初中数学沪科版八年级下册勾股定理18．2勾股定理的逆定理 全国获奖

18.2勾股定理的逆定理第18章勾股定理第2课时勾股定理逆定理的应用沪科版八年级下学期课件学习目标1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.（难点）1.勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a,b,c满足

,那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c23.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25.则

=90º.∠B2.三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上的高为()B复习引入讲授新课12勾股定理的逆定理的应用一例1

如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEP

QR问题1

认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.问题2

由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.

NEP

QR12

解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.归纳【变式题】

如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.东北PABCQD例2一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图图在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.∴这个零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312图

引例判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否是直角三角形，其中a=,b=1,c=.小明的解法是：请问小明的解法对吗？如对，请说明其依据是什么？如不对，错在哪里？写出正确的解答过程.合作探究活动：探究用勾股定理的逆定理的应用∴a2+b2≠c2答：不对，错在没有分清最长边.

正确解答如下：判断a,b,c能否构成直角三角形，必须判断两较小边的平方和是否等于最长边的平方和.不能简单地看某两边的平方和是否等于第三边的平方，否则容易作出误判.勾股定理逆定理使用“误区”勾股定理及其逆定理使用方法解题时，注意勾股定理及其逆定理运用的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的，而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的.知识要点

例1已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?ADBC341312连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.提示

例2已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?ADBC341312连接AC.解:

例3

如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/小时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定可得出△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求出PD的值，然后再利用勾股定理便可求出CD的长.东北PABCQD解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形。设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD即6×8=10BD，解得BD=24/5在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/小时，∴需要6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.解题反思：找出CD是为该船只进入我领海的最短路线，也就是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南北方向和东西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC，又由△ABC三边的数量关系可判定△ABC是直角三角形，于是本题便构造成直角三角形应用勾及其逆定理.

1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．练一练2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．例3如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.ADBC341312勾股定理及其逆定理的综合应用二解：连接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.

四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.归纳【变式题1】

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－

AB•AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD【变式题2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA例4如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．（1）证明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形.（2）解：设腰长AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想1.医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东

的方向.东医院公园超市北65°当堂练习2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A.B.C.D.D3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，又∵A，B两组相距30km，且有242+182=302，∴A，B两组行进的方向成直角．4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.解：∵BC=16，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=8.∵在△ABD中，AD2+BD2=152+82=172=AB2，∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．∴△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，∴AB=AC.5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．解：设AB为3xcm，BC为