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文档简介
第40讲隐零点
利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单
调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解
或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算的差异
可分为以下两类:
(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.
(2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点.
对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧
妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点.
我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条
件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下:
第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方
程/'(不)=(),并结合/(x)的单调性,通过取特殊值逼近的方式得到零点的范围.
第二步:以一阶导函数零点后为分界点,说明导函数广(力在%左、右两边的
正、负号,进而得到/(x)的极值表达式“Xo).
第三步:将零点方程/'(不)=0适当变形,整体代人极值式子/(七)进行化简
证明.
有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓
住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代人即可.请注意,进
行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用事函数替换,这是简化函数
的关键.
无参隐零点问题
隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数/(X),导函数方程
r(x)=o的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为:
第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程ra)=o的根为4.
第二步:写出零点等式/'(而)=0成立.
第三步:取点找出注意确定X。的合适范围。
第四步:把零点等式变形反带回/(X),进行简化,从而求解.
【例1]已知函数f(x)=3e*+X2,g(x)=9x-l.证明:
【解析】证明:设〃(x)=/(x)-g(x)=3e*+x2一9x+l,//(x)=3e*+2戈一9为增
函数,
二可设〃'(玉))=0.
//(0)=-6<〃(l)=3e—7>o
.•.而G(O,1).
当x>x()时,>0.当x</时,
<0.
"1"=〃(%)=女"+%-9%+1.
又3e"+2x0—9=0,3e而=—2x0+9.
***=—2x()+9+玉;—9毛+1=—11%)+10=(%)—1)(不)—10)•
%)G(0,1),/.-1)(^-10)>0,
二〃(X)min>0J(x)>g(x).
【例2】已知函数/(x)=e'—ln(x+2),求证:.f(x)>0.
【解析】证明:r(x)=e,--L在区间(-2,+。)上单调递增,
x+2
又r(-i)(o,r(o))o,
:.f\x)=0在(—2,+。)上有唯一实根为,且与e(-1,0).
当xe(-2,题)时,/'(x)<0.
当X€(入0,+力)时,/'(%)>0.
从而当X=Xo时,/(x)取得最小值.
1
由/'(不)=°,得e*,ln(x0+2)=-x0,
X。+2
;•/(%)•J(Xo)=-^+Xo='"+?〉0;./(x)〉0.
【例3】已知函数/(%)=*-x-xinx.
证明:〃力存在唯一的极大值点小,且匕一2</伉)<2一2.
【解析】证明:/(x)=x2-x-xlnx,/"(x)=2x-2-lnx.
设/z(x)=2x-2-lnx,
则Ar(x)=2--.
x
当了£(0《卜寸,"(x)<0.
当X时,”(%)>().
\2)
.•/(X)在(0,£|单调递减,在单调递增.
又〃0)>0,〃出<0,72(1)=0,
/2(X)在(0,;]零点只有/,在零点只有1,且当xe(CUo)时,〃(x)>0.
当xe(x(),l)时,用(述)<0.当xe(l,+oo)时,/z(x)>0.
r(x)=〃a),
;.x=%是/(x)在(0,1)上的唯一极大值点.
由/'(占)=0得1mo=2(玉)一1).
•1'/(%)=玉)(1-x())•
由与40,1)得o</(%0)<-.
=是/(x)在(0,1)的最大值点,由
e-i€(0,1),广©)。0得
2
/(%0)>/(e-')=e-.
22
.-.e-</(x0)<2-.
含参隐零点问题
含参函数的隐零点问题:已知含参函数/(x,a),其中。为参数,导函数方程
/'(x,a)=0的根存在,却无法求出,其解题步骤为:
第一步:设方程/'(x,a)=0的根为0.
第二步:写出零点等式_f(x,a)=0成立时,含%,a的关系式.
第三步:取点找出方的合适范围,该范围往往和a有关.
第四步:反带回/(x)进行求解,通常可以消参.
[例1]设函数/(x)=e2x-«lnx.
⑴讨论的导函数/'(X)零点的个数.
(2)证明:当a>0时/(x)..2a+aln—.
【解析】⑴/(X)的定义域为(o,+e)J'(x)=2e2jt--(x>0).
X
①当a,,0时,/'(x)>0J'(x)没有零点.
②当a>0时,e2*单调递增,-应单调递增.
X
.•/(X)在(0,+8)单调递增.
又/'(a)>。,当匕满足0<沙<?且时,/'e)<0,故当a>0时,/'(x)存在唯一
零占
y八、、•
⑵(证明)由⑴题,可设了'(X)在(0,+oo)的唯一零点为当xw(O,x())时,
rw<o.
