天津市津南区名校2022年数学九年级上册期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在正方形ABC。中，点E为AB边的中点，点尸在OE上，CE=8,过点/作1交于点G.下

列结论：①GF=GD；®AG>AEi®AFLDE；®DF=4EF.正确的是（）.

B.①③C.①③④D.③④

2.如图，在AAC6中，ZC=90°,则其等于（）

AB

A.cosAB.sinBC.tanBD.sinA

3.如图，已知O。的周长等于6乃。%,则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）

4.若点（一2,yJ,（T,%），（3,%）在双曲线上》=一,，则X，%，%的大小关系是（）

X

A.B.>2<X<%C.%<,<%D.%<y2Vx

5.如图，AABC中，AB=25,BC=7,CA=1.则sinA的值为（）

A25B

2]

6.已知反比例函数7=一的图象上有三点A（4,以），B（1,%），c（一，％）则刈、T、心的大小关系为（）

x2

A.J1>J1>J3B.J1>J1>J3C.J3>J1>J1D.J3>J1>J1

7.如图，在4X4的网格中，点A,B,C,D,//均在网格的格点上，下面结论：

①点”是△ABO的内心

②点”是△A3。的外心

③点〃是△〃口>的外心

④点//是△4OC的外心

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.在平面直角坐标系中，将抛物线y=-5x2+3向左平移1个单位,再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为（）

A.y=—5（x+iy+4B.y--5（x+1）'+2

C.y=—5（x-l）'+2D.y--5（x—1）'+4

9.以下事件属于随机事件的是（）

A.小明买体育彩票中了一等奖

B.2019年是中华人民共和国建国70周年

C.正方体共有四个面

D.2比1大

10.二次函数.丫=2（%+1）2+3的顶点坐标是（）

A.(-1,-3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(1,3)

11.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个

十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（）

,2211

A.-B•-C.-D.一

3939

12.已知如图，△ABC中，AB=AC,点。在A8边上，且AD=BD=BC,则NA的度数是（）.

•D

B--C

A.18°B.36°C.54°D.72°

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知二次函数y=ax?+bx+c（a#0）的图象与x轴交于（x”0）,且-IVxiVO,对称轴x=l.如图所示，有下列

5个结论：①abc>0；②bVa+c；（3）4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b）（n#l的实数）.其中所有结论正确

14.点。是线段的黄金分割点，若AB=2cm,则较长线段8c的长是.

15.如图，在半径AC为2,圆心角为90。的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D,连接CD,则图中阴影

部分的面积是.

16.如图，在半径为2的。。中，弦43_1_直径。0,垂足为E,ZACD=30°,点尸为。。上一动点，CF_LA尸于点F.

①弦AB的长度为；

②点P在。。上运动的过程中，线段。尸长度的最小值为.

17.若关于x的分式方程3J二f+=2/22=2有增根，则加的值为.

x+2

18.已知二次函数)，=-0+。)2+2。-1(。为常数)，当。取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是

当“取四个不同数值时此二次函数的图象.发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是.

19.(8分)如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm.点尸从B出发，沿5c方向，以lcm/s的速度

向点C运动，点。从4出发，沿A8方向，以2cm/s的速度向点8运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，

两点同时停止运动，设运动时间为f(s)(f>0),△BP。的面积为S(c,/).

(1)f=2秒时，则点尸到A5的距离是cm,S=cm2；

(2)f为何值时，PQ±Aff；

(3)，为何值时，△8P。是以8尸为底边的等腰三角形；

(4)求S与f之间的函数关系式，并求S的最大值.

20.(8分)商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存,

商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.求：

(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由.

21.(8分)甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情.

(1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是；

(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABC。的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、。(8,8).抛物线的解析式

(1)如图一，若抛物线经过A,。两点，直接写出A点的坐标；抛物线的对称轴为直线；

(2)如图二：若抛物线经过A、C两点，

①求抛物线的表达式.

