江西省宜春市高安第二中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

江西省宜春市高安第二中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是

A.1

B．-5或3

C.

-2

D．参考答案：C2.设a，b≠0，则“a＞b”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．【解答】解：?＜0?ab（b﹣a）＜0与a＞b相互推不出．∴“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．3.已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3+2+=，3，则S△PAB：S△QAB为（）A．1：2 B．2：5 C．5：2 D．2：1参考答案：B【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由已知向量等式得到S△PAB=S△ABC，S△QAB=S△ABC，可求面积比．【解答】解：由题意，如图所示，设AC，BC的中点分别为M，N，由3+2+=，得：2（+）=﹣（+），∴点P在MN上，且PM：PN=1：2，∴P到边AC的距离等于B到边AC的距离×=，则S△PAB=S△ABC，同理，又3，得到S△QAB=S△ABC，所以，S△PAB：S△QAB=2：5．故选：B．4.已知=（5，6），=（sinα，cosα），已知向量且∥，则tanα=（）A．

B．

C．

D．参考答案：A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量平行的坐标表示，直接代入公式求解即可．【解答】解：=（5，6），=（sinα，cosα），∥，∴5cosα=6sinα，∴tanα=，故选：A．【点评】本题考查了两个向量平行的坐标表示，平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．5.已知，，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A． B．

C．m≥2

D．m≥6参考答案：D6.函数f（x）=（x+2）2（x﹣1）3的极大值点是（）A．x=﹣2或1 B．x=﹣1或2 C．x=﹣1 D．x=﹣2参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出函数的导数：f′（x）=（x﹣2）（x﹣2）2（5x+4），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，或x＜﹣2，从而得到x=﹣2是函数的极大值点．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣2）（x﹣2）2（5x+4），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，或x＜﹣2，∴函数f（x）在（﹣∞﹣2），（，+∞）上递增，在（﹣2，﹣）上递减，∴x=﹣2是函数的极大值点，故选；D．7.设函数满足，则时，的最小值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D对于等式，因为，故此等式可化为：，且.令，..当时，，单调递增，故，因此当时，恒成立.因为，所以恒成立.因此，在上单调递增，的最小值为.故本题正确答案为D.

8.已知全集U=R，集合A={y|y=，x＞0}，B={y|y=2x，x＜1}则A∩（?RB）=（）A．（0，2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，0] D．（2，+∞）参考答案：B【考点】梅涅劳斯定理；交、并、补集的混合运算．【分析】根据求出集合A，B，结合集合的交集及补集运算定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={y|y=，x＞0}=（0，+∞），B={y|y=2x，x＜1}=（0，2），∴?RB=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩（?RB）=[2，+∞），故选：B9.已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x?N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0]参考答案：D【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x?N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x?N}=[﹣4，0]．故选：D．10.若复数是纯虚数，则实数等于

（A）

（B）2 （C）

（D）－2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数,若互不相等的实数满足,则的取值范围是

参考答案：略12.已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：m＜﹣1【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，将t=1，代入得：m=﹣1，此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．13.将“你能HOLD住吗”8个汉字及英文字母填入5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原话，如图所示为一种填法，则共有_

___种不同的填法。（用数字作答）参考答案：略14.已知函数是奇函数，则

．参考答案：试题分析：因为函数是奇函数，所以，令,得，故答案为.考点：1、函数的解析式；2、函数的奇偶性.15.（坐标系与参数方程选讲选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为

.参考答案：试题分析：曲线（为参数）的普通方程为，曲线（为参数）的普通方程为．由得：，所以曲线与的交点的直角坐标为．，因为，点在第一象限上，所以，所以曲线与的交点的极坐标为．考点：1、参数方程与普通方程互化；2、直角坐标与极坐标互化．16.已知函数，则______．参考答案：2，因为，所以．17.设函数，则______．（用数字作答）参考答案：考点：函数求导,二项式定理三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中a，b∈R．（1）当b=1时，g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，①求b的取值范围；②求证：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由求导，由题意可知：g′（）=0，即可求得a的值，根据函数与单调性的关系，即可求得函数f（x）的单调区间；（2）①f（x）=lnx+bx（x＞0），求导，分类，由导数与函数极值的关系，则f（x）极大值为，解得．且x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＜0．则当时，f（x）有两个零点；②由题意可知：lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，要证，即证lnx1+lnx2＞2，则．则，构造辅助函数，求导，根根据函数的单调性，则h（t）＞h（1）=0，则，即可证明．，【解答】解：（1）由已知得，由g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，则，∴a=﹣2．则f（x）=﹣x2+lnx+x（x＞0）．则，由f'（x）＞0得0＜x＜1，由f'（x）＜0得x＞1．∴f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知f（x）=lnx+bx（x＞0）．∴，当b≥0时，显然f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）在定义域内递增，f（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令f'（x）=0得，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．∴f（x）极大值为，解得．且x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＜0．∴当时，f（x）有两个零点．②证明：∵x1，x2为函数f（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2．所以lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，两式相减得，两式相加得．要证，即证lnx1+lnx2＞2，即证，即证．令，即证．令，则，所以h（t）＞h（1）=0，即，所以，所以．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性与极值的关系，考查函数零点的判断，采用分析法证明不等式成立，考查计算能力，属于中档题．19.(本小题满分14分)设函数，（1）求函数的极大值；（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.参考答案：20.已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集上的奇函数．（1）求证：；（2）讨论关于的方程：的根的个数；（3）设，证明：（为自然对数的底数）．参考答案：略21.为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表PM2.5日平均浓度（微克/立方米）[0，20]（20，40]（40，60]（60，80]（80，100]频数（天）23465（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表，作出作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：满意度等级非常满意满意不满意PM2.5日平均浓度（微克/立方米）不超过20大于20不超过60超过60从乙地这20天PM2.5日平均浓度不超过40的天数中随机抽取两天，求这两天中至少有一天居民对空气质量满意度为“非常满意”的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据频率分布直方图的画法画图即可，由图比较即可，（2）设可设乙地这20天中PM2.5日平均浓度不超过40的5天分别为a，b，c，d，e，其中a，b表示居民对空气质量满意度为“非常满意”的两天，列举出从5天任取2天的所有情况和满足至少有一天居民对空气质量满意度为“非常满意“的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：（1）如图所示：由图可知：甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散，（2）由题意，可设乙地这20天中PM2.5日平均浓度不超过40的5天分别为a，b，c，d，e，其中a，b表示居民对空气质量满意度为“非常满意”的两天，则从5天中任取两天共有以下10种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），其中至少有一天为“非常满意”有以下7种，（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），所以所求概率P=22.已知函数f（x）=sinxcosx﹣sin2x+（Ⅰ）求f（x）的增区间；（Ⅱ）已知△ABC的三个内角A，B，C所对边为a，b，c．若f（A）=，a=，b=4，求边c的大小．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换可化简f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的单调性质即可求得其增区间；（Ⅱ）由f（A）=sin（