2020-2021深圳布心中学高中必修一数学上期末模拟试卷(附答案)

2020-2021深圳布心中学高中必修一数学上期末模拟试卷 (附答案)一、选择题已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x3>0，x3＋，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )A．一定大于0 B．一定小于0等于0 D．正负都有可能已知f x是偶函数，它在 0, 上是增函数.若f是（ ）

lgx f

1，则x的取值范围A． 1,110

骣10,桫10

?(10,?)

1,10100,1 10,1 2x函数f x

2x

的图象大致为 nnA． 已知函数

f(x)

ax3

bx 3(ab R)

f(2) 5，则

f(2) （ ）A．4 3 2 1已知函数

f(x) log( 1 )(aa x 1

且a

的定义域和值域都是[01，则）12

2 22

2已知函数

f(x)

lnx，若

a f

，b

(3)

，c

(5)，则a，b，c的大小关x系是（ ）A．b c a b a c a c b c a b已知函数

f(x) log

x，正实数

m,n满足m n

f(m)

f(n)，若

f(x)在区间[m2,

上的最大值为2，则

m,n的值分别为A．1，2 2，2 1，2 1，42 2 4 4某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染kt物总量的0.5%已知在过滤过程中的污染物的残留数量 P（单位：毫克升）与过滤时间tkt（单位：小时）之间的函数关系为

P

（k为常数，为原污染物总量） 若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了 80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤 n小时，则正整数n的最小值为（ ）（参考数据：取log52 0.43）A．8 9 10 14设函数f x是定义为R的偶函数，且 f x对任意的x R，都有f x 2

f x

且当x

2,0时， f x

x1 1，若在区间 2,6内关于2的方程f x

loga x

2 0(a

1恰好有3个不同的实数根，则 a的取值范围是（ ）A．2,

1,

4 34,2已知函数f(x)＝

log2

x,x

1,则f(

1f( )))等于( )2 4x,x 1, 2A．4 B．－22 D．1a

log32，b

，c

sin789oabc的大小关系是A．a b c a c b c a b b c a已知f x=2x

x若f a

3,f

2a等于A．5 7 9 11二、填空题定义在R上的奇函数f（x）在（上单调递增，且 f（=0，则不等式f（x）≥0的解集是．已知函数f x

2 lnx，x2 2x

若存在互不相等实数 、、、有f a f b f c f d则a b c d的取值范围是 .cosx 1 1若函数

f(x) 2 |x|

，则f(lg2)

f lg

f(lg5)

f lg .x 2 5设定义在

上的偶函数f x在区间0,2上单调递减，若

f1 m f m，则实数m的取值范围是 ．对于复数d，若集合S

具有性质“对任意 y S，必有a22xy S”，则当b22c

1，时，b c d等于 b(4,2在幂函数

f(x)的图像上，则函数

fx)的反函数

f 1(x)= .2已知函数f x x 1的图象与直线2

y kx

2恰有两个交点，则实数 k的取值范1 x围是 .已知函数f x为R上的增函数，且对任意 x R都

f f x 3x

4，则f 4 .三、解答题已知函数

f(

3x 1x .证明：

3 1fx)为奇函数；判断

f(

的单调性，并加以证明；

f(

的值域.已知函数f x对任意实数x，y都满足f xy f x f y ，且f 1 1，f 27

1，当x9

1时，f x

0,1.(判断函数f x的奇偶性；(判断函数f x在 ,0上的单调性，并给出证明；1(若f a 1

，求实数a的取值范围.39已知函数1

fk(x)

xa

x，（k Z，a

0a

1）.若f12

3

f1(2)的值；若

fk(

为定义在R上的奇函数，且0

a 1，是否存在实数 ，使得f(cos2f(2 sinx 5) 0对任意的x 0,2

恒成立若存在，请写出实数 的取k k3x值范围；若不存在，请说明理由 .x已知集合A x 2求AUB；

x 4，函数f x

log2

1的定义域为集合B.

