2023届高中数学大题二轮复习第40讲隐零点-解析版

第40讲隐零点

利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断，而函数的单

调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解

或估计，是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点，根据其数值计算的差异

可分为以下两类：

（1）数值上能够精确求解的,称为显零点.

（2）能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点.

对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧

妙的不等式应用，对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点.

我们一般可对隐零点“设而不求”，通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条

件，从而最终解决问题，一般操作步骤如下：

第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出一阶导函数零点方

程/'（不）=（），并结合/（x）的单调性，通过取特殊值逼近的方式得到零点的范围.

第二步:以一阶导函数零点后为分界点，说明导函数广（力在％左、右两边的

正、负号，进而得到/（x）的极值表达式“Xo）.

第三步:将零点方程/'（不）=0适当变形，整体代人极值式子/（七）进行化简

证明.

有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形，但只要抓

住特征（零点方程），判断其范围（用零点存在性定理），最后整体代人即可.请注意，进

行代数式的替换过程中，尽可能将指数、对数函数式用事函数替换,这是简化函数

的关键.

无参隐零点问题

隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数/（X）,导函数方程

r（x）=o的根存在，却无法精确求出,其一般解题步骤为：

第一步:求导，判定一阶导函数的单调性，并设方程ra）=o的根为4.

第二步:写出零点等式/'（而）=0成立.

第三步:取点找出注意确定X。的合适范围。

第四步:把零点等式变形反带回/（X）,进行简化，从而求解.

【例1］已知函数f(x)=3e*+X2,g(x)=9x-l.证明:

【解析】证明：设〃(x)=/(x)-g(x)=3e*+x2一9x+l,//(x)=3e*+2戈一9为增

函数，

二可设〃'(玉))=0.

//(0)=-6<〃(l)=3e—7>o

.•.而G(O,1).

当x>x()时,>0.当x</时，

<0.

"1"=〃(％)=女"+%-9%+1.

又3e"+2x0—9=0,3e而=—2x0+9.

***=—2x()+9+玉；—9毛+1=—11%)+10=(%)—1)(不)—10)•

%)G(0,1),/.-1)(^-10)>0,

二〃(X)min>0J(x)>g(x).

【例2】已知函数/(x)=e'—ln(x+2),求证:.f(x)>0.

【解析】证明：r(x)=e，--L在区间(-2,+。)上单调递增，

x+2

又r(-i)(o,r(o))o,

：.f\x)=0在(—2,+。)上有唯一实根为，且与e(-1,0).

当xe(-2,题)时,/'(x)<0.

当X€(入0,+力)时,/'(%)>0.

从而当X=Xo时,/(x)取得最小值.

1

由/'(不)=°，得e*,ln（x0+2）=-x0,

X。+2

；•/（%）•J（Xo）=-^+Xo='"+?〉0；./（x）〉0.

【例3】已知函数/(%)=*-x-xinx.

证明：〃力存在唯一的极大值点小,且匕一2</伉)<2一2.

【解析】证明：/(x)=x2-x-xlnx,/"(x)=2x-2-lnx.

设/z(x)=2x-2-lnx,

则Ar(x)=2--.

x

当了£(0《卜寸,"(x)<0.

当X时,”(%)>().

\2)

.•/(X)在(0,£|单调递减，在单调递增.

又〃0)>0,〃出<0,72(1)=0,

/2(X)在(0,；］零点只有/，在零点只有1,且当xe(CUo)时,〃(x)>0.

当xe(x()，l)时,用(述)<0.当xe(l,+oo)时,/z(x)>0.

r(x)=〃a),

；.x=%是/(x)在(0,1)上的唯一极大值点.

由/'（占）=0得1mo=2（玉）一1）.

•1'/（%）=玉）（1-x（））•

由与40,1)得o</(%0)<-.

=是/(x)在(0,1)的最大值点，由

e-i€(0,1),广©)。0得

2

/(%0)>/(e-')=e-.

22

.-.e-</(x0)<2-.

含参隐零点问题

含参函数的隐零点问题:已知含参函数/(x,a),其中。为参数，导函数方程

/'(x,a)=0的根存在，却无法求出，其解题步骤为：

第一步:设方程/'(x,a)=0的根为0.

第二步:写出零点等式_f(x,a)=0成立时，含％,a的关系式.

第三步:取点找出方的合适范围,该范围往往和a有关.

第四步:反带回/(x)进行求解，通常可以消参.

［例1］设函数/(x)=e2x-«lnx.

⑴讨论的导函数/'(X)零点的个数.

(2)证明:当a>0时/(x)..2a+aln—.

【解析】⑴/(X)的定义域为(o,+e)J'(x)=2e2jt--(x>0).

X

①当a,,0时,/'(x)>0J'(x)没有零点.

