高中三年级数学下期中第一次模拟试题(含答案)

高中三年级数学下期中第一次模拟试题 (含答案)一、选择题等差数列（ ）

an中，已知

0，

a9 0，则

an的前n项和

Sn的最小值为已知在 中，，，分别为角，，的对边， 为最小角，且 ， ，，则 的面积等于（ ）A． 正项等比数列 中， 的等比中项为 ，令 ，则（ ）A．6 16 32 64VABC定是( )

C的对边分别为a，bc

C a b，则2 2a

VABC

的形状一A．直角三角形 等边三角形 等腰三角形 等腰直角三角形

an是以2为首项，1为公差的等差数列，

bn是以1为首项，2为公比的等12比数列，则ab 12

10 （）A．1033 1034 2057 2058已知x，y均为正实数，且 1 1 1，则x y的最小值为（ ）x 2 y 2 6A．20 24 28 32在等差数列｛an｝中，（ ）

a28

a29

a30 165，则此数列前30项和等于A．810 840 870 900y⋯0若不等式组

2x x

表示的平面区域是一个三角形，则实数 a的取值范围是（ ）A． 43

x a

B．0,11,43

D．0,1U 4,3已知等比数列an的各项均为正数，且

a5a6

a4a7 18，则log3log3a2 log3a3 log3（）A．10121 log35D．2log35河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处 浮雕像共7层，每层的数量是下层的 2倍，总共有6个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层往上的数量构成一个数列

log

a3

的值为（ ）A．8 10 12 16

x,y满足

x y 0x y 4 0，则3x y的最小值为（ ）x 4A．4 8 12 16已知锐角三角形的边长分别为 a，则a的取值范围是（ ）A．8,10 2 2, 10 2 2,10 10,8二、填空题要使关于x的方程x2值范围是 ．

a2 1x a

2 0的一根比1大且另一根比 1小，则a的取3an 3 *数列

满足：

a（a R且为常数），

an1

4 an

n N ，当3a 100时，则数列

an100

为 .xy满足约束条件

x y 1x y 3，则z x

2y的最大值是 ．

f(x)

x3 lg

xyx x2

001，则对任意实数

a,b，b

0“f(a)

f(b) 0的 条件．（填“充分不必要” .“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）已知等差数列 .

an 的前n

a8aSn有最大值，且a7

1，则当

0n的最小值为已知数列

an

1，

1 3an

，则数列

an的通项公式为 ．2已知数列2

an的前n项和为

1，且

an 1（ 为常数）．若数列 满足anbn

n 9n

201

，则满足条件的n的取值集合为 ．不等式2x 1 x 1的解集是 ．三、解答题己知数列 的前n项和为 ，且 ．求数列 的通项公式；设 ，求数列 的前n项和 ．已知正项等比数列

an

6

14．求数列

an的通项公式；1

log2an，已知数列

bnbn1

n

Tn证明：1．已知在 ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，bsinBtanC bcosB asinAtanC acosA．求证：A B；c

，

3，求ABC的周长．4已知在等比数列{a1

a2＝

a4a5＝128{bn满足b1＝1{bn

an}为等差数列．2求数列{a和{b的通项公式；求数列{b的前n项和

an 为奇数 *已知数列

an

a1=1，an1

2an为偶数

n N

a2n1．证明：数列

为等比数列；求数列

3n

n

Sn．等差数列

an

a2 4，a4

15．求数列

an 的通项公式；

2an2

n，求的值．***试卷处理标记，请不要删除一、选择题C解析：C【解析】【分析】先通过数列性质判断【详解】

0，再通过数列的正负判断

Sn的最小值.∵等差数列

a3

a9 0，∴a3

2a6

0

a6 0.又0，∴

的n

Sn的最小值为

S6.故答案选C【点睛】本题考查了数列和的最小值，将2．CC【解析】【分析】

的最小值转化为

的正负关系是解题的关键 .根据同角三角函数求出 ；利用余弦定理构造关于 的方程解出 ，再根据三角形面积式求得结果.【详解】由余弦定理得： ，即解得： 为最小角本题正确选项：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长 .3．DD【解析】因为，即，又本题选择D选项.，所以.4．AA【解析】【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简

C a 2

Acos

=

B，结合三角形内角和定理化简得到 cosAsinC【详解】

0

VABC

的形状．QC2

a+b2a1+cosC=sinA+sinB化简得sin

Acos

=sinB2 2sinAQB=p-(A+C)sinAcosC

=sin(A+C)即cosAsinC 0QsinCcosA

00即A=900VABC是直角三角形故选A【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简

C a 2 2a

时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．5．AA【解析】【分析】【详解】首先根据数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据ab1+ab2+⋯+ab10=1+2+23+25+⋯+29+10进行求和．解：∵数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an=2+（n-1），∵{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b=121，依题意有：ab1+ab2++ab10=1+2+23+25++29+10=1033，故选A．6．AA【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型

y x 2

2 4即可得出.详解：Qx,y均为正实数，且 1 1 1，则6 1 1 1x y (

2) (

x 2) 4

y 2 6

x 2 y 26( 1x

1 )[(y 2

2) (

2)] 46(2号.

