第一节不定积分

第一节不定积分第一页，共二十六页，编辑于2023年，星期四二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质

第四章第二页，共二十六页，编辑于2023年，星期四一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m

的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度机动目录上页下页返回结束根据牛顿第二定律,加速度定义1.

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有第三页，共二十六页，编辑于2023年，星期四问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?

定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束第四页，共二十六页，编辑于2023年，星期四定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族机动目录上页下页返回结束即第五页，共二十六页，编辑于2023年，星期四定义2.在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,记作机动目录上页下页返回结束第六页，共二十六页，编辑于2023年，星期四不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动目录上页下页返回结束的积分曲线

.第七页，共二十六页，编辑于2023年，星期四例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动目录上页下页返回结束第八页，共二十六页，编辑于2023年，星期四例2.

质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:

取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻

t

质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动目录上页下页返回结束垂直上抛,不计阻

先由此求

再由此求第九页，共二十六页，编辑于2023年，星期四先求由知再求于是所求运动规律为由知机动目录上页下页返回结束故第十页，共二十六页，编辑于2023年，星期四二、基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k

为常数)机动目录上页下页返回结束第十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期四或或机动目录上页下页返回结束第十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期四机动目录上页下页返回结束第十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期四例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期四三、不定积分的性质推论:

若则机动目录上页下页返回结束第十五页，共二十六页，编辑于2023年，星期四例5.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第十六页，共二十六页，编辑于2023年，星期四例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第十七页，共二十六页，编辑于2023年，星期四例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第十八页，共二十六页，编辑于2023年，星期四内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束第十九页，共二十六页，编辑于2023年，星期四思考与练习1.

证明2.

若(P191题4)提示:机动目录上页下页返回结束提示:第二十页，共二十六页，编辑于2023年，星期四3.

若是的原函数,则提示:已知机动目录上页下页返回结束第二十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期四4.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为机动目录上页下页返回结束第二十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期四5.

求下列积分:提示:机动目录上页下页返回结束第二十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期四6.求不定积分解：机动目录上页下页返回结束第二十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期四7.

已知求A,B.解:

等式两边对x

求导,得机动目录上页下页返回结束第二十五页，共二十六