②当a>0时，e2*单调递增,-应单调递增.

X

.•/(X)在(0,+8)单调递增.

又/'(a)>。,当匕满足0<沙<?且时,/'e)<0,故当a>0时,/'(x)存在唯一

零占

y八、、•

⑵(证明)由⑴题，可设了'(X)在(0,+oo)的唯一零点为当xw(O,x())时，

rw<o.

当X€+。)时,/'(%)>0.

故“X)在(0,与)单调递减，在(x0,+⑹单调递增，

.•.当X=/时,/(X)取得最小值，最小值为/(/).

由于2e2M_£•=(),

%

a22

jfXQ)=------F2CLX0+“In—..2a+41rl-.

2x0aa

2

故当a>0时,/(力..2。+<7111—.

【例2】已知函数/(x)=e*-ln(x+An).当冉2时，证明"(x)>0.

【解析】证明：函数/(x)的定义域为(-加,则

广(什_„.二1.

x+mx+m

设g(x)=(x+加)e'-l.

g'(x)=(x+〃z+l)e'>0,

.•.g(x)在(-n+力)上单调递增.

2-m

又..g(_m)=_i^0,g(2-/«)=2e-l)2xl-l>0

g(X)=0在(-机+8)上有唯一实根与.

当X€/)时,g(X)<0,广(X)<0.

Z

当X€(不,+8)时,g(x)>O,/(x)>0,从而当X=/时,/(X)取得最小值为/(xo).

由方程g(x)=0的根为X。，得,ln(x0+m)=-x0

故/(x0)=­!—+x0=-5—+(x0+m')-m..2-m，当且仅当见+机=1时，取等号.

x()+mxQ+m

又,/%,2时,.

/(左)..0取等号的条件是%+加=1，e"=工;最及加=2同时成立，这是不可能的,

，/(西))>0,故/(x)>0.

［例3］已知函数/(x)=Ae*T,g(x)=Zdnx+&(x+l).

⑴求/(x)的单调区间.

⑵证明:当人>0时，方程〃X)=攵在区间(0,母)上只有一个零点.

⑶设〃(x)=/(x)-g(x),其中k>0,若/z(x)..O恒成立，求女的取值范围.

［解析】(1)/(x)=xet+l,

:.f'{x)=e'T+xex+1=(x+l)ex+l,

令r(%)>o得万>—i.

令r(6<o得x<-1.

故〃x)的单调减区间为(-8,-1),单调增区间为(T+功.

(2)证(明)设=(x)-左=xe'”-左，左>0,

则«x)=(x+l)e可由⑴题可知/(x)在(-1,+8)上单调递增，

又(0)=-k«,t(k)=雇X—%=女仁川T》0，

.・/(X)在(0,+8)上只有一个零点.

故当2>0,方程/(%)=%在区间(0,+8)上只有一个零点.

(3)由题意得〃(%)=/(x)-g(x)=xe*+i-Zdnx-Z(x+l),(x>0M>0),

"(x)=(x+l)eA+1———k=x+1(xe'+i-k).

XX

令〃'(x)=0,则肥㈤一Z=0.

由⑵题得r（x）=xe'M-N攵＞0,在区间（0,+“）上单调递增且只有一个零点.

不妨设r（x）的零点为%,

则当xe（O,x（））时,f（x）＜0,即”（x）＜0,止匕时//（%）单调递减.

当xe(x()+<»)时,f(x)>0,即"(x)>0,此时7i(x)单调递增,

/.函数的最小值为人(王),且〃(%))=~优+|-4吗)一%(王)+1)-

k

A+l

由xoe°—k-Q^xa-——-，故

k

fi(x0)=k-0n、.M-J(%o+1)=k-kink.

根据题意//(左)..0,即女-他次..0,

解得0〈匕,e.

故实数Z的取值范围是（0,e].

隐零点求最值

利用隐零点求最值的步骤：

第一步:求出一阶导函数r（x）,并判定其单调性（也可利用二阶导函数来判

定）.

第二步:利用零点存在定理判定尸（力存在零点,写出零点方程广（为）=0,并

确定零点取值范围:玉）€（〃，》）•

第三步:通常极值就是最值，写出最值表达式/（%）.

第四步:零点等式变形代人最值表达式，这里常用到一个指对互化的变形方式：

e，"—^-=0oe"=—＜=＞x（）e"=1o

玉）玉）

In(乙户”>)=lnx0+%=0

x+lnx+1

【例1】求函数*x)=：(x>0)的最大值.

【解析】由已知得

1+-xex-(x+l)eAx(x+lnx+l)

F(x);二2——7—3—

-(x+l)(x+lnx)

令夕(％)=兀+111%(1>0),则(p\xj=1+—>0

函数夕(力在(0,+oo)上单调递增.