y 2 xx 2 y

2) 4 6(2 2 y2 x

2 x 2) 4 2 y 2

当且仅当x y

10时取等x y的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质， 一正、二定、三相等”.7．BB【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3 165) 28．DD【解析】【分析】

，选B.要确定不等式组

y⋯02x x

表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出2x

x a2，再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数 a的取值范围．x 【详解】不等式组

2x x

2表示的平面区域如图中阴影部分所示．x y由2x y

得A 2,2 ，2 33由y 0 得

．2x y若原不等式组

2y⋯02x x

2表示的平面区域是一个三角形，则直线 x y a中a的取值范x a4围是a

0,1U ,3故选：D【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．9．AA【解析】【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列【详解】

an 的性质求解。因为log3a1

log3

log3

log3a10=log3

=log

5,又a7

a5a6

，由a4a518得9，所以5log3a1【点睛】

log3a2

log3a3Llog3log39=10，故选A。本题考查了对数运算及利用等比数列

an的性质，利用等比数列的性质：当n p m,

p,q

)时，aman

apaq，特别地m n10．C

2k,(m,k

2，套用性质得解，运算较大。C【解析】【分析】数列an

，是等比数列，公比为 2，前7项和为1016，由此可求得首项

a1，得通项公式，从而得结论．【详解】Q

a1，依题有：公比q

2,n

7,

a 1 271*1 21*

1016，解得8，则an

n1 n28 2 2 17,n N ，

25,a

27，从而5a a 275

212, log a a

log 212

12，故选C．3 5 2 3 5 2【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．11．AA【解析】【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线【详解】

y 3x，结合图象，可得最值．作出y满足

x y 0x y 4 0所对应的可行域（如图

VABC），变形目标函数可得

x 4y 3x z，平移直线y

3x可知，当直线经过点

A(2,2)时，截距 z取得最大值，此时目标函数z取得最小值3 2 2 4.故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．12．BB【解析】【分析】根据大边对大角定理知边长为 1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余定理，即这两角的余弦值为正，可求出 a的取值范围．【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为 3或a所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到

a2

32a2，由于a

0，解得2

，故选C．2a2a10本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A为锐角 cosA二、填空题

0；A为直角 cosA

0；A为钝角 cosA 0.【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译11根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛解析：2 a 1【解析】【分析】2设f x x

2(a 1)x a

2，要使得关于x的方程x2

(a2

1)x a

2 0的一根笔译1大且另一根比1小，转化为

f 1 0，即可求解.【详解】

f x x2

(a2

1)x a 2，要使得关于x的方程x2

(a2

1)x a

2 0的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足

f1 0a2

a 2 0，(a

1)(a

2) 0，解得 2

a 1，即实数a的取值范围是 2

a 1.【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于 x的方程x2 (a2

1)x a

2 0的一根笔译1大且另一根比 1小，转化

f(1) 0是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力 .数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】1849【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和 .【详解】数列an

满足：a1

a（a R且为常数），

an1

3an4 an an

3 *n N ，3当a 100时，则100，所以1 an

3（常数），故100 3n 1，所以数列的前34项为首项为100，公差为 3的等差数列.35项开始，由于

1，所以奇数项为 3、偶数项为1，

100 1 34 663 1 1849，2 2故答案为：1849【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前 n项和公式，需熟记公式，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题 .﹣33式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式[﹣33]【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 .详解：由约束条件作出可行域如图：x y 联立x y 3

，解得

1，2

1,2，化目标函数z x

2y为直线方程的斜截式

y x z.2 2由图可知，当直线1 2 2 3；x z

x zyB2 2过yB

1,2

，直线在y轴上的截距最大， z最小，最小值为当直线y

2 2

3,0

时，直线在y轴上的截距最小， z最大，最大值为3 2 0 3.z x 2y的取值范围为[﹣33].故答案为：[﹣3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是在平面直角坐标系内作出可行域．考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图?为真则是的充分条件2?与非?非?与非?3232【解析】3232f(x)

f(x) x

lg(x x

1) ( x)

lg( x xlg1

，所以

f(x)为奇函数，又

f(

为单调递增函数，所以a b 0

a b

(

f(b)

f(

f(b)

f(

f(b) 0，即b

0是

(a)