②若点P为线段AB上一动点，过点P作交AC于点E,过点E作防，A£＞于点/交抛物线于点G.当线

段EG最长时，求点E的坐标；

(3)若。=-1,且抛物线与矩形ABC。没有公共点，直接写出b的取值范围.

23.(10分)已知四边形ABCD的四个顶点都在。O上，对角线AC和BD交于点E.

(1)若NBAD和NBCD的度数之比为1：2,求NBCD的度数；

(2)若AB=3,AD=5,NBAD=60。，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长；

(3)若(DO的半径为1,AC+BD=3,且ACJ_BD.求线段OE的取值范围.

24.(10分)如图，在5c中，NA=30。，NC=90。，AB=12,四边形EPPQ是矩形，点尸与点C重合，点Q、E、F

分别在8C、AB.AC上(点E与点A、点5均不重合).

(1)当AE=8时，求EF1的长；

（2）设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.

①求y与x的函数关系式；

②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

（3）当矩形EFP。的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线C3匀速向右运动（当点P到达点B

时停止运动），设运动时间为f秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式，并写出f的取

值范围.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为="+。化工0）的图象与反比例函数为=三（加。0）的图象分

别相交于第一、三象限内的A（3,5）,B（a,—3）两点，与x轴交于点C.

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在）,轴上找到一点P使必—PC最大，请直接写出此时点P的坐标.

（2）图①②均为7X6的正方形网络，点A,B,C在格点上；

（a）在图①中确定格点。，并画出以A、B、C、。为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）；

（b）在图②中确定格点E,并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】连接CG.根据“HL”可证RQCFGgR/ACOG,利用全等三角形的对应边相等，可得GF=GD,据此判

断①；根据“被4”可证AM归gADCG,可得AE=DG,从而可得AG=AE,据此判断②；由（2）知

GF=GD=GA,可证NAED=9（r，据此判断③；根据两角分别相等的两个三角形相似，可证

EFAFEA1

AAEF\DAFADE4,可得——=——=—=一，从而可得。尸=2A尸=4EF,据此判断④.

AFDFDA2

【详解】解：（1）连接CG.如图所示：

•.•四边形ABCD是正方形，

/.ZADC=90o,

VFGXFC,

二ZGFC=90°,

CG=CG

在RtACFG与R3CDG中，｛「一「一

Cr=CD

...RtkCFG义RtbCDG(HL).

AGF=GD...①正确.

(2)由(1),CG垂直平分。尸..\ZEDC+Z2=90°,

VZ1+ZEDC=9O°,

,Z1=Z2.

\•四边形ABCD是正方形，

.\AD=DC=AB,ZDAE=ZCDG=90°,

：.i\ADE^DCG(ASA).

：.AE=DG.

VE为AB边的中点，

.••G为AO边的中点.

二AG=A£..•.②错误.

(3)由(2),得Gf=G£)=G4.•••NAFD=90°.③正确.

EFAFEA1

(4)由(3),可得AAEVSA/M/ZSA%.一=一=一=-

AFDFDA2

二DF=2AF=4EF.，④正确.

故答案为：C.

【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段的垂直平分

线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

2、D

【分析】直接根据正弦的定义解答即可.

【详解】在4ACB中，ZC=90°,

,.BC

sinA=---,

AB

故选：D.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做NA的正弦是解题的关键.

3、C

【分析】过点O作OHJ_AB于点H,连接OA,OB,由。O的周长等于671cm,可得。O的半径，又由圆的内接多边

形的性质可得NAOB=60。，即可证明AAOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正大研

ABC!)EF=6SAO/\B即可得出答案.

【详解】过点O作OHLAB于点H,连接OA,OB,设。O的半径为r,

OO的周长等于6冗cm,

A27rr=67r,

解得：r=3,

©O的半径为3cm,即OA=3cm,

•・•六边形ABCDEF是正六边形，

AZAOB=-X360°=60°，OA=OB,

6

AAOAB是等边三角形，

AAB=OA=3cm,

VOH±AB,

.*.AH=-AB,

2

/.AB=OA=3cm,

33A

AAH=—cm,OH=—A//2=-------cm,

22

AsEAS®ABCDEF=6SAOAB=6X-X3X—=(cm2).

