高中数学苏教版3计数原理1．2排列苏教版3排列(一)37张

第1章——计数原理1.2排列(一)[学习目标]1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际问题.1知识梳理

自主学习2题型探究

重点突破3当堂检测

自查自纠知识点一排列的定义一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照

排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.一定的顺序思考同一个排列中,同一个元素能重复出现吗？答由排列的定义知,在同一个排列中不能重复出现同一个元素.的个数所有排列知识点二排列数的定义思考排列与排列数的区别是什么？答“排列”和“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指完成的具体的一件事,其过程要先取后排,它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数,即所有排列的个数,它是一个数.(1)A＝

＝

(n,m∈N*,m≤n).(2)A＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1＝n！.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)知识点三排列数公式例1

判断下列问题是不是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得多少个不同的点的坐标？解由于取出的两个数组成点的坐标与哪一个数作横坐标,哪一个数作纵坐标的顺序有关,所以这是一个排列问题.题型一排列的概念(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法？解因为任何一种从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序,所以这不是排列问题.(3)某商场有四个门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方式共有多少种？解因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.∴(1)(3)是排列问题,(2)不是排列问题.反思与感悟

确认一个具体问题是否为排列问题,一般从两个方面确认：(1)首先要保证元素的无重复性,否则不是排列问题.(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性,否则不是排列问题,而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置,看结果是否变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.解不是.焦点在x轴上的椭圆,方程中的a,b必有a>b,a与b的大小一定.(2)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.例2

(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数？解由题意作树形图,如图.题型二列举法解决排列问题故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.(2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.解由题意作树形图,如图.故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个.反思与感悟

“树形图”在解决排列问题个数不多的情况时,是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准,进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.跟踪训练2

将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,试用树形图列出所有可能的排法.解树形图为(如图)：由树形图知,所有排法为BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共有9种排法.例3

求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；题型三排列数公式的应用解因为55－n,56－n,…,69－n中的最大数为69－n,且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个),解得x≥3,x∈N*.根据排列数公式,原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2).反思与感悟

1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题.2.排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意提取公因式,可以简化计算.解原不等式等价于即5＜x≤6且x∈N*,从而解得x＝6.例4

(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个科研小课题由高二·三班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法？题型四排列的简单应用(2)有5个不同的科研课题,高二·三班的3个学习兴趣小组报名参加,每组限报一项,共有多少种不同的安排方法？解3个兴趣小组可能报同一科研课题,因此元素可以重复,不是排列问题,共有5×5×5＝125种不同的安排方法.反思与感悟

第(1)小题是从5个元素中取出3个元素的一个排列；第(2)小题不是排列问题.判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序,有顺序且是从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同的元素的问题就是排列,否则就不是排列.跟踪训练4从集合{1,2,3,…,20}中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个？解设a,b,c∈N*,且a,b,c成等差数列,则a＋c＝2b,由此可以得出a＋c应是偶数.因此从1到20这20个自然数中任选3个数成等差数列.则第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数,而1到20这20个自然数中有10个偶数和10个奇数,当第一个数a和第三个数c选定后,中间的数b也就唯一确定了,所以选法只有两类：1.下列问题属于排列问题的是________.①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.解析根据排列的定义,选出的元素有顺序的才是排列问题.1234①④2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有排列为____________________________.

解析选出两人,两人的不同站法都要考虑.1234甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙3.设m∈N*,且m<15,则(15－m)(16－m)·…·(20－m)＝________.(用排列数表示)12344.8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,有______种不