条件的事件是红灯的时间为30秒,根据等可能事件的概率得到出现红灯的概率.故选A.点评:本题考查等可能事件的概率,是一个由时间长度之比确定概率的问题,这是几何概型中的一类题目,是最基础的题.5.下列说法中错误的是(
)A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的参考答案:A6.若两直线的倾斜角分别为,则下列四个命题中正确的是(
)A.若,则两直线的斜率: B.若,则两直线的斜率:C.若两直线的斜率:,则 D.若两直线的斜率:,则参考答案:D【分析】由题意逐一分析所给的选项是否正确即可.【详解】当,,满足,但是两直线的斜率,选项A说法错误;当时,直线的斜率不存在,无法满足,选项B说法错误;若直线的斜率,,满足,但是,,不满足,选项C说法错误;若两直线的斜率,结合正切函数的单调性可知,选项D说法正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系,正切函数的单调性及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图所示,已知两座灯塔A、B与海洋观测站C的距离都等于,灯塔A在观测站C的北偏东,灯塔B在观测站C的南偏东,则灯塔A与灯塔B的距离为A.B.C.
D.参考答案:C8.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得到的函数图象的解析式是(
)A.
B.C.
D.参考答案:A略9.如图,四棱锥的底面是的菱形,且,,则该四棱锥的主视图(主视方向与平面垂直)可能是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B10.方程(t为参数)表示的曲线是(
)。A、
一条直线
B、两条射线
C、一条线段
D、抛物线的一部分参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量的夹角等于,则的最大值为.参考答案:4考点: 数量积表示两个向量的夹角.
专题: 平面向量及应用.分析: 由已知得到的坐标,然后由数量积的对于求之.在平面直角坐标系中,标出与对应的点,构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程,由判别式大于等于0可得||的最大值.解答: 解:如图,设=,=,则=,与的夹角等于,即∠OBA=60°,再设||=a,||=x,在△OAB中,根据余弦定理有:22=a2+x2﹣2×ax×cos,整理得:x2﹣ax+a2﹣4=0,由(﹣a)2﹣4(a2﹣4)≥0,得:a2≤16,所以0<a≤4.所以||的最大值为4.点评: 本题考查了数量积表示两个向量的夹角,考查了方程思想,考查了数形结合思想,是中档题12.在的展开式中的系数为_____.参考答案:-84【分析】根据二项式展开式公式得到,进而得到当时得到项,代入求解即可.【详解】的展开式为:当时得到项,代入得到系数为故答案为:-84.【点睛】这个题目考查了二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围().①第m项:此时,直接代入通项;②常数项:即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程;③有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.13.如果执行右边的程序框图,那么输出的
▲
.参考答案:110略14.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,直线l经过F1椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为.参考答案:20【考点】椭圆的简单性质.【分析】△AF2B为焦点三角形,由椭圆定义可得周长等于两个长轴长,再根据椭圆方程,即可求出△AF2B的周长.【解答】解:由椭圆的焦点在x轴上,a=5,b=2,∴|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|═2a=10,∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+|(BF1|+|BF2|)=4a=20,故答案为:20.15.若等比数列{an}满足,则=.参考答案:【考点】等比数列的通项公式.【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.【分析】由等比数列{an}的性质可得:=a1a5=,即可得出.【解答】解:由等比数列{an}的性质可得:=a1a5=,则==.故答案为:.【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是
.参考答案:17.已知随机变量X的概率分布如下表所示,且其数学期望E(X)=2,X0123Pab则随机变量X的方差是_________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S:的一个焦点和一个顶点.(1)求椭圆S的方程;(2)如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.①若直线PA平分线段MN,求k的值;②对任意k>0,求证:PA⊥PB.参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;三点共线;椭圆的标准方程.【分析】(1)在直线x﹣y+1=0中,令x=0得y=1;令y=0得x=﹣1,故c=b=1,a2=2,由此能求出椭圆方程.(2)①,N(0,﹣1),M、N的中点坐标为(,),所以②法一:将直线PA方程y=kx代入,解得,记,则P(m,mk),A(﹣m,﹣mk),于是C(m,0),故直线AB方程为,代入椭圆方程得(k2+2)x2﹣2k2mx+k2m2﹣8=0,由此能够证明PA⊥PB.