高中数学-数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

《数学归纳法》教学设计【课题】：数学归纳法【课型】：新授课【教学内容】：高中数学人教B版选修2-2第二章第三单元第一节第一课时【课程标准】：1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写【设计思想】：本课主要学习数学归纳法。以三个小例子引入新课，接着观看视频,思考多米诺骨牌游戏的原理是什么?引出数学归纳法的原理和概念.明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式.注意:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设.在讲述数学归纳法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例题和练习巩固掌握掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题,明确由n=k到n=k+1的增项问题.通过针对性练习和思考题明确:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解数学归纳法的应用。【教材分析】：学习数学归纳法以前，学生已经学习了等差数列、等比数列，得到通项公式用的是不完全归纳法，其正确性还有待用数学归纳法加以证明，因此数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展。它既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。数学归纳法这一方法，贯穿了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数。根据教学大纲“数学归纳法”教学分二个课时，这节课是第一课时，新教材的改革已开始关注探究性问题，因而通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的抽象思维能力；培养学生科学探索的创新精神，全面提高学生综合素质。无论在知识上，还是方法上对学生今后的学习都有着积极的意义。【学情分析】：学生们在前一节学过的归纳推理（不完全归纳法推理），又有必修五数列中递推数列对于递推的理解做基础，应该说有一定的理解的基础。但本节课的主要精力还是放在对数学归纳法原理（尤其是递推关系）的阐述上，使学生知其然，知其所以然。【教学目标】：一、三维目标分析【知识目标分解】1、理解数学归纳法的原理和本质；2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；3、会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。

