2024学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二数学第一学期期末检测试题含解析

2024学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二数学第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件2．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.3．若是真命题，是假命题，则A.是真命题 B.是假命题C.是真命题 D.是真命题4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（）A. B.C. D.5．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m6．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C.对任意， D.对任意，7．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3258．设函数在上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对9．函数的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.610．在正方体中，，则（）A. B.C. D.11．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（）A.样本中对平台一满意的消费者人数约700B.总体中对平台二满意的消费者人数为18C.样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60D.若样本中对平台三满意消费者人数为120，则12．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，若椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，分别是椭圆和双曲线的离心率，，是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且，则的最大值为______14．在平面直角坐标系中，直线与的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程15．曲线的长度为____________.16．如图，正方形ABCD的边长为8，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL.依此方法一直继续下去.①从正方形ABCD开始，第7个正方形的边长为___；②如果这个作图过程可以一直继续下去，那么作到第n个正方形，这n个正方形的面积之和为___.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若在单调递增，求的取值范围；（2）若，求证：.18．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求不等式的解集.20．（12分）已知数列满足，，数列前项和为.（1）求数列，的通项公式；（2）表示不超过的最大整数，如，设的前项和为，令，求证：.21．（12分）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，（1）求异面直线所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任意两点，为坐标原点，且以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要条件.【题目详解】因为>0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要条件.故选：C.2、D【解题分析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程【题目详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴则其标准方程可设为：则准线方程为：解得：则抛物线的标准方程为：故选：D3、D【解题分析】因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.考点：真值表的应用.4、D【解题分析】依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得，再根据离心率公式计算即可.【题目详解】设椭圆的焦距为，则椭圆的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故选：D.【题目点拨】本题考查椭圆几何性质，在中，利用余弦定理求得是关键，属于中档题.5、B【解题分析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.【题目详解】设半径为R，,解得,化简得.故选：B.6、D【解题分析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【题目详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.7、A【解题分析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.【题目详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故选出的第3个样本的编号为148.故选：A.8、C【解题分析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.【题目详解】.故选：C9、D【解题分析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值【题目详解】由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D10、A【解题分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【题目详解】因为，而，所以有，故选：A11、C【解题分析】根据扇形图和频率分布直方图判断.【题目详解】对于A：样本中对平台一满意的人数为，故选项A错误；对于B：总体中对平台二满意的人数约为，故选项B错误；对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项C正确：对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项D错误故选：C12、C【解题分析】根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【题目详解】由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上下顶点时，最大，故只需即可满足题意，设O为坐标原点，则只需,即有，所以，解得，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到的关系，然后利用三角换元求最值即可.【题目详解】解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为，半焦距为c，设，，，因为，所以由余弦定理可得，①在椭圆中，，①化简为，即，②在双曲线中，，①化简为，即，③联立②③得，，即，记，，，则，当且仅当，即，时取等号故答案为：.14、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解题分析】（Ⅰ）求出点的坐标，设圆的半径为，圆上的点到轴的最小距离为1求得的值，由此可得出圆的标准方程；（Ⅱ）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当切线的斜率不存在时，可得切线方程为，验证即可；当切线的斜率存在时，可设所求切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径可求得的值，综合可得出所求切线的方程.【题目详解】（Ⅰ）联立方程组，解得，即点设圆的半径为，由于圆上的点到轴的最小距离为，则，所以，故圆的标准方程为；（Ⅱ）若切线的斜率不存在，则所求切线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；若切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，整理得，解得或故所求切线方程为或【题目点拨】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点的圆的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.15、【解题分析】曲线的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.【题目详解】解：由得，所以曲线（）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，∴曲线（）的长度是，故答案为：.16、①.1②.【解题分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，然后根据等比数列的通项公式及等比数列的前n项和的公式即可求解.【题目详解】设第n个正方形的边长为，第n个正方形的面积为，则第n个正方形的对角线长为，所以第n+1个正方形的边长为，，∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，，∴，即第7个正方形的边长为1；∴数列{}是首项为，公比为的等比数列，故答案为：1；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）由函数在上单调递增，则在上恒成立，由求解.（2）由（1）的结论，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【题目详解】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，则有在上恒成立，即.令函数，，所以时，，在上单调递增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知当时，为增函数，不妨取，则有在上单调递增，所以，即有在上恒成立，令，则有，所以，所以，因此.【题目点拨】方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到18、（1），（2）【解题分析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得.利用求得；（2）利用错位相减求和即可.【小问1详解】设数列公差为，由成等比数列有：，解得：，所以，数列，当即，，解得：，当时，有，所以，得：.又，所以数列为以为首项，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】，，，得，，化简得：.19、（1）（2）【解题分析】（1）利用与的关系求解即可；（2）首先利用裂项求和得到，从而得到，再解不等式即可.【小问1详解】令，则，当时，，当时，也符合上式，即数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，则，所以故可化为：，故，故不等式的解集为.20、（1），（2）证明见解析【解题分析】(1)利用累加法求通项公式，利用通项公式与前n项和公式的关系可求的通项公式；(2)求出并判断其范围，求出，利用裂项相消法求的前n项和即可证明.【小问1详解】由题可知，当n≥2时，＝当n＝1时，也符合上式，∴；当时，，当n＝1时，也符合上式，∴；【小问2详解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴设为数列的前n项和，则.21、（1）（2）【解题分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,则,,所以，所以直线所成角的余弦值为；【小问2详解】设为平面的一个法向量，,则m⋅，同理,则,可取平面的一个法向量为，则,由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.22、（1）（2）证明见解析，定值为【解题分析】（1）根据题意得到，，得到椭圆方程.（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情