222

故选C.

【点睛】

此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

4、C

【分析】根据题目分别将三个点的横坐标值带入双曲线解析式，即可得出所对应的函数值，再比较大小即可.

【详解】解：•.•若点（一2,%），（一1,%），（3,%）在双曲线上丫=一^,

1,1

二%<x<%

故选：c.

【点睛】

本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，本题还可以先分清各点所在象限，再利用各自的象限内反比例

函数的增减性解决问题.

5、A

【分析】根据勾股定理逆定理推出NC=90。，再根据sinA=会BC进行计算即可；

AB

【详解】解：•••AB=25,BC=7,CA=1,

又=252=242+72,

二AB2=BC2+AC2,

.,.△ABC是直角三角形，NC=90°,

••sinA-----=—；

AB25

故选A.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.

6、C

2

【分析】把A、B、C的坐标分别代入¥=一，分别求出山、山、山的值，从而得到它们的大小关系.

x

122122=4

【详解】解：把A(4,ji),B(1.ji),c(—,j2)分别代入了=一，得yi=T=7，Ji==-=1>J2==1

2x422—

所以yiVyiV%.

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是根据反比例函数解析式自变量的值求函数值，比较基础.

7、C

【分析】先利用勾股定理计算出AB=BC=JIU，AD=3后，CD=V2.AC=2后，再利用勾股定理的逆定理可

得到NABC=NADC=90。，则CBLAB,CD1AD,根据角平分线定理的逆定理可判断点C不在NBAD的角平分线

上，则根据三角形内心的定义可对①进行判断；由于HA=HB=HC=HD=4+22=亚,则根据三角形外心的定

义可对②③④进行判断.

【详解】解：VAB=BC=712+32=V10»AD=3e，CD=V2»AC=物+42=26,

.,.AB2+BC2=AC2,CD2+AD2=AC2,

/.△ABC和AADC都为直角三角形，ZABC=ZADC=90°,

VCB±AB,CD±AD,而CB^CD,

...点C不在NBAD的角平分线上，

...点H不是AABD的内心，所以①错误;

VHA=HB=HC=HD=收+听=石，

.•.点H是AABD的外心，点H是ABCD的外心，点H是AADC的外心，所以②③④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形的内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内

角.也考查了三角形的外心和勾股定理.

8、B

【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减''解答即可.

【详解】将抛物线y=-5/+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为：

y=-5(x+iy+3-l=-5(x+l『+2

故选：B

【点睛】

本题考查的是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式.

9、A

【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据随机事件定义可以作出判断.

【详解】4、小明买体育彩票中了一等奖是随机事件，故本选项正确；

B、2019年是中华人民共和国建国70周年是确定性事件，故本选项错误；

C、正方体共有四个面是不可能事件，故本选项错误；

。、2比1大是确定性事件，故本选项错误；

故选：A.

【点睛】

此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，

一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.

10、B

【分析】根据抛物线的顶点式：y=2（x+l）2+3,直接得到抛物线的顶点坐标.

【详解】解：由抛物线为：y=2（x+l）2+3,

抛物线的顶点为：（一1,3）.

故选B.

【点睛】

本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键.

11、B

【分析】可以采用列表法或树状图求解.可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概

率公式计算可得.

【详解】画“树形图”如图所示：

・・•这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，

2

，一辆向右转，一辆向左转的概率为

故选B.

【点睛】

此题考查了树状图法求概率.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解

12、B

【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可列出方程求解.

【详解】设NA=x.

VAD=BD,

NABD=NA=x；

VBD=BC,

；・ZBCD=ZBDC=ZABD+ZA=2x；

VAB=AC,

AZABC=ZBCD=2x,

ZDBC=x；

Vx+2x+2x=180°,

Ax=36°,

：.ZA=36°

故选：B

【点睛】

考核知识点：等腰三角形性质.熟练运用等腰三角形基本性质是关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、③④⑤

【解析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题.