C xm 2

x m

，且C A B，求实数m的取值范围.药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量株数x的函数．当x不超过4时，v的值为当4

v(单位：千克)是每平方米种植20vx的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值为0．0

x 20时，求函数vx的函数表达式；x当每平方米种植株数 x为何值时，每平方米药材的年生长总量 (单位：千克)取得最值？并求出这个最大值． (年生长总量 年平均生长量 种植株数)x

f(x)

2 ，g(1 2

f(1.判断函数

g(x)的奇偶性；10 10求 f(i)i1

f(i)的值.i1***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．AA【解析】因为f(x)在R上的单调增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以f(x2)

f( x1)

f()

f()

f(x1) 0同理得

f(x2)

f()

f(x1)

f(x3) 0,f(x1)fx2)fx3)>0,A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．CC【解析】【分析】利用偶函数的性质将不等式

f lgx f

1变形为f

lgx f

1，再由函数y f x在0, 上的单调性得出lgx调性即可求出结果.【详解】

1，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单由于函数y f x是偶函数，由

f lgx f

1得f

lgx f 1，又Q函数y f x在0, 上是增函数，则 lgx

1，即1 lgx

1，解得1 x 10.10故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，查分析问题和解决问题的能力，属于中等题 .3．C解析：C【解析】x函数f（x）=（1 2

）cosx，当x=

时，是函数的一个零点，属于排除 A，B，当x∈1 2x 2（01）cosx0，x x1 21 2

＜0，函数f（x）=（1 21 2x

）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．排除D．故答案为C。4．DD【解析】【分析】令gx bx，则g x是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得

f(2)的值．【详解】令g(x)

ax3

bx

g(x)是R上的奇函数，又f(2) 3，所以g(2) 3 5，所以g(2) 2，g 2 2，所以f

(2)

g( 2) 3 2 3 1，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．5．AA【解析】【分析】由函数f x

log( 1 )=0,(a

0,a

1)的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x) 为增ax 1a函数，但 在[0，1]上为减函数，得 把x=1代入即可求出a的值．【详解】由函数f x函数，

1loga(x

)=0,(a1

0,a

1)的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x) 为增但 在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1

f(1) log( 1 a1 1a

a2=1,解得a= ，2故选A．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出讨论函数的单调性.6．DD【解析】【分析】

f

，这样避免了讨论．不然的话，需要可以得出a

1ln32,c

1ln25，从而得出a，同样的方法得出 b，从而得出10 10c的大小关系．【详解】f 2

ln2 ln32,c f 5ln5

ln25

根据对数函数的单调性得到 a>c,2 10 5 10f 3

ln3又因为a f 23

ln2 2 6

，b f 3

ln3 ln9，再由对数函数3 6的单调性得到 a<b,∴c＜a，且b；∴b．故选D．【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和 0比较做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果 .7．AA【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数

m,n满足m n

f(m)

f

f(

在区间[m2,

上的最大值为2，所以

f(m)

fn=2

f(x) log2x

解得x

2,1，即2m,n的值分别为12

2．故选A．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立 m,n的方程．8．CC【解析】【分析】根据已知条件得出

e4k

1，可得出k5

ln5，然后解不等式4

ekt

1200

，解出t的取值范围，即可得出正整数 n的最小值.【详解】4k由题意，前4个小时消除了80的污染物，因为4k

P

e

，所以1

4k，所以

0.2 e

，即4k

ln0.2

，所以k

ln5，4kt则由0.5%，kt

ln0.005

ln5t，4所以t

4ln200 4log 200 4log 52 23 8 12log 2 13.165 5 5 ，ln5故正整数n的最小值为14 4 10.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题 .9．DD【解析】∵对于任意的 x∈都有f(x-2)=f(2+x),∴函数f(x)是一个周期函数，且 T=4.x又∵当x∈[-2,0]时,f(x)= 12

-1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间(-2,6]内关于x的方程f x

loga x

2 03个不同的实数解，则函数y=f(x)与y=logax

2(-2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f(-2)=f(2)=3，则对于函数y=loga x于3，

2，由题意可得，当 x=2时的函数值小于当时的函数值大alog4<3,a

log8

由此解得：

34<a<2，a故答案为(34,2).a点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解10．BB【解析】1f 1 2 4212

