第三章控制系统时域分析

第三章控制系统时域分析第一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3.1时间响应及系统性能指标分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是未知的、随机的，很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些典型输入信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。第二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四一、典型输入信号Typicaltestsignals原则：(1)选取的输入信号应尽可能反映系统工作的大部分实际情况(2)选取的输入信号应尽可能简单，便于分析处理(3)所选的输入信号能使系统在最不利的情况下工作。突然受到恒定输入作用或突然的扰动，采用阶跃函数较合适。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。（单位）阶跃函数（Stepfunction）恒温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Rampfunction）速度（单位）加速度函数（Accelerationfunction）抛物线

（单位）脉冲函数（Impulsefunction）

正弦函数（Simusoidalfunction）Asinut，当输入作用具有周期性变化时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。第三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四二、时间响应的概念（动态过程和稳态过程)

系统时间响应：控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随时间变化的过程称为系统时间响应。在典型输入信号作用下时间响应的组成：瞬态响应和稳态响应（TransientResponse&＆Steady_stateResponse）由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。1瞬态响应：指系统从初始状态到最终状态的响应过程。2稳态响应：是指当时间t趋近于无穷大时，系统的输出状态．瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态响应则表征系统输出量最终复现输入量的程度（即衡量系统精度）。tC(t)k第四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四三、瞬态响应指标延迟时间（DelayTime）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（RiseTime）对过阻尼系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%（而对欠阻尼系统响应曲线从0上升100%)，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快

峰值时间（PeakTime）：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。trc(t)第五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四动态性能指标调整时间：（SettlingTime）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）。超调量（MaximumOvershoot）：指响应曲线超出稳态值的最大偏离量

或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。c(t)第六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3.2一阶系统的时间响应

用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。所示的RC电路，其微分方程为

其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为

这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。

下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。第七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3.2.1一阶系统单位阶跃响应

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem

因为单位阶跃函数的拉氏变换为，则系统的输出由下式可知为

对上式取拉氏反变换，得

注**：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。响应曲线在时的斜率为，如果系统输出响应的速度恒为，则只要t＝T时，输出c(t)就能达到其终值。

-trt1t2tsts第八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。

动态性能指标：时间常数T是一阶系统的重要参数，反映系统过渡过程快慢的指标，从响应曲线可知T越大，系统对信号的输出响应越慢，惯性越大，相反T越小，系统响应越快

T1T2T3tc(t)1由此而得：T1<T2<T3

第九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3.2.2一阶系统的单位脉冲响应

Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即

这时相同的输出称为脉冲响应记作c(t)，因为,其表达式为

T4T3T2TtC(t)一阶系统单位脉冲响应1/T第十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3.2.3一阶系统的单位斜坡响应

Unit-rampResponseoffirst-orderSystems

当对上式求拉氏反变换，得：因为所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同

②由于系统存在惯性，从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。

③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。

第十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。第十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四eg：某温度计用1/(Ts+1)的传递函数描述其特性，现用此温度计测量盛在容器内的水温，测量数据表明，需要1分钟的时间才能指示实际温度98％的数值，试求温度计指示实际水温从10％变化到90％所需要的时间（即求tr）解：误差<0.02

第十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四3.3二阶系统的时间响应

TimeResponseAnalysisofSecond-orderSystems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。一．二阶系统的数学模型Mx(t)y(t)kf质量弹簧阻尼系统，其系统加入外力为输入x(t)，质量块位移为输出y(t)，其输入和输出之间的关系可以表示为

—系统固有频率

—系统阻尼比

第十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四二阶系统的标准形式，其相应的方块图如图所示－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,二阶系统的特征方程：二．二阶系统的单位阶跃响应（Unit-StepResponseofSecond-Ordersystem）第十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四两个正实部的特征根发散，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼系统，为两个相等的根，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的根二阶系统极点分布第十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四Case1欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应令－衰减系数

－阻尼振荡频率对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为稳态分量瞬态分量第十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四稳态分量为1，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差；瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为包络线决定收敛速度－阻尼振荡频率

时，这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为－－故称为无阻尼振荡频率。

由系统本身的结构参数确定

tC(t)1曲线特点：欠阻尼系统单位阶跃响应曲线呈衰减振荡，最后趋于稳定．第十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四Case2临界阻尼()临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，

tC(t)1曲线特点：响应既无超调也无振荡第十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四Case3过阻尼

tC(t)1曲线特点：响应既无超调也无振荡，但响应曲线变化速度较临界阻尼要慢第二十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四二阶系统在不同值瞬态响应曲线（1）和共同决定二阶系统的舜态响应，如要得到满意的舜态响应指标，必须综合考虑选取二者参数；不变，而均减小，可提高系统的快速性，因而增大（2）若使有利于提高系统性能第二十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四三．

二阶系统的瞬态响应指标（欠阻尼）从二阶系统瞬态响应中可以看到对系统瞬态响应影响较大．下面分析与瞬态响应指标间的关系．

在较大的值范围内，近似有

时，亦可用二阶欠阻尼系统瞬态响应曲线第二十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四

，求得

一定，即一定，

,响应速度越快

对于函数来说其极值点一定是导数为零的点，因此对c(t)求峰值时间tp，令其导数为零，求得根据峰值时间定义，应取第二十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四超调量在峰值时间发生，故即为最大输出时，时，时时，综合考虑系统相对稳定性和快速性通常取第二十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四包络线⑤调整时间tseg1.某单位负反馈控制系统，其开环传递函数为，开环增益（开环放大倍数）k=4，试：（1）确定系统特征参量和（2）求（3）当时，试确定系统开环放大倍数k