/.存在e，使得夕(毛)=/+*=0,

Atl

其中玉,+lrur0=0oxoe=1(指对互化).

/.当0<x<x()时，夕(x)(0,F'(x(0.

当尤>与时,(p[x)>0,广(x)<0.

.•.尸⑴在(0,天)上单调递增，在(%,+8)上单调递减.

【例2]求产(x)=x(e，-l)-lnx+2,x>0时的最小值.

【解析】F,(x)=ev-l+xev--=ev(x+l)-^^-=(x+l)^ev--j,x>0.

/?(x)=ex--,x>0.

令"(x)=e*+=>0.

.•・〃(X)在(0,+8)上单调递增.

存在唯一的/e,1]使得)=e%-J=0

当0cx<玉)时,〃(x)<0,即尸(x)<0.

当x>玉)时,〃(x)>0,即尸，(x)>0.

故E(x)在(0,小)上单调递减，在伍,+“)上单调递增.

v,,

E(x)min=面(e%一1)-1叭+2=x0e-x0-lnx0+2,

vA(,

由于h(x0]=e°--^-=0得xoe=1,

v<l

再对xoe=1两边取对数得%+lnx0=0.

x

•••/(x)min=Xoe°-x0-lrw0+2=l-0+2=3.

【例3】求°(x)=A^±—e、+2的最大值.

--x-(l+lnr).22

【解析】“3=^~~p----------4=-*工°./>0

令〃(x)=-Inx-,则一(2xe“+x2eA^=---xev(2+x)<0(x>0),

在(0,+oo)单调递减

又〃(，)=l-ec2>0,〃(l)=—e<0,

由零点存在性定理知，存在唯一零点尤0e2,1),使〃)=0,即-1叫,=$.

两边取对数可得ln(-lnxo)=21nxo+/,即ln(-l叫HI-IIUQ”七+1叫.

由函数y=x+lnx为单调增函数可得

x0=-liu0,

二.当0卜«时

当x>x()时，〃(x)<O,0'(x)<O.

二火同在(0,%)上单调递增，在(内),+8)上单调递减.

夕(X),,夕(%)=1+"%-ex°+2=---—+2=1.

X。*0%

隐零点求参数取值范—一参变分离

参变分离法求解含参不等式恒成立，求参数取值范围问题，就是按参变分离的

基本步骤.不同的只是分离参数之后求最值时,无法精确地求出极值，只能用隐零

点的方式求出一个范围，所以所求最值也只是一个范围.这一类题目，会有一个明

显的特征,就是所求参数通常为正整数，只有这样，参数才能取到一个确定的值。

【例1】已知函数/(%)=%(至+1)，若对任意的工€(1,+8),/(%)..租(％-1)恒成立，

求正整数〃?的最大值.

【解析】

由/(x)=x(lnx+l),则xe(l,+oo)时/(x)度-1)恒成立等价于xw(1,+e)时，相x(lnx+l)恒成立.

X-1

令g(上哈Dm,则g,(3若0

令/2(尤)=%—10%—2,贝肌'(犬)=1-1.

当X€(1,+8)时,/Z(x)>0,则〃(X)单调递增

"(3)=1-ln3(0,0(4)=2-21n2)0,

.•.玉o«3,4),使得可修)=0。

当xe(1,/)时,g(O.xe(x0,+oo)当0.

/、x)(lnx+1)

•••g(X)min=g(%。)=-----(；)—•

xo-1

〃(毛)=5一1叫一2=0,1叫)=x0-2.

g(x)min=g(%)==X。e(3,4).

X。—1

m,,n)e(3,4),即正整数/加勺最大值为3.

［例2］已知函数/(%)=210¥-2依+2,且(工)="2_2］(。£2，若。£2,月.不等式

/(x)„g(x)在(0,+oo)上恒成立，求4的最小值.

【解析】不等式/(X),,g(x)为21nx-2利+2,加^2%在(0,+oo)上恒成立,

/.不等式2(lnx+l),,依2+2or-2x在(0,+8)上恒成立.

4

a..I,工在(°，+°°)上恒成立.

21nx+2+2x

设/?(x)=

x2+2x

2(x+l)(x+21ax)

则l(x)=-

(F+2犬J

当x>0时,x+l>0,(f+2x)->0.

2.

设°(x)=x+21nx.e(x)=1+—>0,夕(x)在(0,+。)上是增函数,

3弓一21n2(0,奴1)=1)0,

(p

存在X。使得°伍)=0.

当0<了<玉)时，o(x)(0,”(x))0.

当%>/时,勿(x)>0,/(x)<0.

.,./2(力在(0,天))上单调递增，在5,+")上单调递减.