2 2 4

f f 1 2

4 log12

4 2，故选B.11．BB【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知

3a log32 log334

3 3，4 20由指数函数的性质b0

20.1 1，由三角函数的性质c

sin7890

sin(2 3600

690) sin690

sin60，所以c ( 3,1)2所以a c b，故选B.12．BB【解析】因为f x=选B.二、填空题

x所以f a=2a 2af

2a=22a

22a=(2a

2a)2

2=7.13．-【解析】【分析】由奇函数的性质可得 f（由函数单调性可在（上f（在（4+上f（0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根解析：[-4 ，0]∪[4，+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得 f（由函数单调性可得在（ 上，f（x）＜0，在（上，f（x）＞结合函数的奇偶性可得在（ -4，上的函数值的情况，从而可得案.【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（=0，又由f（在区间（0，+∞）上单调递增，且 f （4）则在（4）上，f（x）＜在（4，+∞）上，f（x）＞0，又由函数f（x）为奇函数，则在（-4，0）f（x）＞（-4）f（x）＜，若f（x）≥，则有4≤x≤0x≥4，则不等式f（x）≥0[-4，0]∪[4故答案为：[-4，0∪[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．14．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：

1 1 2,1 1e3【解析】【分析】

e 不妨设

a,b

0,c,d

0，根据二次函数对称性求得 a b的值根据绝对值的定义求得

c,d的关系式，将d转化为c来表示，根据c的取值范围，求得a b c d的取值范围.【详解】不妨设

a,b

0,c,d

0，画出函数f x的图像如下图所示 .二次函数

y x2 的对称轴为x

1，所以a b

2不妨设c d，则由2 lnc

2 lnd得2 ln

2 lnd

cd

4,

e ，结合图像可知1 2 ln4c44

2，解得4c e4,e3

，所以

a b c d

e2 c cc4

4 3,e

，由于y

e2 x 在x4 3 e 1 1 1e ,e 上为减函数，故 2 cc

2,1 .【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题 .15．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析：10【解析】【分析】由f(x) 2 |x|

cosx，得x

f(x)

f( x) 4 2|x|，由此即可得到本题答案 .【详解】由f(x) 2 |x|

cosxf(

x) 2 | x|

cos(

2 |x|

cosx，所以f

(x)

x x xf 4 2|x|，则f(lg2) f( lg2) 4 2|lg2| 4 2lg2，f(lg5) f( lg5) 4 2|lg5| 4 2lg5，1 1所以，

f(lg2)lg

f(lg5) f lg 4 2lg2 4 2lg5 10.2 5故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.16．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：【解析】【分析】

1,12由题意知函数在 0,2上是减函数，在 2,0上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将可以解出m的取值范围【详解】解：Q函数是偶函数，

f(1 m)

f(m)转化成一般不等式，再结合其定义域f(1

f

m|)，f(m)

f(|m|)，Q定义在

上的偶函数f(

在区间 0,2上单调递减，f(1 m)

f(m)，剟|m||1 m| 2，得 m 1．21故答案为：【点睛】

1, ．2本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为 转化要注意验证是否等价．

来限制参数的范围．做题一定要严谨，17．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1【解析】由题意可得：

b2 1,a

1，结合集合元素的互异性，则： b 1，由c2 b 1可得：c i或c i，当c i时，bc i S，故d i当c i时，bc i S，故d i，综上可得：

b c d 1.即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式解析：

x2(x 0)根据函数经过点 (4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．【详解】因为点(4,2在幂函数所以幂函数的解析式为

f x x(1y x2，

的图象上，所以2 4，解得 1，2则x y2，所以原函数的反函数为

f 1(x)

x2(x

0)．故答案为：【点睛】

f1(x)

x2(x 0)本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图解析：( 4, 1) ( 1,0)【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式 .画出函数图像由直线所过定点结合图像即可得k的取值范围.【详解】函数函数fxx211x定义域为 xx 1x1时,fxx21x 1时,fx1 x xx2当11当1 x时,fxx2111xxx 1x 1画出函数图像如下图所示:直线y kx 2过定点0,2由图像可知当1 k

