四川省德阳市绵竹土门学校2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析

四川省德阳市绵竹土门学校2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据函数为增函数，结合指数幂的大小进行求解即可．【详解】解：函数为增函数，，，则，故选：．【点睛】本题主要考查指数方程的求解，结合指数函数的单调性以及指数不等式的解法是解决本题的关键．2.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D3.若复数满足方程，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.函数的零点个数为

（

）

A．1

B．2

C．0

D．3参考答案：A略5.如图给出了函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（）A．①②③④ B．①③②④ C．②③①④ D．①④③②参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质．

【专题】函数的性质及应用．【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案．【解答】解：由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下，∴a﹣1＜0，即a＜1．又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1，∴y=ax为减函数，图象为①；y=logax为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②．∴与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④．故选B．【点评】本题考查了基本初等函数的图象和性质，是基础的概念题．6.已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可以为正数也可以为负数参考答案：A略7.已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．8.若函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，则（

）A．f(x)＝cos2x

B．f(x)＝sin2xC．f(x)＝－cos2x

D．f(x)＝－sin2x参考答案：A9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则(

)A．B．C．D．参考答案：B略10.平面直角坐标系中，在由x轴、x=、x=和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y≤1﹣sin3x的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，即可求出概率．【解答】解：由x轴、x=、x=和y=2所围成的矩形的面积为2×=．利用割补法，可得满足不等关系y≤1﹣sin3x且在矩形内部的区域面积为=，∴所求概率为，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

。参考答案：12.已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是

．①若，，则；

②若，，则；③若，，则；

④若，，则．参考答案：①13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为P，以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为Q，则正方体体对角线AC1在P，Q公共部分的长度为_____参考答案：【分析】画出图像，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，根据比例计算出在，公共部分的长度.【详解】画出图像如下图所示，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，，设在，公共部分的长度为，由平行线分线段成比例和正方形的对称性得，故.【点睛】本小题主要考查正方体的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题.14.

函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为

．参考答案：15.（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为

.参考答案：1016.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ，θ)()中，曲线与的交点的极坐标为_____________．参考答案：17.设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.参考答案：试题分析：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，（），若，且的图象上两相邻对称轴间的距离为.（Ⅰ）求的单调递减区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，，求a，b的值.参考答案：解：（Ⅰ）∵，，∴.∵的图像上两相邻对称轴间的距离为，∴，即.∴则.由，得，，∴的单调减区间为，（Ⅱ）由，得，∵，∴，则，.由余弦定理得：，即，①又，②联立①②解得：，.19.（12分）（2015?万州区模拟）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值；（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a．【解答】：（Ⅰ）当时，，；由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可；由=；（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）当a＞0时，由，令g′（x）=0，得x1=1或；①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；（ⅲ）当a＜0时，由，因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．综上，数a的取值范围是a≤0．【点评】：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．20.设函数是定义域为的奇函数．(1)求的值；(2)若，且在上的最小值为，求的值.参考答案：解：（1）由题意，对任意，，即，即，，因为为任意实数，所以．

（2）由（1），因为，所以，解得．

故，，令，则，由，得，所以，当时，在上是增函数，则，，解得（舍去）．

当时，则，，解得，或（舍去）．综上，的值是．

略21.设数列的前项和,,，且当时,.（1）求证:数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，记数列的前项和为.设是整数，问是否存在正整数,使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（1）当时,,,代入并化简得,………4分,又由得,代入可解得,∴，也满足,而恒为正值,∴数列是等比数列.………6分

（2）由⑴知.当时,,又，∴

………8分（3）当时，,此时，又∴.

…………………10分故，当时，，……12分若，则等式为，不是整数，不符合题意；……………14分若，则等式为，∵是整数,

∴必是的因数,

∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.……………16分略22.已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）已知a＞1设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：x1lnx1﹣ax12+1＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，所以f′（x）=2在（0，+∞上有解，即﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a=在（0，+∞）上有解，所以2+2a＞0，得a＞﹣1，故所求实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；（2）证明：因为g（x）=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=﹣2ax1+