【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，则a<0,抛物线与y轴交于正半轴，则c>(),对称轴在y轴右侧，则与a

的符号相反，故b>0.

.,.a<0,b>0,c>0,

.,.abc<0,故①错误，

当x=-l时，y=a-b+c<0,得b>a+c,故②错误，

,二次函数y=ax?+bx+c(a#0)的图象与x轴交于(xi,0),且-IVxiVO,对称轴x=l,

...x=2时的函数值与x=0的函数值相等，

.♦.x=2时，y=4a+2b+c>0,故③正确，

.b

时，y=a-b+c<0,--=1,

2a

/.2a-2b+2c<0,b=-2a,

/.-b-2b+2c<0,

...2cV3b,故④正确，

由图象可知，x=l时，y取得最大值，此时y=a+b+c,

a+b+c>am2+bm+c(m^l),

/.a+b>am2+bm

/.a+b>m(am+b),故⑤正确，

故答案为：③④⑤.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质

和数形结合的思想解答.

14、加一1cm

【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段BC=避二'A3,代入计算即可.

2

【详解】YC是AB的黄金分割点，

，较长线段BC=避二!•AB,

2

VAB=2cm,

AP5C=^—^x2=V5-lcm;

2

故答案为：V5-\cm.

【点睛】

本题考查了黄金分割，一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条

线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的叵口倍.

2

15、7T-1.

【详解】解：在RtAACB中，AB=V22+22=25/2»

•••BC是半圆的直径，

/.ZCDB=90°,在等腰RtAACB中，CD垂直平分AB,CD=BD=Q,

.♦.D为半圆的中点，SACB-SAADC=—2'——x(V2)-=7t-1.

42

故答案为n-1.

考点：扇形面积的计算.

16、V3-1

【分析】①在Rt^AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题.

②取AC的中点H,连接OH,OF,HF,求出OH,FH,根据OF'FH-OH,即0/4百一1，由此即可解决问题.

【详解】解：①如图，连接OA.

D

VOA=OC=2,

.,,ZOCA=ZOAC=30°,

，ZAOE=ZOAC+ZACO=60°,

二AE=OA・sin60o=百，

VOE±AB,

.*.AE=EB=73，

.*.AB=2AE=2V3，

故答案为2百.

②取AC的中点H,连接OH,OF,HF,

VOA=OC,AH=HC,

.*.OH±AC,

.,.ZAHO=90°,

■:ZCOH=30°,

.*.OH=yOC=l,HC=5AC=2百，

VCF±AP,

AZAFC=90°,

，HF=；AC=G

.,.OF>FH-OH,即0联百-1,

.••OF的最小值为6-1.

故答案为6-1.

【点睛】

本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

17、3

【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，并求出x的值，然后再令x+2=0,即可求得m的值.

3Y+2/72

【详解】解：由:-------=2得：x=4-2m

x+2

令x+2=0,得4-2m+2=0,解得m=3

故答案为3.

【点睛】

本题考查了分式方程的增根，解分式方程和把增根代入整式方程求得相关字母的值是解答本题的关键.

18、y=—1

【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用X、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出X、y的关系式.

【详解】解：二次函数y=-(x+a)2+2a—l中，顶点坐标为：(一a,2a—1),

设顶点坐标为(x,y),

二x=①，y=2a-]②，

由①x2+②，得2x+y=—2a+2a-1=-1,

/.y=-2x-l•

故答案为：y=-2x-\.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键，注意运用消元的思想解题.

三、解答题(共78分)

19、(1)—>—；(2)t=—；(3)t——；(4)S=--t2+3t,S的最大值为生.

5572154

【分析】(1)作PHJLAB于H,根据勾股定理求出AB,证明△BHPsaBCA,根据相似三角形的性质列出比例式，

求出PH,根据三角形的面积公式求出S；

(2)根据△BQPs/UJCA,得到=代入计算求出t即可；

BABC

(3)过Q作QGLBC于G,证明△QBGsaABC,根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；

(4)根据△QBGS/\ABC,用t表示出QG,根据三角形的面积公式列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算

即可.