当X€+。)时,/'(%)>0.
故“X)在(0,与)单调递减,在(x0,+⑹单调递增,
.•.当X=/时,/(X)取得最小值,最小值为/(/).
由于2e2M_£•=(),
%
a22
jfXQ)=------F2CLX0+“In—..2a+41rl-.
2x0aa
2
故当a>0时,/(力..2。+<7111—.
【例2】已知函数/(x)=e*-ln(x+An).当冉2时,证明"(x)>0.
【解析】证明:函数/(x)的定义域为(-加,则
广(什_„.二1.
x+mx+m
设g(x)=(x+加)e'-l.
g'(x)=(x+〃z+l)e'>0,
.•.g(x)在(-n+力)上单调递增.
2-m
又..g(_m)=_i^0,g(2-/«)=2e-l)2xl-l>0
g(X)=0在(-机+8)上有唯一实根与.
当X€/)时,g(X)<0,广(X)<0.
Z
当X€(不,+8)时,g(x)>O,/(x)>0,从而当X=/时,/(X)取得最小值为/(xo).
由方程g(x)=0的根为X。,得,ln(x0+m)=-x0
故/(x0)=!—+x0=-5—+(x0+m')-m..2-m,当且仅当见+机=1时,取等号.
x()+mxQ+m
又,/%,2时,.
/(左)..0取等号的条件是%+加=1,e"=工;最及加=2同时成立,这是不可能的,
,/(西))>0,故/(x)>0.
[例3]已知函数/(x)=Ae*T,g(x)=Zdnx+&(x+l).
⑴求/(x)的单调区间.
⑵证明:当人>0时,方程〃X)=攵在区间(0,母)上只有一个零点.
⑶设〃(x)=/(x)-g(x),其中k>0,若/z(x)..O恒成立,求女的取值范围.
[解析】(1)/(x)=xet+l,
:.f'{x)=e'T+xex+1=(x+l)ex+l,
令r(%)>o得万>—i.
令r(6<o得x<-1.
故〃x)的单调减区间为(-8,-1),单调增区间为(T+功.
(2)证(明)设=(x)-左=xe'”-左,左>0,
则«x)=(x+l)e可由⑴题可知/(x)在(-1,+8)上单调递增,
又(0)=-k«,t(k)=雇X—%=女仁川T》0,
.・/(X)在(0,+8)上只有一个零点.
故当2>0,方程/(%)=%在区间(0,+8)上只有一个零点.
(3)由题意得〃(%)=/(x)-g(x)=xe*+i-Zdnx-Z(x+l),(x>0M>0),
"(x)=(x+l)eA+1———k=x+1(xe'+i-k).
XX
令〃'(x)=0,则肥㈤一Z=0.
由⑵题得r(x)=xe'M-N攵>0,在区间(0,+“)上单调递增且只有一个零点.
不妨设r(x)的零点为%,
则当xe(O,x())时,f(x)<0,即”(x)<0,止匕时//(%)单调递减.
当xe(x()+<»)时,f(x)>0,即"(x)>0,此时7i(x)单调递增,
/.函数的最小值为人(王),且〃(%))=~优+|-4吗)一%(王)+1)-
k
A+l
由xoe°—k-Q^xa-——-,故
k
fi(x0)=k-0n、.M-J(%o+1)=k-kink.
根据题意//(左)..0,即女-他次..0,
解得0〈匕,e.
故实数Z的取值范围是(0,e].
隐零点求最值
利用隐零点求最值的步骤:
第一步:求出一阶导函数r(x),并判定其单调性(也可利用二阶导函数来判
定).
第二步:利用零点存在定理判定尸(力存在零点,写出零点方程广(为)=0,并
确定零点取值范围:玉)€(〃,》)•
第三步:通常极值就是最值,写出最值表达式/(%).
第四步:零点等式变形代人最值表达式,这里常用到一个指对互化的变形方式:
e,"—^-=0oe"=—<=>x()e"=1o
玉)玉)
In(乙户”>)=lnx0+%=0
x+lnx+1
【例1】求函数*x)=:(x>0)的最大值.
【解析】由已知得
1+-xex-(x+l)eAx(x+lnx+l)
F(x);二2——7—3—
-(x+l)(x+lnx)
令夕(%)=兀+111%(1>0),则(p\xj=1+—>0
函数夕(力在(0,+oo)上单调递增.
/.存在e,使得夕(毛)=/+*=0,
Atl
其中玉,+lrur0=0oxoe=1(指对互化).
/.当0<x<x()时,夕(x)(0,F'(x(0.
当尤>与时,(p[x)>0,广(x)<0.