【能力目标】（1）培养学生观察、分析、论证能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力。（2）借助实例分析，探究数学问题，培养数学建模的能力。【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕苦难、勇于探索的精神。2、让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。【德育目标】1、通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕苦难、勇于探索的精神。2、让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。二、确立教学目标基于课程标准和知识目标分解，制定教学目标如下：1、以三个小例子引入新课，接着观看视频,思考多米诺骨牌游戏的原理是什么?引出数学归纳法的原理和概念.明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.2、会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式.注意:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设.3、在讲述数学归纳法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例题和练习巩固掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题,明确由n=k到n=k+1的增项问题.通过针对性练习和思考题明确:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解数学归纳法的应用。三、重点难点分析教学重点：数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设教学难点：数学归纳法的原理【评价设计】：评价设计要基于教学目标，又要先于教学设计。评价的目的是促进学生的学习，发现学生达成目标过程中的问题和差距，从而调整教学方向，最终达到目标与评价的一致性。【教学方法】：结合学生的实际情况，及本节内容的特点，采用的是师生互动、共同探究法。其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在进行学案教学过程中遵循学生的认知规律，按照从特殊到一般、从具体到抽象的方法，充分调动学生的积极性，使学生养成自主探究的学习习惯，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。教学环节教学内容学生活动教师活动设计意图创设情景，激发兴趣开门见山，提出课题，展示学习目标学生以此为目标学习本节内容。展示目标领，让学生清楚本节课的要求，知道要掌握哪些知识。问题情境：【问题1】：对于数列，已知，,猜想其通项公式【问题2】：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的【问题3】：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法。什么是归纳法？归纳法的特点是什么？归纳法的优缺点是什么？学生回答以上问题，得出结论：归纳法：完全归纳法：不完全归纳法归纳法的优缺点：优点：缺点：学生思考回答问题，归纳总结教师提出问题，引导学生思考分析情境，自然引出课题---归纳法。调动学生的积极性，点出两种归纳法的不同特点。通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔。问题引领，探究新课探究：如何解决不完全归纳法存在的问题？想一想：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？通过观看多米诺骨牌的视频，并分小组亲自动手做骨牌推到的游戏.[思考]：1、有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法2、在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?学生回答:⑴第一块骨牌倒下；⑵当前面一块倒下时，后面一块必须倒下两个条件的作用：条件⑴：初始步；条件⑵：递推步利用类比的思想，可以把多米诺骨牌全部倒下的原理和实质进行迁移与升华，不难得出数学归纳法的一般步骤。学生动手做实验，体会多米诺骨牌全部倒下的原理和实质教师巡视，及时指导引导学生通过动手实践，总结发现规律，自主进行问题的分析探究。反复锤炼，培养学生思维的严谨性。数学归纳法：对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2)时命题成立;（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.由（1）（2）得出结论全体自然数成立这种证明方法叫做数学归纳法学生归纳总结教师完善步骤利用类比的思想，可以把多米诺骨牌全部倒下的原理和实质进行迁移与升华，得出数学归纳法的一般步骤。把复杂的问题简单化，学生容易理解接受。例题引领，巩固新知例题：用数学归纳法证明1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝n2证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。（2）假设当n＝k时，等式成立，即1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2那么当n=k+1时1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］＝k2+[2(k+1)－1］＝k2＋2k＋1＝（k+1）2即当n=k+1时等式也成立。由（1）和（2）可知，等式对任何都成立注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉学生起来说明解题思路教师板演例题规范的解题步骤。规范学生的解题步骤。评价样题：对于数列，已知，，猜想其通项公式并用数学归纳法证明用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝两名学生分别板演1、2教师巡视，要求学生写出完整的步骤。让学生掌握知识，培养学生严谨的治学的作风，规范学生的解题步骤。探究发现,能力提升【针对性练习】：1.