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第5章非正弦周期电流的电路非正弦周期交流信号非正弦周期量的分解非正弦周期量的有效值非正弦周期电流的线性电路的计算非正弦周期电流电路平均功率第5章非正弦周期电流的电路本章要求：会进行非正弦量的分解。会进行非正弦量有效值的计算。了解非正弦周期电流电路的计算方法。会进行非正弦周期电流电路平均功率的计算。5.1

非正弦周期交流信号前面讨论的是正弦交流电路，其中电压和电流都是正弦量。但在实际的应用中我们还常常会遇到非正弦周期的电压或电流。分析非正弦周期电流的电路，仍然要应用电路的基本定律，但和正弦交流电路的分析还是有不同之处；本章主要讨论一个非正弦周期量可以分解为恒定分量（如果有的话）和一系列频率不同的正弦量。特点:按周期规律变化，但不是正弦量。非正弦周期交流信号的产生电路中有非线性元件；电源本身是非正弦；电路中有不同频率的电源共同作用。如：半波整流电路的输出信号-+

+ui-u05.1

非正弦周期交流信号uiw

tOu0w

tO计算机内的脉冲信号O周期性锯齿波OT示波器内的水平扫描电压tO晶体管交流放大电路交直流共存电路u0t+Ucciu+-u0+-+-SetCuRuit3.

非正弦周期交流电路的分析方法tE0ee1问题1

iR

eE0e1+++---即：R

R

Rsinω

tE1me E

0=

+i

=e

=

E0

+

e1

=

E0

+

E1msinω

t不同频率信号可叠加成周期性的非正弦量。此时电路中的电流也是非正弦周期量。问题2：既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流电路来求解。例:电路如图，u是一周期性的非正弦量，求

i

谐波分析法具体方法在5.4中介绍iRu+-基波（或一次谐波）二次谐波（2倍频）直流分量高次谐波¥k

=1=

A0

+

Akmsin

(kωt

+ψk

)+…..5.2

非正弦周期量的分解数学工具：傅里叶级数1.

周期函数f

(w

t)的傅里叶级数条件：在一周期内有有限个极大、极小值，有限个第一间断点。f

(ωt)

=

A0

+A1msin

(ωt

+ψ1)+A2msin

(2ωt

+ψ2)¥

¥f

(ω

t

)

=

A0

+

Bk

msin

k

ω

t

+

Ck

mcos

k

ω

tk

=1

k

=1周期函数Akmsin

(kω

t

+

ψk)=

Ak

m(sin

kω

t

cosψk

+

cos

kω

t

sin

ψk

)=

Akmcosψk

sin

kω

t

+

Akmsin

ψk

cos

kω

t=

Bkmsin

k

ω

t

+

Ckmcos

k

ω

t傅里叶级数另一种形式¥K

=1f(w

t

)=

A0

+

Akmsin(

kwt

+y

k

)πCπBA

=2

π0km2

π0km2

π00f

(ω

t

)cos

kω

t

d(

ω

t

)=

1f

(ω

t

)sin

kω

t

d(

ω

t

)=

1f

(ω

t

)

