2022-2023学年广东省茂名市丰成中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年广东省茂名市丰成中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足，，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A．

B．C．

D．参考答案：C【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】求出直线l的斜率，可得直线方程，与抛物线方程联立，利用|MN|，求出p，可得M的坐标，即可求出以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程．【解答】解：如图，过点N作NE⊥MM′，由抛物线的定义，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．解三角形EMN，得∠EMF=，所以直线l的斜率为，其方程为y=（x﹣），与抛物线方程联立可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，∴|MN|=p=，∴p=2，∴M（3，2），r=4，∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．故选：C．2.（5分）（2015?嘉兴二模）若sinθ+cosθ=，θ∈，则tanθ=（）A．﹣B．C．﹣2D．2参考答案：C【考点】：同角三角函数基本关系的运用．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanθ的值．解：∵sinθ+cosθ=，θ∈，sin2θ+cos2θ=1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴tanθ==﹣2，故选：C．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．3.已知等于（

） A．

B． C． D．参考答案：A略4.i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（

）A．i∈S

B．i2∈S

C．i3∈S

D．参考答案：B略5.命题“任意的”的否定是（

）A．不存在

B．存在C．存在

D．对任意的参考答案：C6.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=，设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=，故选：C．7.已知a=log23，b=log3，c=，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的图象与性质，得a＞1，b＜0；利用幂的运算法则，得出0＜c＜1；即可判定a、b、c的大小．【解答】解：由对数函数y=log2x的图象与性质，得log23＞log22=1，∴a＞1；由对数函数y=x的图象与性质，得3＜1=0，∴b＜0；又∵c==，∴0＜c＜1；∴a＞c＞b．故选：D．8.曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

)A．e2 B．2e2 C．4e2 D．参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；作图题；导数的综合应用．【分析】由题意作图，求导y′=，从而写出切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；从而求面积．【解答】解：如图，y′=；故y′|x=4=e2；故切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；当x=0时，y=﹣e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×e2=e2；故选A．【点评】本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．9.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（

）

A．尺

B．尺

C．尺

D．尺参考答案：试题分析：此题等价于在等差数列中，，，求由等差数列的前项和公式得解得故答案选考点：等差数列.10.已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（

）A． B． C． D．参考答案：C过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，∵e=，∴故答案为：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点，椭圆与直线交于点、，则的周长为__________参考答案：812.已知为常数，若，则（

）。参考答案：213.（+2x）dx=

．参考答案：1+ln2考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：找出被积函数的原函数，然后代入上下限计算．解答： 解：（+2x）dx==1+ln2；故答案为：1+ln2．点评：本题考查了定积分的运算，熟练找出被积函数的原函数是求定积分的关键．14.(几何证明选讲)如图5，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝____________.参考答案：5略15.若圆的半径为1，则F=______。参考答案：1【分析】根据圆的半径计算公式列方程，解方程求得的值.【详解】圆的半径为，解得.【点睛】本小题主要考查圆的半径计算公式，属于基础题.16.若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________参考答案：略17.若命题“存在实数x，使”的否定是假命题，则实数a的取值范围为______________.参考答案：，或略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.

⑴求的值；

⑵若,,求.参考答案：⑴由三角函数的定义知∴.又由三角函数线知,19.如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F的距离为3，圆E是以（p，0）为圆心p为半径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）若圆E内切于△PQR，其中Q，R在y轴上，且R点在Q点上方，P在抛物线C上且在x轴下方，当△PQR的面积取最小值时，求直线PR和PQ的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F的距离为3，可得=3，解得p，即可得出抛物线C和圆E的方程；（2）设P（x0，y0），R（0，y1），Q（0，y2），y1＞y2，则直线PR的方程为：y=x+y1．由直线与圆相切的性质可得：=1，注意到x0＞2，上式化简为+2y0y1﹣x0=0，同理可得=0．因此y1，y2是方程﹣x0=0的两个根，可得|y1﹣y2|=．因此S△PQR=×x0=+4利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F的距离为3，∴=3，解得p=1．∴抛物线C：y2=2x，圆E：（x﹣1）2+y2=1．（2）设P（x0，y0），R（0，y1），Q（0，y2），y1＞y2，则直线PR的方程为：y=x+y1．由直线与圆相切得：=1，注意到x0＞2，上式化简为+2y0y1﹣x0=0，同理可得=0．∴y1，y2是方程﹣x0=0的两个根，∴|y1﹣y2|==．∴S△PQR=×x0==+4≥8，当且仅当x0=4时，S△PQR有最小值为8．此时，P，y1，2=．∴直线PR的方程是y=﹣++2．直线PQ的方程是y=+﹣2．点评：本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.（本小题满分12分）已知函数，，是常数．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围.参考答案：（1）函数的定义域为,

，函数的图象在点处的切线为，即…………4分（2）①时，，因为，所以点在第一象限，依题意，②时，由对数函数性质知，时，，，从而“，”不成立③时，由得，设，

－↘极小值↗

，从而，综上所述，常数的取值范围…………8分（3）计算知设函数，当或时，，因为的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使，即，使；当时，、，而且、之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以有最小值，且，此时存在（或），使综上所述，，存在，使………………12分21.在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.参考答案：（1）因为圆的普通方程为，把代入方程得，所以的极坐标方程为，的平面直角坐标系方程为；（2）分别将代入，得，则的面积为.22.已知函数，.ks5u(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围.注：是自然对数的底数，约等于.参考答案：解：(Ⅰ)若，则.当时，，，所以函数在上单调递增；--------------------ks5u------------2分当时，，.所以函数在区间上单调递减，--------------ks5u-----------------4分所以在区间上有最小值，又因为，，而，所以在区间上有最大值.--------------------------------6分(Ⅱ)函数的定义域为．

由，得．

（*）------------------------------7分（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；-----------------------------------------------------9分（ⅱ）当时，①当时，由得，即，现令，则，------------