法二:设P(x0,y0),A(﹣x0,﹣y0),B(x1,y1),则C(x0,0),由A、C、B三点共线,知=,由此能够证明PA⊥PB.【解答】解:(1)在直线x﹣y+1=0中令x=0得y=1;令y=0得x=﹣1,由题意得c=b=1,∴a2=2,则椭圆方程为.(2)①,N(0,﹣1),M、N的中点坐标为(,),所以.②解法一:将直线PA方程y=kx代入,解得,记,则P(m,mk),A(﹣m,﹣mk),于是C(m,0),故直线AB方程为,代入椭圆方程得(k2+2)x2﹣2k2mx+k2m2﹣4=0,由,因此,∴,,∴,∴,故PA⊥PB.解法二:由题意设P(x0,y0),A(﹣x0,﹣y0),B(x1,y1),则C(x0,0),∵A、C、B三点共线,∴=,又因为点P、B在椭圆上,∴,,两式相减得:,∴=﹣=﹣1,∴PA⊥PB.19.已知椭圆C的方程为,双曲线的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,且双曲线的焦距为.(1)求椭圆C的方程;(2)设F1,F2分别为椭圆C的左,右焦点,过F2作直线l(与x轴不重合)交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为E,记直线F1E的斜率为k,求k的取值范围.参考答案:(1)一条渐近线与轴所成的夹角为知,即,又,所以,解得,,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知,设,,设直线的方程为.联立得,由得,∴,又,所以直线的斜率.①当时,;②当时,,即.综合①②可知,直线的斜率的取值范围是.
20.求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过两点;(2)过点P(﹣3,2),且与椭圆有相同的焦点.参考答案:【考点】椭圆的标准方程.【分析】(1)设出椭圆的标准方程,代入点的坐标,即可求得椭圆的标准方程;(2)由椭圆,求得焦点坐标,设所求椭圆的方程为,(a2>5),将A(﹣3,2)代入椭圆方程,求得a2的值,即可求得椭圆的标准方程.【解答】解:(1)设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1,(m>0,n>0,m≠n),∵椭圆经过点,∴,解得m=,n=,∴所求的椭圆方程为;(2)∵椭圆的焦点为F(±,0),∴设所求椭圆的方程为,(a2>5),把点(﹣3,2)代入,得,整理,得a4﹣18a2+45=0,解得a2=15,或a2=3(舍).∴所求的椭圆方程为.21.在平面直角坐标系xOy中,直线l的普通方程为,曲线C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l的参数方程和极坐标方程;(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值.参考答案:(Ⅰ)直线的参数方程为(为参数)极坐标方程为()(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)直线的普通方程为,可以确定直线过原点,且倾斜角为,这样可以直接写出参数方程和极坐标方程;(Ⅱ)利用,把曲线的参数方程化为普通方程,然后把直线的参数方程代入曲线的普通方程中,化简,利用根与系数的关系和参数的意义,可以求出的值.【详解】解:(Ⅰ)直线的参数方程为(为参数)极坐标方程为()(Ⅱ)曲线的普通方程为将直线的参数方程代入曲线中,得,设点对应的参数分别是,则,【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程和极坐标方程问题,同时也考查了直线与圆的位置关系,以及直线参数方程的几何意义.22.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACD(1)求证:平面ADE⊥平面BCE;(2)求点D到平面AEC的距离;(3)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.参考答案:考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离.分析:(1)根据面面垂直的判定定理推断出平面ADE⊥平面BCE;(2)由BD交平面ACE的交点为BD的中点,可是点D与点B到平面ACE的距离相等,进而根据BF⊥平面ACE,所以BF为点B到平面ACE的距离,解三角形ABE和三角形CBE可得答案.(3)在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点,连MN,证明平面MGE∥平面ADE,可得MN∥平面ADE,从而可得结论.解答: 证明:(Ⅰ)∵BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,∴BF⊥AE,BF⊥CE,∵EB=BC,∴F是CE的中点,又∵AD⊥平面ABE,AD?平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ABE,∵平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊥AB∴BC⊥平面ABE,从而BC⊥AE,且BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,又AE?平面ADE,故平面平面ADE⊥平面BCE.(2)(Ⅱ)如图,连接BD交AC于点O,则点O是BD的中点,∴点D与点B到平面ACE的距离相等.∵BF⊥平面ACE,∴BF为点B到平面ACE的距离.∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥BE.又∵AE=BE,∴△AEB是等腰直角三角形,∵AE=2,∴A
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