0(x())=X。+21nA•()--0,lnx

02

则〃⑴M〜(%)=2乜产=2±^=J

✓VriI*4人Q人n"•乙人■fj八r

1(5,1),；.—e(l,2).又■_■aGZ,.'.

Q…---,,・XQG“min=2

X。

.'.a的最小值为2.

【例3】知函数/(6=史受，若"x),,e，+：-1恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】由〃同,,6'+2—1可得电*,,6'+2_1

XXX

分离〃可得④—l)-lri¥+2,x>0.

令F(x)=x(e"—1)—lux4-2,x>0.

Fz(x)=ex-l+xeA--=ev(x+l)-^^=(x+l)ex--\x>0.

xx\x)

x+1>0,^/z(x)=eA--,x>0.

贝ij〃(x)=e*+J>0.

二./z(x)在(0,+8)上单调递增.〃[g]=捉一2<=e-l>o

存在唯一的与使得〃(x())=e*--—=0

当0℃0时。(%)<0,即Fr(x)<0.

当时,/?(%)>0,即F<(x)>0.

故尸(x)在(0,无。)上单调递减，在(如+”)上单调递增.

A

尸(x)min=%(e闻一1)-1叫+2=x0e0-x0-lnx0+2,

由于〃(Xo)=e"--=1.

%0

再对x0e=1两边取对数得x0+lnx0=0.

x

F(x)min=xQe0-x()—lri¥()+2=1—0+2=3.

/.3.

即实数〃的取值范围④3.

隐零点缩小参数取值范围一一分类讨论

分类讨论法求解含参不等式恒成立，求参数取值范围问题，也是按前面的分类

讨论的基本步骤.不同的是，在验证某一类参数范围是否满足条件时，要利用隐零

点来辅助验证，从而排除并缩小范围.

【例1］若不等式力在［1,+8)上恒成立，求人的取值范围.

【解析】由题意,。(工-1,，-1111..0在［1,+00)上恒成立.

⑴若”,0,当乂.1时，显然有〃(％-1)@-1叫,0恒成立,不符题意.

⑵若力>0,记/i(x)=5(％-1)e"—liw,则〃(x)=bxe,x-->

显然“(X)在［1,+8)单调递增.

⑴当吗x1时,力'(丘)廉'(1)=加_10.

.•.工£［1,+8)时，〃(%)..//(1)=0.

(2)当0<0<1时,〃'(1)=从一1<0,

存在x°〉l,使〃'(x)=0.

当时,〃'(x)<0.

当xe(x(),+oo)时,〃(x)>0.

在(1,拓)上单调递减，在［，+“)上单调递增.

当时,〃(》)<〃(1)=0,不符合题意.

综上所述,所求匕的取值范围是

注意:本题可用后面章节的端点效应快速【解析】决.

【例2】设函数/(x)=(ax+l)eT(aeR),对任意XG[0,+OO),/(X),,x+1恒成

立,求实数。的取值范围.

【解析】令/i(x)=(ox+l)eT-x-l,则—,x+1成立等价于五(%),,0,

①若4,0,当X..0,则办+喇,0<b1=/(%)?1,

而尤+L.1,即/(%),,x+1恒成立.

②若0<4,2，则//(x)=e7(a-l-ox)-l,

当x..0,由0=4-1-0¥,「(尤)=-1<0得0是减函数,

[()Lax=r(0)=aT,L

又e：,1,:.〃'(x)<0,〃(x)在[0,+句上是减函数，

此时当倔〃(0)=0.

③若

«>2,A,(O)=e^(«-l-axO)-l=«-2>O,/z,(l)=e-|(«-l-«)-l=-e-I-l<O,

.•."(x)=()在(0,1)有零点.

在区间xe(0,1),设g(%)=〃'(x)=>g'(x)=e~x(6Lx+l-2iz)<e~A(1-iz)<0,

.♦.”(•x)在xe(0,1)上是减函数,

即”(力=0在(0,1)有唯一零点了,且在(0,国)上,〃(切>0.

在(0,%)为增函数，即在((),/)上⑼=0.

二/(x)>x+1,不合题意.

综上可得，符合题意的。的取值范围是(80,2].

注意:本题可用后面章节的端点效应快速解决.

【例3】已知/(x)=(x—l)e'-a(x2+D.XWL+OO),若/(%)…一2a+lnx恒成

立,求实数。的取值范围.

【解析】令g(x)=(x-l)e*-a(尤2-1)-Inx

问题转化为g(x)..O在xe[l,+oo)上恒成立.

g'(x)=求"一2必一工,注意至ijg(l)=0.

①当时，g'(l)=e-2aT<0,

1

g，(ln(2a+1))=ln(2a+l)

ln(2a+l)

2a+1>e,

.•.ln(2a+l)>l,gr(ln(2«+l))>0.

存在%e(l,ln(2a+l)),使g'(玉J