d(

ω

t

)12π¥

¥k

=1

k

=1所以f

(ω

t)=A0

+

Bkmsin

k

ω

t

+Ckmcos

k

ω

t求出A0、Bkm、Ckm便可得到原函数f

(ωt)的展开式。(参见教材P175例5.1.1)矩形波、三角波、锯齿波、全波整流电压的傅里叶级数展开式矩形波电压u

=

4U

m

(sin

ω

t

+

1

sin3

ω

t

+

1

sin5

ω

t

+

......)π

3

5三角波电压9

25π

2u

=

8Um

(sinω

t

-

1

sin3ω

t

+

1

sin5ω

t

-

......)uwtOuwtO锯齿波电压m2

π

2π

3πu

=U

(1

-

1

sinωt

-

1

sin2ωt

-

1

sin3ωt

-

......)全波整流电压u

=

2U

m

(1

-

2

cos2

ω

t

-

2

cos4

ω

t

-

......)π

3

15uwtOwtuO例

周期性方波的分解直流分量0¥u

=

U

+

Akm

sin

(

k

ω

t

+

ψk

)k

=1π2(sin

ω

t

+

1

sin3

ω

t

+

1

sin5ωt

+)3

5=

U

m

+

2U

m三波谐波七次谐波tuuOt基波tuOt五次谐波uOtuO直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波+五次谐波u直流分量t基波ut五次谐波从上例中可以看出，各次谐波的幅值是不等的，频率愈高，则幅值愈小。说明傅里叶级数具有收敛

性；其中恒定分量（如果有的话）、基波及接近基

波的高次谐波是非正弦周期量的主要组成部分。上

图中，我们只取到五次谐波，若谐波的项数取得愈

多，则合成的曲线愈接近原来的波形。2.

用频谱图表示非正弦周期量用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按

频率的高低把它们依次排列起来。称为频谱图。周期性方波的频谱图例52

π

3u=

Um

+

2Um

(

sinω

t

+

1

sin3ω

t+

1

sin5

ωt

+

)5p203p20205pw

3w

5ww设：Um=10Vu(V)O5.3

非正弦周期量的有效值¥k

=1若

i

=

I

0

+

ikm

sin(

kω

t

+

ψ

k

)

则有效值:TI

=02i

dt

1T1T

02T

I0

+

Ikmsin(kω

t

+ψk

)

d(

t

)=¥k

=1利用三角函数的正交性得¥+I

=

Ik

=1I

2

km2012=

I

2

+

I

2

+

I

2

+0

1

2教材178页(5.2.2)式5.3

非正弦周期量的有效值0I

=

I

2

+

I

2

+

I

2

+2

221,

I

,

式中：I1

2=

I

1m

=

I

2m同理，非正弦周期电压的有效值为：U

=

U

2

+U

2

+U

2

+0

1

2结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。例1:

求图示波形的有效值和平均值1001002=

25

=

5AT4T4tT10

dt

=TI

=平均值为:10

·TTI0

=

4

=

2.5A解：有效值为ti(A)104TTOwtu2ππ练习题：图示是一半波整流电压的波形，求其有效值和O平均值。5.4

非正弦周期电流的线性电路的计算分析计算要点利用傅里叶级数，将非正弦周期函数分解为恒定分量和各次正弦谐波分量相加的结果；利用正弦交流电路的计算方法，对各次谐波分量分别计算。（注意:对交流各次谐波的XL、XC不同，对直流C相当于开路、L相当于短路。）将以上计算结果，用瞬时值叠加。注意：不同频率的正弦量相加，不能用相量计算，也不能将各分量的有效值直接相加。U

m

=

80V

、T

=

0.02S例1:

方波信号激励的RLC串联电路中已知：R

=

10Ω、L

=

0.05H

、C

=

22.5

μF求电流i

。+Ru

i

-LC解：第一步：将激励信号展开为傅里叶级数2m00m0UTTU

dt

=T

1

T/2u(

t

)

dt

==

1直流分量：UtuUmO T/2

T谐波分量：0=

12πu

sin

kω

t

d(

ω

t

)πBkm(k为偶数)(k为奇数)=kπkππ=

4U

m0cos

kω

t

)

