2021年河北省邢台市沙河蝉房中学高三数学文期末试题含解析

2021年河北省邢台市沙河蝉房中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角﹣α的终边上的点是（）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据诱导公式和点的对称即可求出．【解答】解：角α终边与角﹣α的终边关于x轴对称，∴（﹣1，2）关于x轴对称的点为（﹣1，﹣2），故选：C2.复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B． C．4 D．参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=4，∴z（1+i）（1﹣i）=4（1﹣i），∴z=2﹣2i，则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离==．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.数列满足，则的整数部分是（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B4.已知为锐角，且＋3＝0，则的值是（

）A、B、C、D、参考答案：5.若实数满足不等式组则的最大值为

（）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D6.设集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】D

解析：∵，，∴，故选D．【思路点拨】由集合的交运算知，由，，，能得到．7.设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A． B．i C． D．i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=．复数z+的虚部是：．故选：A．8.已知函数（）定义域为，则的图像不可能是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．10.如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于点P，记∠PMO为x，弓形ONP的面积，那么的大致图象是（

）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数和的图象的对称轴完全相同．若,则的取值范围是________．参考答案：12.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P（x,y）的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为

。参考答案：

13.已知一个球的内接正方体的棱长是2，则这个球的表面积是

参考答案：答案：

14.正方体中，与平面所成角的正弦值为

参考答案：15.已知f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，则下列结论中正确的序号是__________(1)．函数y＝f(x)·g(x)的最小正周期为π.

(2)．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为.

(3)．函数y＝f(x)·g(x)的图象关于点(，0)成中心对称

(4)．将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象参考答案：（1）（2）（4）16.在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为

。参考答案：18略17.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是_______．参考答案：(－1,1) 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数．⑴求函数的解析式；⑵设函数，若的两个实根分别在区间内，求实数的取值范围．参考答案：（1）幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数

，又，函数为偶函数

(2）由题，略19.(12分)已知x∈[0，1]，函数.（1）求函数f（x）的单调区间和值域；（2）设a≤-1，若，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.参考答案：（1）f（x）的单调减区间是（0，），增区间是（，1）；值域为[，ln2]（2）a≤-【知识点】导数的应用B12（Ⅰ）f'（x）=2x-，令f'（x）=0，解得：，x=-1（舍去）列表：x0（0，）（，1）1f'（x）

-0+

f（x）ln2↘↗1-ln可知f（x）的单调减区间是（0，），增区间是（，1）；因为<1-ln=ln2-（ln3-1）<ln2，所以当x[0，1]时，f（x）的值域为[，ln2]（Ⅱ）g'（x）=3（x2-a2）因为a≤-1，x[0，1]所以g'（x）<0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0），所以g（x）[1-4a-3a2，-4a]因为当x[0，1]时，f（x）的值域为[，ln2]由题意知：[，ln2][1-4a-3a2，-4a]所以又a≤-1，得a≤-。【思路点拨】求导数求出f（x）的单调减区间是（0，），增区间是（，1）；再求出值域，由值域为[，ln2]求出a的范围。20.(本小题满分13分)如图长方体中,底面ABCD是边长为1的正方形,E为延长线上的一点且满足.

(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为何值时,二面角的大小为.参考答案：(Ⅰ)如图所示建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),设,由于,所以,并且,E(1,1,),

………………2分,,,,又,,平面

………………

6分(Ⅱ)，设平面的法向量为,则, 即,令,则,.

………………9分平面,平面的法向量,即,解得……………12分当时,二面角的大小为.

………………

13分21.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知关于的不等式，其解集为.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.参考答案：见解析【知识点】绝对值不等式解：（Ⅰ）不等式可化为，

∴，即,

∵其解集为，∴

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ），

∵

，

∴

，∴当且仅当时，取最小值为．

（方法二：）∵

，

∴

，∴当且仅当时，取最小值为．

（方法三：）∵，∴，

∴，

∴当且仅当时，取最小值为．22.已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=lnx+，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，e]，使得g（x2）≤f（x1）+，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而f（x1）+≥．依题意有g（x）最小值≤．【解答】解：（1）…由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故…（2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而f（x1）+≥．依题意有g（x）最小值≤函数g（x）=lnx+的定义域为（0，+∞），g′