.•.尸⑴在(0,天)上单调递增,在(%,+8)上单调递减.
【例2]求产(x)=x(e,-l)-lnx+2,x>0时的最小值.
【解析】F,(x)=ev-l+xev--=ev(x+l)-^^-=(x+l)^ev--j,x>0.
/?(x)=ex--,x>0.
令"(x)=e*+=>0.
.•・〃(X)在(0,+8)上单调递增.
存在唯一的/e,1]使得)=e%-J=0
当0cx<玉)时,〃(x)<0,即尸(x)<0.
当x>玉)时,〃(x)>0,即尸,(x)>0.
故E(x)在(0,小)上单调递减,在伍,+“)上单调递增.
v,,
E(x)min=面(e%一1)-1叭+2=x0e-x0-lnx0+2,
vA(,
由于h(x0]=e°--^-=0得xoe=1,
v<l
再对xoe=1两边取对数得%+lnx0=0.
x
•••/(x)min=Xoe°-x0-lrw0+2=l-0+2=3.
【例3】求°(x)=A^±—e、+2的最大值.
--x-(l+lnr).22
【解析】“3=^~~p----------4=-*工°./>0
令〃(x)=-Inx-,则一(2xe“+x2eA^=---xev(2+x)<0(x>0),
在(0,+oo)单调递减
又〃(,)=l-ec2>0,〃(l)=—e<0,
由零点存在性定理知,存在唯一零点尤0e2,1),使〃)=0,即-1叫,=$.
两边取对数可得ln(-lnxo)=21nxo+/,即ln(-l叫HI-IIUQ”七+1叫.
由函数y=x+lnx为单调增函数可得
x0=-liu0,
二.当0卜«时
当x>x()时,〃(x)<O,0'(x)<O.
二火同在(0,%)上单调递增,在(内),+8)上单调递减.
夕(X),,夕(%)=1+"%-ex°+2=---—+2=1.
X。*0%
隐零点求参数取值范—一参变分离
参变分离法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,就是按参变分离的
基本步骤.不同的只是分离参数之后求最值时,无法精确地求出极值,只能用隐零
点的方式求出一个范围,所以所求最值也只是一个范围.这一类题目,会有一个明
显的特征,就是所求参数通常为正整数,只有这样,参数才能取到一个确定的值。
【例1】已知函数/(%)=%(至+1),若对任意的工€(1,+8),/(%)..租(%-1)恒成立,
求正整数〃?的最大值.
【解析】
由/(x)=x(lnx+l),则xe(l,+oo)时/(x)度-1)恒成立等价于xw(1,+e)时,相x(lnx+l)恒成立.
X-1
令g(上哈Dm,则g,(3若0
令/2(尤)=%—10%—2,贝肌'(犬)=1-1.
当X€(1,+8)时,/Z(x)>0,则〃(X)单调递增
"(3)=1-ln3(0,0(4)=2-21n2)0,
.•.玉o«3,4),使得可修)=0。
当xe(1,/)时,g(O.xe(x0,+oo)当0.
/、x)(lnx+1)
•••g(X)min=g(%。)=-----(;)—•
xo-1
〃(毛)=5一1叫一2=0,1叫)=x0-2.
g(x)min=g(%)==X。e(3,4).
X。—1
m,,n)e(3,4),即正整数/加勺最大值为3.
[例2]已知函数/(%)=210¥-2依+2,且(工)="2_2](。£2,若。£2,月.不等式
/(x)„g(x)在(0,+oo)上恒成立,求4的最小值.
【解析】不等式/(X),,g(x)为21nx-2利+2,加^2%在(0,+oo)上恒成立,
/.不等式2(lnx+l),,依2+2or-2x在(0,+8)上恒成立.
4
a..I,工在(°,+°°)上恒成立.
21nx+2+2x
设/?(x)=
x2+2x
2(x+l)(x+21ax)
则l(x)=-
(F+2犬J
当x>0时,x+l>0,(f+2x)->0.
2.
设°(x)=x+21nx.e(x)=1+—>0,夕(x)在(0,+。)上是增函数,
3弓一21n2(0,奴1)=1)0,
(p
存在X。使得°伍)=0.
当0<了<玉)时,o(x)(0,”(x))0.
当%>/时,勿(x)>0,/(x)<0.
.,./2(力在(0,天))上单调递增,在5,+")上单调递减.
0(x())=X。+21nA•()--0,lnx
02
则〃⑴M〜(%)=2乜产=2±^=J
✓VriI*4人Q人n"•乙人■fj八r
1(5,1),;.—e(l,2).又■_■aGZ,.'.
