广西壮族自治区柳州市柳州高级中学2024届数学高二上期末达标检测试题含解析

广西壮族自治区柳州市柳州高级中学2024届数学高二上期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）A. B.C. D.3．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（）A.“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B.“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C.“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D.“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列4．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（）A.2 B.8C.16 D.325．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（）A.－23 B.－3C.－12 D.－136．命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，7．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（）A.石 B.石C.石 D.石8．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于()A.6 B.5C.4 D.29．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值10．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（）A. B.C. D.12．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点，与椭圆交于.若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为_______14．已知等比数列中，则q＝___15．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.16．已知三个数2，，6成等比数列，则实数______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线方程为（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程18．（12分）设数列的前n项和为，且满足.（1）证明为等比数列，并求数列通项公式；（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和.19．（12分）已知函数，.（1）若在单调递增，求的取值范围；（2）若，求证：.20．（12分）在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.21．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.（1）求点到直线的距离（2）求平面与平面夹角的余弦值.22．（10分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，E为的中点（1）若，证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由曲线方程直接求离心率即可.【题目详解】由题设，，，∴离心率.故选：C.2、D【解题分析】根据求解即可.【题目详解】因为等比数列，，所以.故选：D3、C【解题分析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果【题目详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，故选：C【题目点拨】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题4、D【解题分析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.【题目详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是.故选：D5、A【解题分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【题目详解】因为圆，圆心为，半径为；圆可化为，圆心为，半径，又圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得.故选：A.6、D【解题分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【题目详解】由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：D.7、D【解题分析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列，利用等差数列的前n项和求，进而求出正三品即可.【题目详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，由题意，是以为公差的等差数列，且，解得.故正三品分得俸粮数量为（石）.故选：D.8、B【解题分析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.【题目详解】由题意，,解得所以故选：B.9、D【解题分析】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减10、C【解题分析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【题目详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C11、A【解题分析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可【题目详解】解：由已知得,，则，故选：A【题目点拨】此题考查条件概率问题，属于基础题12、A【解题分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【题目详解】因为命题p：，，故命题p的否定为：，.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】利用椭圆及三角形内切圆的性质可得、，结合等边三角形的性质得的大小，在△中应用余弦定理得到a、c的齐次式，即可求离心率.【题目详解】由题意知：由内切圆的性质得：,由椭圆的性质,而,∴,∴由内切圆的性质得：再由椭圆的性质,得：,由此，△为等边三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，则,故答案为：.14、3【解题分析】根据等比数列的性质求得，再根据等比数列的通项公式求得答案.【题目详解】等比数列中，故，，所以，故答案为：315、2【解题分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.【题目详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：2.16、【解题分析】由题意可得，从而可求出的值【题目详解】因为三个数2，，6成等比数列，所以，解得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）面积的最小值为，此时直线的方程为.【解题分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：由题意可得.【小问2详解】解：在直线的方程中，令可得，即点，令可得，即点，由已知可得，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.18、（1）证明见解析，；（2）.【解题分析】（1）利用与的关系求数列的递推关系，即得证明结论，并根据等比数列求通项公式；（2）根据（1）的结果求出，再分和，求.【题目详解】（1）当时，，，当时，，与已知式作差得，即，又，∴，∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴.【题目点拨】关键点点睛：本题的关键是第二问弄清楚数列与的前项和的关系，在分段求数列的前项和.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）由函数在上单调递增，则在上恒成立，由求解.（2）由（1）的结论，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【题目详解】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，则有在上恒成立，即.令函数，，所以时，，在上单调递增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知当时，为增函数，不妨取，则有在上单调递增，所以，即有在上恒成立，令，则有，所以，所以，因此.【题目点拨】方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】（1）通过计算·=0来证得AB1⊥BC.（2）通过证明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1来证得A1C⊥平面AB1C1.【题目详解】证明：（1）易知<>=120°，=+，则·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.（2）易知四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.因为·=(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0，所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.21、（1）；（2）.【解题分析】（1）由直棱柱的性质及勾股定理求出△各边长，应用余弦定理求，进而可得其正弦值，再求边上的高即可.（2）以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，然后可算出答案.【小问1详解】如图，连接，由题设，，，，由直棱柱性质及，在中，在中，在中，在中，所以在△中，，则，所以到直线的距离.【小问2详解】以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系易知：，，，则，因为平面，所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，取，则，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为22、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）取的中点F，连接．先证明，，即证平面，原题即得证；（2）分别取的中点G，H，连接，证明为直线与平面所成的角，设正方形的边长为1，，在中，，即得解.【小问1详解】解：取的中点F，连接因为，则为正三角形，所以因为平面平面，则平面因为平