用数学归纳法证明等式1+2+3…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是；当n＝2时，左边所得项是2、在用数学归纳法证明时，在验证当时，等式左边为（）A．1B．C．D．3、用数学归纳法证明：学生自己思考，小组交流教师巡视，及时指导使学生熟悉数学归纳法中的第一步，项的多少的确定从n=k到n=k+1时，等式左边需要增添的项是（）B、C、D、【能力提升】：思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+1当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1这就是说，n＝k+1时也成立所以等式对任何n∈N*都成立思考2：下面是某同学用数学归纳法证明等式证明：①当n=1时，左边＝右边＝1-=，等式成立②假设n=k时，等式成立，即那么n=k+1时当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立小组合作交流，讨论，全班交流。教师巡视，指导，师生合作，教师总结加强对数学归纳法中的关键步骤的理解应用。培养学生观察、归纳能力以及分析问题、解决问题的能力，再次体会生活中的数学问题。课堂小结，概括归纳【知识方面】：1.数学归纳法能够解决哪一类问题？2、数学归纳法证明题的步骤是什么？3、数学归纳法证明题的关键在哪里？【数学思想方法方面】：数学归纳法体现的核心思想是什么？学生主动思考，回顾归纳总结，积极回答。教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其他同学补充。对所学知识、思想方法进行反思总结，有利于学生理顺知识结构，掌握通性通法，提高学生的归纳概括能力。【板书设计】：数学归纳法一、数学归纳法步骤：三、例题（学生板演）二、例题（老师板演）【巩固练习】：【基础性练习】：（必做题）1、下面四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时式子值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时式子值为1＋kC．式子1＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时式子值为1＋D．设f(x)＝(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋2、用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推证时，不等式成立，左边应增加的项数为A．B．C．D．3、用数学归纳法证明不等式，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（）A.B.C.D.【设计意图】:必做题要求全部学生完成，练习的主要是上课讲授的基本知识，基本题型，强化学生的基础知识，加深对数学归纳法的理解和应意识。选做题：已知，，．（1）当时，试比较与的大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明．【设计意图】:选做题鼓励学有余力的同学去积极探索，发挥学生的探索和创造能力。《数学归纳法》学情分析高二学生经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。学生们在前一节学过的归纳推理（不完全归纳法推理），又有必修五数列中递推数列对于递推的理解做基础，应该说有一定的理解的基础。但本节课的主要精力还是放在对数学归纳法原理（尤其是递推关系）的阐述上，使学生知其然，知其所以然。本节课有两个难点：一是正确理解数学归纳法的原理和实质；二是构建用数学归纳法来解题的正确模式，通过精心类比骨牌和数学归纳法帮助学生突破难点一。构建正确解题模式的难点在于第二步中如何应用归纳假设，为了突出该如何应用归纳假设，我采用课外的题目作为例题，帮助学生突破难点二。让学生真正理解数学归纳法，自发主动的在以后的学习中利用数学归纳法来解题。《数学归纳法》效果分析本节课引入多米诺骨牌模型，并用课件演示。请学生观看后思考：多米诺骨牌为什么能全部倒下，对其摆放和操作有什么具体要求。提出假设：如果第一个骨牌推而不倒，骨牌能否全部倒下；若中间有一个骨牌发生意外没有倒下，情况又会怎么样？从而得到骨牌要全部倒下依赖两个条件：一、第一张骨牌被推倒。二、假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下。使学生的思维一直处于高度活跃状态，通过类比推理，有利于学生理解。如此通过动脑、动画，形象展示递推关系，分解第二步，为突破教学难点提供直观依据。激发了学生的学习热情，课堂气氛也很好，学生学习的情绪也很高涨。借此引出本节课数学归纳法的原理与实质，充分体现了学生做数学的过程，使学生对数学归纳法有了从感性到理性的认识过程。同时本节课我也注重数学解题步骤的规范性，通过教师板演例题，教师巡视指出问题，以及学生板演，强调正确的规范的解题过程，让学生不仅要掌握知识，而且要培养学生思维的严谨性。在探究数学归纳法的具体步骤中，发挥了小组合作的优势，增强学生团队能力的培养，提高了学生的分析问题和解决问题的能力。总体上本节课达到预设的教学目标，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在进行学案教学过程中遵循学生的认知规律，按照从特殊到一般、从具体到抽象的方法，充分调动学生的积极性，使学生养成自主探究的学习习惯，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。这节课成功的完成了本节课的教学目标，达到了预期效果。同学们能很好的掌握数学归纳法的步骤和方法的应用。在例1的讲解上把握也非常到位，变式训练中的问题以投影展示的方式呈现，进一步加深了学生对“归纳奠基”和“假设递推”的理解。如果这节课再给学生多点时间讨论合作，并给学生一些展示的机会，就能更好的调动课堂气氛了《数学归纳法》教材分析教材的地位和作用《数学归纳法》是高中数学选修2-2第二章第三单元第一节的内容，两课时。数学归纳法既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。贯穿了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数，平面几何等。其中体现的思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。高中代数本节是第一课时，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。