01 m

(-2U0=

12πu

cos

kω

td(

ω

t

)πCkmπ0=

0(

sin

kω

t

)π

k=

2U

m

1kπB2kmkm=

2Um+C2

=

Bkm

kmA

=（k为奇数）kmkBj

=

arctan

C

km

=

0¥k

=1所以

u

=

U

0

+

Ak

m

sin(

kω t

+

j

k

)5π

3+

2U

m

(sinω

t

+

1

sin3ω

t

+

1

sin5ω

t

+)=

U

mu10U3uu5+-+等效电源-+-+-t2uUmO T/2

T2

20=

80

=

40V=

U

m直流分量U3.141m=

2

·

80

=

51

Vπ=

2U

m基波最大值U=

80

V

,

T

=

0.02

S代入已知数据：U

m得51m5m=

1

U

=

10.2V五次谐波最大值U31m3m=

1

U

=

17V三次谐波最大值U=

314

rad/sT

0.02ω

=

2

π

=

2

·

3.14角频率电压源各频率的谐波分量为u1

=

51

sin314

t

V3U

0

=

40V3

55u

=

51

sin3 314

t

V

u

=

51

sin5 314

t

V第二步对各种频率的谐波分量单独计算=

40V(1)

直流分量U0

作用：U

0对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：I0

=0I0+U0-0U

作用的等效电路1

1==

141

Ωω

L

=

314

·

0.05

=

15.7

Ωω

C

314

·

22.5

·

10

-61Z

1

=

R

+

j(

ω

L

-

ω

C

)L

=

0.05HC

=

22.5

mfω=314rad/s+Ru1(2)基波作用i-LCZ11m=

51

=

0.4A126=

U

1mIu1

=

51

sin314

t

V=

126

—

-

85.3=

10

+

j(15.7

-

141)Ω(3)

三次谐波作用+R3ui-LC10Z33m=

17

=

1.7A=

U

3mI33u

=

51

sin3 314

t

V3141)13)]W=

[10

+

j(3

·

15.7

-»

10

0

Ω3

ω

CZ

=

R

+

j(3

ω

L

-(4)五次谐波作用+Ru5i-LC51.2Z55m=

0.2A=

10.2=

U

5mI55314

t

Vu

=

51

sin551411)]W=

[10

+

j(5

·

15.7

-=

51.2

78.8

ΩZ

5

=

R

+

j(5

ω

L

-

5

ω

C

)第三步各谐波分量计算结果瞬时值叠加i

=

I0

+

i1

+

i3

+

i5=

0.4sin(

ωt

+

85.3

)+1.7sin3

ωt+

0.2sin(5

ωt

-

78.8 )

AI0

=0=

1.7

0

A=

0.2

-

78.8

AI3mI5m1m=

0.4

+

85.3

AI例2:

有一RC并联电路，已知：

R

=

1kΩ

、

C

=

50 μ

Fi

=

1.5

+

0.707

2sin6280t

mA求：各支路中的电流和两端电压。Ru

Ci+-iRiCU0

=

RI

S0

=1·1.5=

1.5V解：(1)

直流分量

IS0

作用IS0

=

1.5mAR0Ui+-I0111»

3Ω=ω

C

6280

·

50

·

10

-6X

=C

12sin

6280

t

mA(2)基波作用i1

=

0.707C

1所以交流分量i1

基本不通过电因为

X

<<

R阻R这条支路。UC1

=

XC1

I

1

=

3

·0.707=

2.12mV1u

C

Ri1+-Ri

»

0i1CRi0+U

CR0I1i1U

»

0+-

-CR0<<U

在电容上的交流压降可以忽略不计ti(mA)t所以U

C

1i(mA)tI0(mA)+因此在这里电容对直流相当于开路，对交流起到了旁路的作用。这一作用在交流放大电路中我们将得到应用。I

=

I

+

Iω5ω3ω10+

I

+

......+

I

计算非正弦周期交流电路应注意的问题1.

最后结果只能是瞬时值叠加。不同频率正弦量不能用相量相加。2.

不同频率对应的XC、XL不同。5.5

非正弦周期电流电路平均功率TTP

=0u

id

t

1

¥u(ω

t

)

=

U

0

+

U

km

sin(

kω

t

+

ψk

)k

=1-

j

k

)i

(ω

t

)

=

I

0

+

I

km

sin(

kω

t

+

ψk