f(b) 0的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．定义法：直接判断“若 p则q”、“若则p”的真假．并注意和图示相结合，例“p?q”为真，则 p是q的充分条件．等价法：利用p?q与非q?非p，q? p与非p?非q，p? 与非q?非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．集合法：若A?B，则AB的充分条件或BA的必要条件；若A＝B，则AB的充要条件．17．14【解析】【分析】等差数列的前 n项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n项和有最大值可知再由知且又所以当时 n的小值为14故答案为【点睛】本题考查使的n的最小值的求法是中档解析：14【解析】【分析】等差数列的前 n项和有最大值，可知

a8d 0，由a7

1

0，

0，0，所以0，0，0，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n项和有最大值，可知 d 0，a8再由 1，a7

a7 0a8 0a7

0，2a7

0，2a8

0，

0，所以0，0，0，

时n的最小值为14，故答案为14．【点睛】本题考查使Sn

0的n的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题n解析：231 1n【解析】【分析】待定系数得到【详解】

an1 3

，得到因为an

1 2，所以1 3an ，

1 n

2 ，得到 1，

1 1 3an 1，而1 2，故an

12为首项，3为公比的等比数列，所以an

1 23n1，

23n1 1.故答案为：【点睛】

23n1 1.本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题 .19．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足解析：{5,6}【解析】【分析】

可求得 2；利用an

1可证得数列

an 为等比数列，从而得到an=

2-1

bn+1-

bn<

0可得到关于n的不等式，解不等式求得 n的取值范围，根据n N求得结果.【详解】当n 1时，2an 1

1

1 1，解得： 2当n 2且n N时

Sn1

21 1an=Sn-

=2an-

2an-1，即：an

2an1

是以1为首项，2为公比的等比数列

2n-1Qab n2 9n 20

n2 9n 20n1bn1nn2n 1

n2n 1 20 n2

n2 28bn1

n n1 n 02 2 2Q2n 0

n2 28

n 4 n

7 0，解得：4 n 7又n N n 5或6满足条件的n的取值集合为{5,6}本题正确结果：{5,6}【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用

an与Sn的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到

bn的通项公式，进而根据单调性可构造出关于 n的不等式，从而求得结果 .20．【解析】【分析】【详解】由条件可得解析：

x|0 x 2三、解答题三、解答题（；（2）【解析】【分析】（1）运用代入，得到【详解】，证明数列是等比数列，计算通项，即可。（2）将通项的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可。（1）数列的前n项和为，且当时，，解得：．当时，，得：，整理得：即：则：常数是以，，，3为公比的等比数列，首项符合，故：．（2）由于，所以，所以： ，则： ，，．【点睛】n考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等。n（

2；（

.【解析】【分析】由等比数列前n项和公式求出公比q

a1，得通项公式；用裂项相消法求出和【详解】

Tn，可得结论．设等比数列的首项及公比分别为

0，q 0，Q6，14，显然q 1，21 q21 q

6，解得

2，31 q q 23141 qna 2n；n

1 1 1 1证明：由（1）

n

bb n(n 1)

，n n 1

1

nn11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 ,2 2 3Qn N*,

n 1 n n n 1 n 11．【点睛】本题考查等比数列的前 n项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和．（证明见解析；（2 6 3．【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求

(A B)

0，可得A B

k Z，结合范围AB

(0, )，即可得证A B．由（可得a b，进而根据余弦定理可求 a b【详解】

6，即可求解 ABC的周长．QbsinBtanC bcosB asinAtanC acosA，bsinBsinC asinAsinCcos

bcosB acosA，cosCbsinBsinC bcosBasinAsinC acosAcosC，acos(A C) bcos(B C)，又QA B C ，acosB bcosA， sinAcosB sinBcosA，sin(A B) 0

A B

(k Z)，又QA，B (0, )， A B．Q由（可知A B，可得a b，3又Qc

3，cosC ，43 a2 a2 ( 3)

2a2 34 2aa

，2a2a2 b2 6，可得a b 6，∴ABC的周长

a b c

2 6 3．【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用 ，考查函数与方思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围 ．（a

2n1;b

3n

,＝1，；（）T

3n2

3n 2n1 1.n n2【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质得到

n4 4 2a7＝64，a2＝进而求出公比，得到数列 {a的通项，再由等差数列的公式得到结果；（ 根据第一问得到通项，分组求和即可 .【详解】设等比数列{a的公比为由等比数列的性质得 a2＝128，

＝2

a7＝64．所以公比q

a7 64 2．55a2 255所以数列{a的通项公式为a＝q2＝2－＝n－1．设等差数列{b

1a的公差为n n21 1 1 1 3由题意得，公差

d 2 2 1 1 ，所以等