二、目标分析知识与技能：了解归纳法的含义。理解数学归纳法的原理。掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用数学归纳法证明简单的恒等式。过程与能力目标：通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。情感、态度与价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。认识有限与无限的辩证关系。感悟数学的内在美，激发学习数学的兴趣。三、教学重点和难点教学重点：了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤教学难点：数学归纳法证题有效性的理解；递推步骤中归纳假设的应用。《数学归纳法》试题基础训练一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝eq\f(qn＋2－1,q－1)(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是()A．1 B．1＋qC．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q32．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边的式子之比是()A.eq\f(1,2k＋1) B．eq\f(1,22k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)3．用数学归纳法证明eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(13,14)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项eq\f(1,2k＋1)B．增加了两项eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中两项但减少了一项eq\f(1,k＋1)D．以上各种情况均不对4．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1C．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2D．f(k＋1)＝f(k)＋k5．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时命题不成立，那么可推得()A．当n＝4时该命题不成立B．当n＝6时该命题不成立C．当n＝4时该命题成立D．当n＝6时该命题成立6．等式12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,2)(5n2－7n＋4)()A．n为任何正整数都成立B．仅当n＝1,2,3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)28．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3二、填空题9．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．10．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为__________，从k→k＋1时需增添的项是________．11．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．三、解答题12．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，n∈N＋，求证：n＋f(1)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n≥2且n∈N＋)．一、选择题1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)2．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证()A．a4k＋1能被4整除 B．a4k＋2能被4整除C．a4k＋3能被4整除 D．a4k＋4能被4整除3．在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()A．n＝1成立 B．n＝2成立C．n＝3成立 D．n＝4成立4．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证()A．n＝1 B．n＝2C．n＝3 D．n＝4二、填空题5．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，待证表达式应6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立；②假设n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n，等式都成立．以上证明错在何处？____________.7．设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明Sn＝eq\f(n2n＋1,2)时，第二步从“n＝k到n＝k＋1”右边应添加的项为________．三、解答题8．在数列{an}中，a1＝a2＝1，当n∈N*时，满足an＋2＝an＋1＋an，且设bn＝a4n，求证：{bn}的各项均为3的倍数．9．若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(a,24)对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．《数学归纳法》试题答案一、选择题1．[答案]C[解析]左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选C.2．[答案]B[解析]eq\f(k＋1k＋2k＋3…k＋k,k＋1＋1k＋1＋2…k＋1＋k＋1)＝eq\f(k＋1k＋2k＋3…2k,k＋2k＋3…2k2k＋12k＋2)＝eq\f(1,22k＋1).故选B.3．[答案]C[解析]n＝k时，左边＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1时，左边＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)∴增加了eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，减少了一项eq\f(1,k＋1).故选C.4．[答案]D[解析]因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k个交点，故交点个数为f(k)＋k.5．[答案]A[解析]由命题及其逆否命题的等价性知选A.6．[答案]B[解析]经验证，n＝1,2,3时成立，n＝4,5，…不成立．故选B.7．[答案]D[解析]∵当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2.当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.8．[答案]A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空题9．[答案]1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－110．[答案]1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋411．[答案]5[解析]25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．[证明](1)当n＝2时，左边＝2＋f(1)＝3，右边＝2f(2)＝3，等式成立．(2)假设n＝k时，k＋f(1)＋…＋f(k－1)＝kf(k)．当n＝k＋1时，k＋1＋f(1)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝1＋f(k)＋kf(k)＝(k＋1)f(k)＋1＝(k＋1)·(f(k)＋eq\f(1,k＋1))＝(k＋1)f(k＋1)．即n＝k＋1时，命题成立．根据(1)和(2)，可知结论正确.一、选择题1．[答案]B[解析]n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．故选B.2．[答案]D[解析]在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.3．[答案]C[解析]多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n等于3.4．[答案]C[解析]∵n≥3，n∈N，∴第一步应验证n＝3时，命题成立．二、填空题5．[答案]1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)26．[答案]没有用上归纳假设[解析]由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．[答案]eq\f(k＋2·2k＋1,2)[解析]Sk＋1－Sk＝eq\f(k＋12k＋1＋1,2)－eq\f(k2k＋1,2)＝eq\f(k＋2·2k＋1,2).三、解答题8．[证明](1)∵a1＝a2＝1，故a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3.∴b1＝a4＝3，当n＝1时，b1能被3整除．(2)假设n＝k时，即bk＝a4k是3的倍数．则n＝k＋1时，bk＋1＝a4(k＋1)＝a(4k＋4)＝a4k＋3＋a4k＋2＝a4k＋2＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k＝3a4k＋1＋2a4k.由归纳假设，a4k是3的倍数，故可知bk＋1是3的倍数．∴n＝k＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n，数列{bn}的各项都是3的倍数．9．[解析]取n＝1，eq\f(1,1＋1)＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,3×1＋1)＝eq\f(26,24)，令eq\f(26,24)>eq\f(a,24)，得a<26，且a∈N＋.∴取a＝25.下面用数学归纳法证明：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(25,24).①n＝1时，结论已证．②假设n＝k(k∈N＋)时，eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)>eq\f(25,24)，则当n＝k＋1时，有eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋1＋1)＝(eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1))＋(eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(1,k＋1))>eq\f(25,24)＋[eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(2,3k＋1)]．∵eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)＝eq\f(6k＋1,9k2＋18k＋8)>eq\f(2,3k＋1)，∴eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(2,3k＋1)>0.∴eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1＋1)>eq\f(25,24)，即n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n∈N＋，都有eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(25,24).故a的最大值为25.《数学归纳法》教学反思数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法，数学归纳法这一方法，贯通了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数，平面几何等。通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精神，提高学生综合素质。对数学归纳法的教学，我主要从以下几个方面进行设计：

1.“问题”：教材通过对递推数列进行归纳猜想得数列的通项公式，一一验证不可能实现，由此提出需要“另辟蹊径”，寻求一种能用有限个步骤的推理证明n取所有正整数都成立的数学方法.

2.“经验”：引入多米诺骨牌游戏，引导学生思考多米诺骨牌倒下的条件.

3.“类比”：类比多米诺骨牌倒下的条件，思考数列通项公式证明的方法,

4.“概括”：通过生活化的模型以及具体数学问题的例证，抽象概括出数学归纳法证题的一般模式.

5.“应用”：通过例题，加深对数学归纳法的理解，会用数学归纳法证明一些简单的数学问题.本节课有两个难点：一是正确理解数学归纳法的原理和实质；二是构建用数学归纳法来解题的正确模式，通过精心类比骨牌和数学归