江苏省镇江市淮州中学2024学年高二数学第一学期期末监测试题含解析

江苏省镇江市淮州中学2024学年高二数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（）A.1 B.3C.6 D.1或32．已知命题，，则（）A.， B.，C.， D.，3．若圆与直线相切，则实数的值为（）A. B.或3C. D.或4．已知直线l1：ax+2y＝0与直线l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣25．已知F是抛物线的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为（）A.2 B.4C.6 D.86．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（）A. B.C. D.7．函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.8．已知命题是真命题，那么的取值范围是（）A. B.C. D.9．设等差数列，前n项和分别是，若，则（）A.1 B.C. D.10．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（）A.5 B.C.3 D.3或11．数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.12．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）A.100 B.C.300 D.400二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知P为抛物线上的一个动点，设P到抛物线准线的距离为d，点，那么的最小值为______14．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________15．已知数列满足，则的前20项和___________.16．已知正数满足，则的最小值是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线过点（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程18．（12分）如图，在正四棱柱中，是上的点，满足为等边三角形.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.19．（12分）如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点.（1）求证：E，F，G，H，K，L共面：（2）求证：平面EFGHKL；（3）求与平面EFGHKL所成角的余弦值.20．（12分）物联网(Internetofthings)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：千米）之间的关系为，每月库存货物费（单位：万元）与x之间的关系为：；若在距离车站11.5千米建仓库，则和分别为4万元和23万元.（1）求的值；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？21．（12分）设函数（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围22．（10分）记为数列的前项和，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【题目详解】若，则由得（舍去）；若，则由得故选：B.2、C【解题分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【题目详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，.故选：C.3、D【解题分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【题目详解】若圆与直线相切，则到直线的距离为，所以，解得，或.故选：D.4、B【解题分析】由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，计算求得a的值【题目详解】∵直线l1：ax+2y＝0与直线l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，故选：B5、B【解题分析】根据抛物线定义即可求解【题目详解】由得，所以F到直线l的距离为故选：B6、A【解题分析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积【题目详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因为S−ABC是正三棱锥。所以，以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，所以.故选：A.7、A【解题分析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.【题目详解】对函数进行求导：，因为，，所以，因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，又因为，所以的解集为.故选：A8、C【解题分析】依据题意列出关于的不等式，即可求得的取值范围.【题目详解】当时，仅当时成立，不符合题意；当时，若成立，则，解之得综上，取值范围是故选：C9、B【解题分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可【题目详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以，故选：B10、C【解题分析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解【题目详解】解：设该等比数列公比为q，∵数列1，a，b，c，9是等比数列，∴，，∴，故，解得，∴故选：C11、A【解题分析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.【题目详解】根据规律可知数列的前三项为，所以该数列一个通项公式为故选：A12、B【解题分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出【题目详解】设大圆锥的高为，所以，解得故故选：B【题目点拨】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】由抛物线的定义可得，所以，由图可知当三点共线时，取得最小值，从而可求得结果【题目详解】抛物线的焦点，准线为，如图，过作垂直准线于点，则，所以，由图可知当三点共线时，取得最小值，即最小值为,,所以的最小值为5，故答案为：514、52【解题分析】根据给定条件求出，再求出数列的通项即可计算作答.【题目详解】依题意，因是等差数列，则其公差，于是得，，当时，，而满足上式，因此，，所以.故答案为：5215、135【解题分析】直接利用数列的递推关系式写出相邻四项之和，进而求出数列的和.【题目详解】数列满足，所以，故，当时，，当时，，，当时，，所以.故答案为：135.16、8【解题分析】利用“1”代换，结合基本不等式求解.【题目详解】因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值8.故答案为：8.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解题分析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.【小问1详解】解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为【小问2详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是综上，所求直线的方程为或18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）根据题意证明，，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；（2）结合（1），进而利用等体积法求得答案.【小问1详解】由题意，，为等边三角形，，∵平面ABCD，∴，则，即为中点.连接，∵平面，平面，∴，易得，则，又，于是，即，同理，即，又平面.【小问2详解】设M到平面的距离为d，，∴.易得，取BD的中点N，连接，则，所以，，所以，，.即M到平面的距离为1.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解题分析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标；（1）用向量的坐标运算证明向量共面，进而证明点共面；（2）利用向量的数量积的坐标运算证明，即可；（3）确定平面EFGHKL的一个法向量，利用空间角度的向量计算公式求得答案.【小问1详解】证明：以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则，，，，，，，.可得，，，，，.可得，，，，，所以，，，，共面，又它们过同一点E,所以E，F，G，H，K，L共面.【小问2详解】证明：由（1）得，，又故，，又，所以平面LEF，即平面EFGHKL.【小问3详解】由（2）知，是平面EFGHKL的一个法向量，设与平面EFGHKL所成角为，，,.所以,所以与平面EFGHKL所成角的余弦值为.20、（1）（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元【解题分析】（1）将题中数据代入解析式可求；（2）利用基本不等式可求解.【小问1详解】由题意，，当时，，，解得.【小问2详解】设两项费用之和为（单位：万元），则.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，解得.所以这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元.21、（1）（2）【解题分析】(1)对求导,再根据题意有,据此列式求出;(2)由题可知对恒成立,即对恒成立,因此求出在区间上的最小值即可得出结论.【题目详解】(1),则,因为在处取得极值,所以,解得,经检验,当时,在处取得极值;(2)因为在上单调递减,所以对恒成立,则对恒成立,∵当时,,∴,即a的取值范围