广东省汕头市高堂中学2022年高三数学文期末试卷含解析

广东省汕头市高堂中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A．588

B．480

C．450

D．120参考答案：B略2.在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.i是虚数单位，若

(a，b∈R)，则乘积ab的值是A.－15

B.－3

C.3

D.15参考答案：B∵.∴a=－1，b=3.∴ab=－3，故选择B.4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】求出以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2倍的等边三角形的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.【详解】设等边三角形的边长为，设以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积为，则，，莱洛三角形面积为，则,在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为,,故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.5.过直线x+y=0上一点P作圆C：（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当CP与直线y=﹣x垂直时，∠APB=（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．【解答】解：显然圆心C（﹣1，5）不在直线y=﹣x上．由对称性可知，只有直线y=﹣x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x，从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5=x+1即y=6+x，与y=﹣x联立，可求出该点坐标为（﹣3，3），所以该点到圆心的距离为=2，由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以两切线夹角的一半的正弦值为=，所以夹角∠APB=60°故选：C．【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．6.函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二次函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到C错误，D正确．【解答】解：对于A、B两图，||＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣，且两根之和为﹣，由图知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜||＜1，在C图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．7.设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为(

) A． B． C． D．ln2参考答案：A考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离解答： 解：∵曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d，设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1，∴d==，∴丨PQ丨的最小值为2d=．故选：A点评：本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法8.一颗正方体骰子，共六个面的点数分别是1、2、3、4、5、6，将这颗骰子排掷三次观察向上的点数，则三次点次和为16的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.设，不等式的解集是，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……（） A． B． C． D．参考答案：A6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为,选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数，满足，则的最大值为

．参考答案：12.设P、Q为△ABC内的两点，且，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为____

_参考答案：13.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积 为

▲

cm3．参考答案：12cm3

略14.请阅读下列材料：若两个正实数满足，求证：.证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以.根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论是__________________.参考答案：【知识点】类比推理．M1

解析：类比给出的材料，构造函数，由对一切实数，恒有，所以，即可得到结论.故答案为：【思路点拨】类比给出的材料，构造函数，由对一切实数，恒有，所以，即可得到结论.15.已知变量x，y满足约束条件，目标函数Z=e2x+y的最大值为．参考答案：e2考点： 简单线性规划．专题： 不等式的解法及应用．分析： 设z=2x+y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y，由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点D（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=2x+y得z=2×1+0=2．即z=2x+y的最大值为2，则Z=e2x+y的最大值为e2．故答案为：e2．点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16.若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数的取值范是

.[参考答案：略17.若复数满足（是虚数单位），则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

参考答案：解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2..所以的分布列为012故的期望.（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

19.(本小题满分10分)如图，AB为圆的直径，P为圆外一点，过P点作PCAB于C，交圆于D点，PA交圆于E点，BE交PC于F点．(I)求证：P=ABE；(Ⅱ)求证：CD2=CF·CP．参考答案：证明：（Ⅰ），所以在中，在中,所以……………….5分（Ⅱ）在中，，由①得∽,∴,∴,所以CD2=CF·CP。….10分20.（本小题满分12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图4所示，其中俯视图中．为侧棱的中点．求证：平面；若为侧棱上的一点，且，则为何值时，平面？并求此时几何体的体积．参考答案：（1）由三视图可知该四棱锥的底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，锥体高度为1。

………1分设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，

………2分OE//PB，EO面EAC，PB面EAC，PB//面AEC

………5分

（2）过O作OFPA垂足为F在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，PO2=PF·PA，2PF=1，

…7分在菱形中BDAC，又因为PO面ABCD，所以BDPO，及BD面APO，所以BDPA,又OFPA，从而PA平面BDF

…9分

当时，在△POA中过F作FH//PO，则FH面BCD，FH=.

…12分21.已知在