0时x

1和1

x 1两部分图像各有一个交点 ;当 4 k

1时与 1

x 1和1 x两部分图像各有一个交点 .综上可知k

4, 1

时与函数有两个交点故答案为: 4,1 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法 直线过定点及交点个数的求法 属于中档题.20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知解析：82【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出 f x的解析式，从而即可求解出x【详解】x

f 4.令f x

3x t，所以f x

t，又因为f t

，所以t 4，又因为y

3t t 4R上的增函数且x 4

1 4，所以t 1，所以f x

3 1，所以f

4 3 1 82.故答案为：82.【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般 已知f gx 的解析式，可考用换元的方法（令 gx t）求解出f x的解析式.三、解答题（证明见详解；（函数【解析】【分析】

f(x)在R上单调递，证明见详解；（ 3）(1,1)判断判断

f(f(

的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；R上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；3x 1 2 2 2（2）由

f(x) 1

，可得3x＞0，可得 及

的取值范围，可得f(

.

3x 1 3x 1

1

3x 1【详解】证明：（1）易得函数

f(

的定义域为R,关于原点对称，3x 1 1 且f( x)

3x 1 3x 1

f(x)，故

f(x)

为奇函数；函数

f(

R上单调递增，理由如下：R

2313x2031

＞0，2

0，31 1 3x2

1 2 2 31 3x2)可得f

(x1)

f(x2) x x

(1 x ) (1 x ) x x ＜031 1 32

1 31 1 32 1 (31 1)(32 1)故f(x1)

f(x2)＜0，函数

f(

在R上单调递增；3x 1 2由

f(x) 1

，易得3x＞03x3x 1 3x 12 2 2

3x

＜2，-2＜

0

-1

3x

＜1，故f

的值域为(1,1).【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.(1)f x为奇函数；(f x在 ,0上单调递减，证明见解析； (4, 1.【解析】【分析】令y 1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；先证明当x

0

f0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数

f(x)在0, 上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数 f x在 ,0上的单调性；1先利用赋值法求得 f 3 再利用函数的单调性解不等式即可39【详解】解：（1）令y

1

f x f x f 1.∵f 1 1，∴f x f x∴函数f x为奇函数；(函数f x在 ,0上单调递减.证明如下：由函数f x为奇函数得f11 1

f 1 1f x 1 1当x 0,1时，x

1，fx

0,1， f 1x所以当x 0时，f x 0，x2设0 x2，则1

1，∴0

f x2 1于是f x f

x2 x f

f x f x ，2 1 1 1所以函数f x在0, 上单调递减.∵函数f x为奇函数，∴函数 f x在 ,0上单调递减.(∵f 27

1，且f 279

f 3 f 91

f 3 ，∴f 3 13393又∵函数f x为奇函数，∴f 339∵f a 1

139，∴f a 1

f 3，函数f x在 ,0上单调递减.又当x

0时，f x 0.∴ 3 a 1 0，即4 a 1，故a的取值范围为 4, 1.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法（47；（2）存在， 3【解析】【分析】由指数幂的运算求解即可 .2由函数

fk(x)的性质可将问题转化为 cos2x

5 2 sinx对任意的x

0, 恒成3立，分离变量后利用均值不等式求最值即可得解 .【详解】1 1 1解：（1）由已知f12

a2 a2 3，1 1 2a2 a2

a a

2 9

a a1 7，2a a1

a2

2 2 49，a2 a2 47，即f1(2)

a2 a2

47.（2）若

fk(

为定义在R上的奇函数，则fk(0) 1 k

0，解得k 1，Q0 a 1，

fk(x)

ax

x，在R上为减函数，fk(cos2x)

fk(2 sinx

5) 0，可化为

fk(cos2x)

fk(2 sinx 5)

fk(5 2 sinx)，2即cos2x

5 2 sinx对任意的x

0, 恒成立，35 cos2

2sin2x 4 2 2即2sinx

2sinx

sinx

sinx

，对任意的x

0, 恒成立，3令t

x,t

[0,1]，则y t

2为减函数，t当t 1时，y取最小值为所以 3.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了均值不等式，属中档题 .(1) xx【解析】【分析】

2；(2) 2,3由对数函数指数函数的性质求出集合 B，然后由并集定义计算；在（基础上求出AI【详解】

B，根据