Q…---,,・XQG“min=2
X。
.'.a的最小值为2.
【例3】知函数/(6=史受,若"x),,e,+:-1恒成立,求实数。的取值范围.
【解析】由〃同,,6'+2—1可得电*,,6'+2_1
XXX
分离〃可得④—l)-lri¥+2,x>0.
令F(x)=x(e"—1)—lux4-2,x>0.
Fz(x)=ex-l+xeA--=ev(x+l)-^^=(x+l)ex--\x>0.
xx\x)
x+1>0,^/z(x)=eA--,x>0.
贝ij〃(x)=e*+J>0.
二./z(x)在(0,+8)上单调递增.〃[g]=捉一2<=e-l>o
存在唯一的与使得〃(x())=e*--—=0
当0℃0时。(%)<0,即Fr(x)<0.
当时,/?(%)>0,即F<(x)>0.
故尸(x)在(0,无。)上单调递减,在(如+”)上单调递增.
A
尸(x)min=%(e闻一1)-1叫+2=x0e0-x0-lnx0+2,
由于〃(Xo)=e"--=1.
%0
再对x0e=1两边取对数得x0+lnx0=0.
x
F(x)min=xQe0-x()—lri¥()+2=1—0+2=3.
/.3.
即实数〃的取值范围④3.
隐零点缩小参数取值范围一一分类讨论
分类讨论法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,也是按前面的分类
讨论的基本步骤.不同的是,在验证某一类参数范围是否满足条件时,要利用隐零
点来辅助验证,从而排除并缩小范围.
【例1]若不等式力在[1,+8)上恒成立,求人的取值范围.
【解析】由题意,。(工-1,,-1111..0在[1,+00)上恒成立.
⑴若”,0,当乂.1时,显然有〃(%-1)@-1叫,0恒成立,不符题意.
⑵若力>0,记/i(x)=5(%-1)e"—liw,则〃(x)=bxe,x-->
显然“(X)在[1,+8)单调递增.
⑴当吗x1时,力'(丘)廉'(1)=加_10.
.•.工£[1,+8)时,〃(%)..//(1)=0.
(2)当0<0<1时,〃'(1)=从一1<0,
存在x°〉l,使〃'(x)=0.
当时,〃'(x)<0.
当xe(x(),+oo)时,〃(x)>0.
在(1,拓)上单调递减,在[,+“)上单调递增.
当时,〃(》)<〃(1)=0,不符合题意.
综上所述,所求匕的取值范围是
注意:本题可用后面章节的端点效应快速【解析】决.
【例2】设函数/(x)=(ax+l)eT(aeR),对任意XG[0,+OO),/(X),,x+1恒成
立,求实数。的取值范围.
【解析】令/i(x)=(ox+l)eT-x-l,则—,x+1成立等价于五(%),,0,
①若4,0,当X..0,则办+喇,0<b1=/(%)?1,
而尤+L.1,即/(%),,x+1恒成立.
②若0<4,2,则//(x)=e7(a-l-ox)-l,
当x..0,由0=4-1-0¥,「(尤)=-1<0得0是减函数,
[()Lax=r(0)=aT,L
又e:,1,:.〃'(x)<0,〃(x)在[0,+句上是减函数,
此时当倔〃(0)=0.
③若
«>2,A,(O)=e^(«-l-axO)-l=«-2>O,/z,(l)=e-|(«-l-«)-l=-e-I-l<O,
.•."(x)=()在(0,1)有零点.
在区间xe(0,1),设g(%)=〃'(x)=>g'(x)=e~x(6Lx+l-2iz)<e~A(1-iz)<0,
.♦.”(•x)在xe(0,1)上是减函数,
即”(力=0在(0,1)有唯一零点了,且在(0,国)上,〃(切>0.
在(0,%)为增函数,即在((),/)上⑼=0.
二/(x)>x+1,不合题意.
综上可得,符合题意的。的取值范围是(80,2].
注意:本题可用后面章节的端点效应快速解决.
【例3】已知/(x)=(x—l)e'-a(x2+D.XWL+OO),若/(%)…一2a+lnx恒成
立,求实数。的取值范围.
【解析】令g(x)=(x-l)e*-a(尤2-1)-Inx
问题转化为g(x)..O在xe[l,+oo)上恒成立.
g'(x)=求"一2必一工,注意至ijg(l)=0.
①当时,g'(l)=e-2aT<0,
1
g,(ln(2a+1))=ln(2a+l)
ln(2a+l)
2a+1>e,
.•.ln(2a+l)>l,gr(ln(2«+l))>0.
存在%e(l,ln(2a+l)),使g'(玉J
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