2021-2022学年江西省吉安市永丰第三中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年江西省吉安市永丰第三中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：，，所以，故选．考点：1．函数的值域；2．集合的基本运算．2.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（

）

A．

B．8

C．

D．6参考答案：B设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距为，有题意可得，又，则．3.若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（）A．a＞ B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，构造函数f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数求出函数f（x）的极值，即可得到结论．【解答】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，则﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．4.将函数图象上的点向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，若P'位于函数y=cos2x的图象上，则（）A．，m的最小值为 B．，m的最小值为C．，m的最小值为 D．，m的最小值为参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，可得t=cos（2?+）=cos=﹣，且t=cos2（+m）=﹣sin2m，求得sin2m=，可得m的最小值．【解答】解：将函数图象上的点向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，若点P'位于函数y=cos2x的图象上，∴t=cos（2?+）=cos=﹣，且t=cos2（+m）=﹣sin2m，∴sin2m=，∴2m的最小值为，m的最小值为，故选：D．5.定义两种运算：则函数（

）

A.

是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数参考答案：【知识点】函数奇偶性的判断.

B4【答案解析】A

解析：根据题意得：，由得这时，所以因为，是奇函数，所以选A.【思路点拨】先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（-x）的关系得结论．6.已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲线y=x与y=x2围成的封闭区域，若向Ω上随机投一点p，则点p落入区域A的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：几何概型；定积分在求面积中的应用．

专题：概率与统计．分析：求得两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1），可得区域A的面积等于函数y=x与y=x2在[0，1]上的定积分值，利用积分计算公式算出区域A的面积．区域Ω表示的是一个边长为2的正方形，因此求出此正方形的面积并利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率．解答：解：y=x与y=x2两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1）．因此，两条曲线围成的区域A的面积为S=∫01（x﹣x2）dx=（）|=．而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，面积为4，∴在Ω上随机投一点P，则点P落入区域A中的概率P=；故选D．点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的概率求法；本题给出区域A和Ω，求在Ω上随机投一点P，使点P落入区域A中的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．7.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）A．

B．2

C．

D．3参考答案：B双曲线的一条渐近线方程为，即，因为渐近线与圆相切，所以，即，所以e=2。【答案】【解析】略8.袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（），从中任取1个球是红球的概率记为，若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D9.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A，B，C，D四名同学对于谁获得特等奖进行预测．A说：不是1号就是2号获得特等奖；B说：3号不可能获得特等奖；C说：4，5，6号不可能获得特等奖；D说；能获得特等奖的是4，5，6号中的一个．公布的比赛结果表明，A，B，C，D中只有一个判断正确．根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学．A．1 B．2

C．3 D．4，5，6号中的一个参考答案：C【考点】进行简单的合情推理．【分析】因为只有一人猜对，而C与D互相否定，故C、D中一人猜对，再分类讨论，即可得出结论【解答】解：根据以上信息，获得特等奖的是3号同学．因为只有一人猜对，而C与D互相否定，故C、D中一人猜对．假设D对，则推出B也对，与题设矛盾，故D猜错，所以猜对者一定是C；于是B一定猜错，故获奖者是3号选手（此时A错）．故选：C．10.在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是（）A．3 B．4 C．1 D．参考答案：A【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】求出4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率，结合独立重复试验的方差公式进行计算即可．【解答】解：设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率p=（）4=，在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，则ξ～（16，），则Dξ=16××=3，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直角三角形的顶点是A（－1，0）、B（1，0），则直角顶点C（x，y）的轨迹方程为

．参考答案：答案：

12.设为抛物线的焦点，点在抛物线上，O为坐标原点，若，且，则抛物线的焦点到准线的距离等于

.参考答案：4略13.曲线在点处的切线为，则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是______________．参考答案：略14.对于函数和，下列说法正确的是

.（1）函数的图像关于直线对称；（2）的图像关于直线对称；（3）两函数的图像一共有10个交点；（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.参考答案：（2）（3）（4）15.动点P(x,y)到定点F(1,0)与到定直线的距离之比为，则P点的轨迹方程为

．参考答案：16.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9的概率是．参考答案：略17.已知某几何体的三视图（单位）如图所示，则此几何体的体积是

▲

．参考答案：7略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由Sn=2an﹣3，得a1=3，Sn﹣1=2an﹣1﹣3（n≥2），相减可得an=2an﹣1（n≥2，n∈N），再利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2an﹣3，①得a1=3，Sn﹣1=2an﹣1﹣3（n≥2），②①﹣②，得an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1（n≥2，n∈N），所以数列{an}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（n∈N*）．（Ⅱ），，作差得，∴（n∈N*）．19.若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数．（）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）（）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论．（）证明：，，函数都是等比源函数．参考答案：见解析（）①当取，，时，得，，构成等比数列，∴是等比源函数．②当取，，时，得，，构成等比数列，∴是等比源函数．③当取，，时，得，，构成等比数列，∴是等比源函数．综上①②③均为等比源函数．（）函数不是等比源函数，证明如下：假设存在正整数，，，且，是，，成等比数列，∴，，∴，等式两边同除以，∴，又∵，，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴不可能成立，故假设不成立，∴不是等比源函数．（）证明：∵，，都有，∴，，数列都是以为首项，公差为的等差数列，，，，，成等比数列，∴，，∴，，，∴，，函数都是等比源函数．20.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：+=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6．（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程．由曲线C：+=1，利用平方关系可得可得C的参数方程．（II）设点P，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d==，利用余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐标方程：x﹣2y﹣6=0．由曲线C：+=1，可得C的参数方程：（θ为参数）．（II）设点P，θ∈[0，π）．则点P到直线l的距离d==≤=2，当且仅当=﹣1时取等号．此时点P，dmax=2．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=x﹣﹣lnx，a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）由已知中函数的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，分a≥，0＜a＜两种情况，分别讨论导函数的符号，进而可得f（x）的单调性；（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，则f（x）﹣x+x2＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，分析g（x）的单调性，进而可将问题转化为最值问题．【解答】解：（I）函数f（x）=x﹣﹣lnx的定义域为（0，+∞），且f′（x）=1+﹣=①当△=1﹣4a≤0，即a≥时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）为增函数．②当△=1﹣4a＞0，即0＜a＜时，由f′（x）＞0得，x2﹣x+a＞0，即x∈（0，），或x∈（，+∞）由f′（x）＜0得，x2﹣x+a＜0，即x∈（，）∴f（x）在区间（0，），（，+∞）为增函数；在区间（，）为减函数．（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，则f（x）﹣x+x2=＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，h（x）=g′（x）=3x2﹣lnx﹣1，则h′（x）==，在（1，+∞）上，h′（x）＞0恒成立，故h（x）＞h（1）=2恒成立，即g′（x）＞0恒成立，故g（x）＞g（1）=1，故0＜a≤1，即实数a的取值范围为（0，1]．22.已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；不等关系与不等式．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）知f′（x）=2ax+b﹣又a≥0，故当a=0时，f′（x）=若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函