和解：（1）求出系统闭环传递函数二阶系统的标准形式为

第二十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四（2）

（误差<5%）

（误差<2%）

若增大，则k减小(3)第二十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四eg2.单位负反馈控制系统开环传递函数为，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。

解：求闭环传递函数

（1）输入为其拉氏变换为

（2）输入为单位脉冲

则有

对于线性定常系统来说，输入信号间存在导数关系，对于同一系统其输出响应也存在导数关系。第二十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四Eg3.若单位负反馈控制系统，开环传递函数为，试求系统单位阶跃输入的响应，并求其和。

解：系统闭环传递函数注：闭环传递函数为一个非典型的二阶振荡系统（含有微分环节），不能采用典型二阶振荡系统的瞬态响应指标求解方法，因此按定义求解

（1）上升时间：

（2）

超调量

第二十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四一．稳定性的基本概念和定义设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。

aFbc3.5稳定性及其代数稳定判据第二十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四二．系统稳定性的条件G(s)H(s)—+C(s)R(s)系统传递函数第三十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？？分析单位阶跃函数

瞬态分量参考输入稳态分量对于输入为阶跃信号的系统要使其稳定，必有：

若为正，则发散系统输出为等幅振荡过程属于临界稳定状态

系统进入一个新的平衡状态属临界稳定状态

第三十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四

系统稳定的充要条件：闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面

如果上式稳定则必有为负才能成立对于输入为阶跃信号的系统要使其稳定，必有：

工程中常用判断系统稳定性的方法：（１）劳斯—赫尔维茨判据（Roth—Hurwitz）

(2)奈魁斯特稳定判据(3)对数稳定判据

(4)根轨迹法第三十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四三、控制系统的稳定性判据1劳斯稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。

充要条件稳定判据令系统的闭环特征方程为如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值（ai>0)（１）特征方程式的各项系数均为正值（即ai>0)第三十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四（２）将各项系数，按下面的格式排列劳斯表计算sn-2行以下系数的规律：每行都是由该行上边两行的数算得，等号右边的二阶行列式中，第一行是上面两行中的第一列的两个数，第二列是被算数的右上肩的两个数，等号右边的分母是上一行中左起第一个数．第三十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。（３）劳斯稳定判据第三十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四

例已知一调速系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。第三十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四已知某调速系统的特征方程式为求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：第三十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四劳斯判据特殊情况

劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定是以一个很小的正数来代替为零的这项case1解决的办法据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列第三十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。解：列劳斯表0第三十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四Eg已知特征方程为判别系统的稳定性。

解：系统各项系数均大于0

列写劳斯表：S4S5S3S1S2S01236210(ε)3/20(6ε-3)/ε1m1m=1.5-ε2/(6ε-3)→1.5(6ε-3)/ε→-∞第一列含有负数，系统不稳定

第四十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四劳斯表中出现全零行

用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。case2解决的办法这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定第四十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四一个控制系统的特征方程为

列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。

第四十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四劳斯判据的应用实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线右侧。此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。代入原方程式中，得到以

稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。12解决的办法设第四十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。

解：列劳斯表

第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。-1第四十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四令代入特征方程：式中有负号，显然有根在的右方。列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。第四十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答

时，闭环系统是否稳定？

时，闭环系统的稳定条件是什么？

闭环系统的特征方程为排劳斯表

第一列均为正值，S全部位于左半平面，故

解：

系统稳定第四十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四开环传递函数

闭环特征方程为

列劳斯表第四十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期四利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。

欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值

第四十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期四2赫尔维稳定茨判据(Hurwitzstabilitycriterion)系统稳定的条件：系统的特征根全部位于复平面的左半部分条件：（１）特征方程式的各项系数全部为正（２）将特征方程式各项系数排成的行列式各阶主子式大于0设系统特征方程为

第四十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期四行列式排列如下：

计算各阶主子式：

各阶主子式均大于0，则方程无正根，系统稳定。

第五十页，共六十五页，编辑于2023年，星期四Eg已知系统的特征方程如下：判别系统稳定性列写n阶行列式

各阶主子式均大于0，系统稳定

第五十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期四一、误差与稳态误差的基本概念控制系统的性能

动态性能

稳态性能

稳态误差

稳态误差的产生？摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素

输入函数的形式不同

(阶跃、斜坡、或加速度)

主要内容原理性稳态误差的计算方法系统结构--系统类型输入作用方式3.6误差分析与计算第五十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期四1.误差的定义

输出的实际值

输出的希望值

在实际系统中是可以量测的

(真值很难得到)如果，输出量的希望值，即为输入量。由图可得误差传递函数第五十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期四输入形式结构形式给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构

利用终值定理，求稳态误差。2.稳态误差影响系统的稳态误差的因素：系统的结构参数和输入信号有关。第五十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期四二、误差计算

1系统类型令系统开环传递函数为为串联积分环节的数目

第五十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期四

时0型系统时Ⅰ型系统

时Ⅱ型系统代入稳态误差公式：输入信号为R(s)时，稳态误差只与开环增益K和开环传递函数中的积分环节有关当时系统很难稳定，因而Ⅲ型及其以上型号系统工程上不采用

第五十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期四

2.