北京私立新亚中学2022年高三数学文期末试题含解析

北京私立新亚中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i为虚数单位，复数z满足z=i（z﹣i），则复数z所对应的点Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i?z+1，∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知方程的四个根组成一个首项为的等比数列，则（

）A.1

B.

C.

D.参考答案：B3.已知集合，则A∩B的元素有()A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B4.已知α为第二象限的角，且=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为，故选A．

6.在中,若,则为A.

B.

C.或

D.或参考答案：C7.已知数列的前项和，对于任意的，都满足，且，则等于（

）

2

参考答案：A8.设函数，其中，则导数f′(1)的取值范围为()

参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】A

：∵，∴f'（x）=sinθx2+cosθx∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）

∵θ∈[0,]，∴θ+∈[，]∴sin（θ+）∈[，1]

∴f′（1）∈[，2],故答案为：A．【思路点拨】先对函数进行求导，然后将x=1代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据θ的范围和正弦函数的性质可求得最后答案．9.已知是直线，、是两个不同的平面，命题∥则；命题则∥；命题∥，则，则下列命题中，真命题是（

）A． B． C． D．参考答案：C10.从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（） A．2097 B． 2112 C． 2012 D． 2090参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x，y满足，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则m的值为．参考答案：5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到m的值．然后即可得到结论．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y=10由，解得，即C（3，1），此时C在2x﹣y﹣m=0上，则m=5．故答案为：5．12.已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，的值为

参考答案：13.已知点集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为

．参考答案：7解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．14.数列的前20项由右图所示的流程图依次输出的值构成。则数列的一个通项公式_____________。参考答案：15.已知向量=（

）

A．0

B．

C．4

D．8参考答案：B略16.函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是．参考答案：a≤﹣2或a≥2【分析】由于函数y=f（x）是R上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，然后利用单调性及f（a）≤f（2）得|a|≥2，即可求得a的取值范围．【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数∴y=f（x）的图象关于y轴对称．又∵y=f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，f（a）≤f（2）∴|a|≥2∴a≤﹣2或a≥2故答案为：a≤﹣2或a≥2【点评】本题考查了奇偶函数的对称性，奇偶性与单调性的综合，解绝对值不等式，是个基础题．17.已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数.（I）当时，求的极值；（II）当时，求的单调区间；（III）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．B11B12（Ⅰ）极小值为无极大值.（Ⅱ）当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在上单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为

（Ⅲ）解析：（Ⅰ）当时，，.令，得令，得，即在上递减，在上递增，所以的极小值为无极大值.

…4分（Ⅱ），

当即时，令,得或.令得当即时，令,得，令,得当时，.综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在上单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为.…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在区间上单调递减.当时，取得最大值；当时，取得最小值..因为恒成立，即，整理得，又所以恒成立.由得所以………………14分【思路点拨】（Ⅰ）当时，，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意，恒有成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．19.（本小题满分12分）为了解某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为，最后一组数据的频数是6．（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率，并求出样本容量；（Ⅱ）从样本中成绩在65～95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65～80分之间的概率．参考答案：（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率为，

2分又设样本容量为，则，解得，．

4分（Ⅱ）样本中成绩在65～80分之间的学生有=2人，记为；成绩在80～95分之间的学生=4人，记为，

5分从上述6人中任选2人的所有可能情形有：

，共15种，

8分至少有1人在65～80分之间的可能情形有共9种，

11分因此，所求的概率．

12分20.已知函数.（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的范围.参考答案：略21.（本小题满分14分）已知函数，且，．（1）求、的值；（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求

的最小值，并求此时点的坐标；（3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：（1）由，得，

解得：．····························································································3分（2）由（1），所以，令，，则因为，所以，所以，当，所以，·················································································8分即的最小值是，此时，点的坐标是。·······································································9分（3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，·····························································10分要使问题有意义，或．法一：在或下，问题化为对恒成立，即对恒成立，对恒成立，①当时，或，②当时，且对恒成立，对于对恒成立，等价于，令，，则，，，递增，，，结合或，对于对恒成立，等价于令，，则，，，递减，，，，综上：································································································16分法二：问题即为对恒成立，也就是对恒成立，·····························································10分要使问题有意义，或．故问题转化为对恒成立，令①若时，由于，故，在时单调递增，依题意，，舍去；②若，由于，故，考虑到