【详解】解：在RSABC中，AC=6cm,BC=8cm,

由勾股定理得，AB=^BC2+AC2=V62+82=10cm,

.,.0<t<5,经过ts时，BP=t,AQ=2t,则BQ=10-2t,

(1)如图1,作PH_LAB于H,

当t=2时，BP=2,BQ=10-2t=6,

VZBHP=ZBCA=90°,ZB=ZB,

.,.△BHP^ABCA,

.PHBPPH2

..——=—，即Hn——=—,

ACAB610

解得：PH=1,

.cl618

・・S=-x6x—=—

255f

故答案为：-y-;

(2)当PQJ_AB时，NBQP=NBCA=90。，NB=NB,

/.△BQP^-ABCA,

.B^_BQHnt_10-2/

BABC'P10-8'

25

解得，t=二，

7

25

则当t=一时，PQ±AB；

7

(3)如图2,过Q作QG_LBC于G,

VQB=QP,QG_LBC,

1

.,.BG=GP=-t,

2

VZBGQ=ZC=90°,NB=NB,

/.△QBG^AABC,

.BGBQ6nL10-2?

BCBA4-10

o

解得，t=绘,

21

on

.•.当t=1时，△BPQ是以BP为底边的等腰三角形;

(4)由(3)可知，△QBGs^ABC,

.QG=BQQG_10—2r

AC~BA'P610'

解得，QG=--1+6,

1,6、

/.S=-xtx(-—1+6),

25

3,

=--t2+3t,

5

3,5.,15

(t--)2+—,

524

则当t=2时，s的值最大，最大值为?.

24

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的应用以及三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质

定理、二次函数的性质是解题的关键.

20、（1）每件衬衫应降价1元.（2）不可能，理由见解析

【分析】（1）利用衬衣每件盈利x平均每天售出的件数=每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可.

（2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以.

【详解】（1）设每件衬衫应降价x元.

根据题意，得（40-x）（l+2x）=110

整理，得X2-30X+10=0

解得Xl=10,X2=l.

•••“扩大销售量，减少库存”，

.,.xi=10应略去，

答：每件衬衫应降价1元.

(2)不可能.理由如下：

令丫=(40-x)(l+2x),

当y=1600时，(40-x)(l+2x)=1600

整理得x2-30x+400=0

：△=900-4x400V0,

方程无实数根.

二商场平均每天不可能盈利1600元.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数X每件盈利=每天销售的

利润是解题关键.

21、(1)-；(2)-

23

【分析】(1)根据甲、乙两所医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；

(2)根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】解：(1)根据题意画图如下：

男女

共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，

21

则所选的2名教师性别相同的概率是：一=一；

42

故答案为：—.

(2)将甲、乙两医院的医生分别记为男1、女1、男2、女2,画树形图得：

开始

男1女1男2女2

/1\/1\/1\/1\

女1男2女2男1男2女2男1女1女2男1女1男2

所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种.

41

.••PQ名医生来自同一所医院的概率)=一=一.

123

【点睛】

本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举,

做到不重不漏.

1,

22、(1)(4,8)；x=6；(2)@y=--x2+4x；②(6,4)；(3)匕＜4或

【分析】⑴根据矩形的性质即可求出点A的坐标，然后根据抛物线的对称性，即可求出抛物线的对称轴;

(2)①将A、C两点的坐标代入解析式中，即可求出抛物线的表达式；

②先利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后设点E的坐标为(x,-2x+16),根据坐标特征求出点G的坐标，即

可求出EG的长，利用二次函数求最值即可；

(3)画出图象可知：当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D点上方

时，抛物线与矩形ABCD没有公共点，将x=4和x=8分别代入解析式中，列出不等式，即可求出b的取值范围.

【详解】解：(1):•矩形ABCO的三个顶点8(4,0)、C(8,0)、£>(8,8)

...点A的横坐标与点B的横坐标相同，点A的纵坐标与点D的纵坐标相同

...点A的坐标为：(4,8)

•••点A与点D的纵坐标相同，且A、D都在抛物线上

•••点A和点D关于抛物线的对称轴对称

4+8

二抛物线的对称轴为：直线x=―-=6.

