四川省广安、眉山、内江、遂宁2024届高二上数学期末统考试题含解析

四川省广安、眉山、内江、遂宁2024届高二上数学期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.2．曲线：在点处的切线方程为A. B.C. D.3．在等比数列中，，，则（）A.2 B.4C.6 D.84．在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．和的等差中项与等比中项分别为（）A.， B.2，C.， D.1，6．已知向量，，且，则的值为（）A. B.C.或 D.或7．已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（）A. B.C. D.8．已知动点满足，则动点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆9．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）A.i B.-iC.1 D.-111．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为（）A. B.C. D.12．过抛物线的焦点引斜率为1的直线，交抛物线于，两点，则（）A.4 B.6C.8 D.10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．长方体中，，已知点与三点共线且，则点到平面的距离为________14．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____15．若不等式的解集是，则的值是___________.16．已知球的半径为3，则该球的体积为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列，，，为其前n项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和18．（12分）如图，扇形AOB的半径为2，圆心角，点C为弧AB上一点，平面AOB且，点且，面MOC（1）求证：平面平面POB；（2）求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值的大小19．（12分）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，且（1）求抛物线的方程；（2）经过焦点作互相垂直的两条直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点．若，分别是线段，的中点，求的最小值20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线交于，其中的周长为的离心率为.（1）求的方程；（2）已知的重心为，设和的面积比为，求实数的取值范围.21．（12分）已知为坐标原点，圆的圆心在轴上，点、均在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两个不同的点、，点在圆上，求面积的最大值.22．（10分）已知直线与直线交于点.（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.【题目详解】因双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，又因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即渐近线方程为：.故选：A.2、A【解题分析】因为，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率为，所以切线方程为，即，选A3、D【解题分析】由等比中项转化得，可得，求解基本量，由等比数列通项公式即得解【题目详解】设公比为，则由，得，即故，解得故选：D4、C【解题分析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【题目详解】已知，若，即，解得.若数列是单调递增数列，对任意的，，即，所以，对任意的恒成立，故，因此，“”是“是单调递增数列”充要条件.故选：C.5、C【解题分析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可.【题目详解】和的等差中项为，和的等比中项为.故选：C.6、C【解题分析】根据空间向量平行的性质得，代入数值解方程组即可.【题目详解】因为，所以，所以，所以，解得或.故选：C.7、C【解题分析】求AB的中点坐标，根据直线所过的两点坐标求直线方程即可.【题目详解】由已知，AB中点为，又，∴所求直线斜率为，故直线方程为，即故选：C.8、C【解题分析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【题目详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于，又因为点和点的距离等于，所以动点的轨迹为线段.故选：9、C【解题分析】求出圆心到直线距离，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.【题目详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，即的取值范围是：.故选：C10、C【解题分析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.【题目详解】由题意，，则z的虚部为1.故选：C.11、D【解题分析】由复数除法求得后可得其共轭复数【题目详解】由题意，∴故选：D12、C【解题分析】由题意可得，的方程为，设、，联立直线与抛物线方程可求，利用抛物线的定义计算即可求解.【题目详解】由上可得：焦点，直线的方程为，设，，由，可得，则有，由抛物线的定义可得：，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】利用坐标法，利用向量共线及垂直的坐标表示可求，即求.【题目详解】如图建立空间直角坐标系，则，因为点与三点共线且，，设，即，∴，∴，∴，即，∴点到平面的距离为.故答案为：.14、【解题分析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.【题目详解】正方形的面积为，如下图所示：阴影部分的面积为:，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.【题目点拨】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.15、【解题分析】利用和是方程的两根，再利用根与系数的关系即可求出和的值，即可得的值.【题目详解】由题意可得：方程的两根是和，由根与系数的关系可得：，所以，所以，故答案为：16、【解题分析】根据球的体积公式计算可得；【题目详解】解：因为球的半径，所以球的体积；故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】(1)按照所给条件，先算出的表达式，再按照与的关系计算,；(2)裂项相消求和即可.【小问1详解】由题可知数列是等差数列，所以，，又因为，所以；【小问2详解】所以；故答案为：，.18、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）连接，设与相交于点，连接MN，利用余弦定理可求得，，的长度，进而得到，又，由此可得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立恰当空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的余弦值，从而即可得答案【小问1详解】证明：连接，设与相交于点，连接MN，平面，在平面内，平面平面，，，，在中，由余弦定理可得，，，又在中，，由余弦定理可得，，，故，又平面，在平面内，，又，平面，又平面，平面平面；【小问2详解】解：由（1）可知直线，，两两互相垂直，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，设平面的一个法向量为，则，可取；设平面的一个法向量为，则，可取，，平面与平面所成二面角的正弦值为19、（1）；（2）8.【解题分析】(1)写出抛物线E的准线，利用抛物线定义求出p即可作答.(2)由(1)求出焦点坐标，设出直线的方程，并与抛物线E的方程联立，由此求出C点坐标，同理可得D点坐标，列式计算作答.小问1详解】抛物线：的准线方程为：，由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.【小问2详解】由(1)知，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，直线的方程为：，由消去y并整理得，设，则，于得线段PQ中点，同理得，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是8.【题目点拨】结论点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离20、（1）（2）【解题分析】（1）已知焦点弦三角形的周长，以及离心率求椭圆方程，待定系数直接求解即可.（2）第一步设点设直线，第二步联立方程韦达定理，第三步条件转化，利用三角形等面积法，列方程，第四步利用韦达定理进行转化，计算即可.【小问1详解】因为的周长为，的离心率为，所以，，所以，，又，所以椭圆的方程为.【小问2详解】方法一：，，的面积为，的面积为，则，得，①设，与椭圆C方程联立，消去得，由韦达定理得，.令，②则，可得当时，当时，所以，又解得③由①②③得，解得.所以实数的取值范围是.方法二：同方法一可得的面积为，的面积为，则，得，①设，与椭圆C方程联立，消去得，由韦达定理得，.所以因为，所以解得②由①②解得.所以实数的取值范围是.21、（1）；（2）.【解题分析】（1）求出圆心坐标，可求得圆的半径，进而可得出圆的标准方程；（2）求得点到直线的距离，将直线的方程与椭圆的方程联立，求得的表达式，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得结果.【小问1详解】解：由题知，线段的中点为，直线的斜率，所以线段的中垂线为，即为，所以圆的圆心为轴与的交点，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】解：由题知：圆心到直线的距离，因为，所以圆心到直线的距离，所以到直线的距离，设点、，联立可得，，，则，所以，，所以，所以，所以当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值.【题目点拨】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本