2

故答案为：(4,8)；x=6；

(2)①将A、C两点的坐标代入丁=以2+"，得

8=16a+4h

0=64。+8b

1

ci——

解得：，2

b=4

2

故抛物线的表达式为y=--^x+4xt

②设直线AC的解析式为y=kx+c

将A、C两点的坐标代入，得

8=44+c

0=8k+c

k=-2

解得：11—

c=l6

A直线AC的解析式为y=-2x+l6

设点E的坐标为(x,-2x+l6),

VEG±AD,AD/7xft

.•.点E和点G的横坐标相等

•••点G在抛物线上

...点G的坐标为卜,一^1+4尤

■**EG=-/x?+4x-(-2x+16)

=一--x2+6x-16

2

=-1(X-6)2+2

V--<0

2

...当x=6时，EG有最大值，且最大值为2,

将x=6代入E点坐标，可得，点E坐标为(6,4).

(3)当。=-1时，抛物线的解析式为3，=-/+桁

如下图所示，当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D点上方时，抛物

线与矩形A3CD没有公共点，

故一16+4匕<0或一64+8b>8

解得：匕＜4或

用二次函数求最值问题和数形结合的数学思想是解决此题的关键.

23、(1)120°；(2)(3)逅sOEwSl

324

【分析】(1)利用圆内接四边形对角互补构建方程解决问题即可.

(2)将AACD绕点C逆时针旋转120。得ACBE,根据旋转的性质得出NE=NCAD=30。，BE=AD=5,AC=CE,求

出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；

(3)由题知ACJLBD,过点。作OM_LAC于M,ON_LBD于N,连接OA,OD,判断出四边形OMEN是矩形，进

而得出OE2=2-(AC2+BD2),设AC=m,构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.

V四边形ABCD是。O的内接四边形，

.•.ZA+ZC=180°,

VZA：ZC=1：2,

・••设NA=x,ZC=2x,贝！|x+2x=180。,

解得，x=60°,

AZC=2x=120°.

⑵如图2中，

图2

,:A、B、C、D四点共圆，ZBAD=60°,

.•.ZBCD=180°-60。=120。，

•••点C为弧BD的中点，

/.BC=CD,ZCAD=ZCAB=-ZBAD=30°,

2

将4ACD绕点C逆时针旋转120。得ACBE,如图2所示：

则NE=NCAD=NCAB=30。，BE=AD=5,AC=CE,

...NABC+NEBC=(180°-ZCAB-ZACB)+(180°-ZE-ZBCE)=360°-(ZCAB+ZACB+ZABC)=360°

-180°=180°,

:.A、B、E三点共线，

过C作CM_LAE于M,

VAC=CE,

I1、।,、

.*.AM=EM=-AE=-(zAB+AD)=-x(3+5)=4,

222

AM_4_86

在RtZkAMC中，AC=cos30o=7/3="T-

T

(3)过点O作OM_LAC于M,ON_LBD于N,连接OA,OD,

VOA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=-AC,DN=-BD,ACJLBD,

22

四边形OMEN是矩形，

/.ON=ME,OE2=OM2+ME2,

.*.OE2=OM2+ON2=2--(AC2+BD2)

4

设AC=m,贝！]BD=3-m,

,.,◎O的半径为1,AC+BD=3,

:.l<m<2,

1131137

OE2=2--[(AC+BD)2-2ACxBD]=--m2+-m--(m--)2+-,

4224228

3,7

/.-<OE2<-,

48

.■——<OE<------.

24

【点睛】

本题主要考查的是圆和四边形的综合应用，掌握圆和四边形的基本性质结合题目条件分析题目隐藏条件是解题的关键.

争2+9向04,<3)

24、(1)1；(2)①y=-^X2+3V3X(0<X<12)；②x=6时，y有最大值为9百；(3)S=

4