天津翔东中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

天津翔东中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中,在上为增函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：，B中的恒成立2.已知，则使成立的的取值范围是（

）A.[0,1]

B.[3,4]∪{7}

C.[0,1]∪[3,4]

D.[0,1]∪[3,4]∪{7}参考答案：D3.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S=（

）

A．2450

B．2500

C．2550

D．2652

参考答案：答案：C4.已知数列{an}的通项为，我们把使乘积为整数的n叫做“优数”，则在内最大的“优数”为（）．A．510

B．512

C．1022

D．1024参考答案：C5.已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为（）A．π B．2π C．3π D．4π参考答案：C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径是r，母线长为l，根据条件和侧面积公式求出l=2r，判断外接球的球心位置，由球的表面积公式求出外接球的半径，再求出r和圆锥的高，代入椎体的体积公式求出该圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径是r，母线长为l，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴πrl=2πr2，解得l=2r，则圆锥的轴截面是正三角形，∵圆锥的外接球的表面积为16π，则外接球的半径R=2，且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是r，∴=2，解得r=，则圆锥的高为3，∴该圆锥的体积V==3π，故选：C．6.已知复数z满足，则复平面内与复数z对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】由得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7.

参考答案：C略8.已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则椭圆E的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C9.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（

）参考答案：A10.设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（）A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||?||=．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的标准方程，由双曲线的定义及勾股定理即可求得：||?||=2．【解答】解：∵双曲线x2﹣4y2=4，∴双曲线的标准方程：，则a=2，b=1，c=，双曲线的定义可知：|||﹣丨丨|=4

①，，则⊥，由勾股定理可知：||2+丨丨2=（2）2，②由①②解得：||?||=2，故答案为：2．12.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的取值范围是________．参考答案：13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为．参考答案：【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】在等差数列中，下标数成等差数列的项也成等差数列，所以s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，．【解答】解：∵{an}是等差数列，∴s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，又S5=3（a2+a8），∴5a3=3×2a5，∴故答案为14.若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为_________．参考答案：略15.已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中点为，则的面积为

参考答案：216.已知两条平行直线：和：（这里），且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B，直线与函数的图像从左至右相交于C、D．若记线段和在x轴上的投影长度分别为a、b，则当变化时，的最小值为___________．参考答案：32略17.已知直线l：y=k（x+1）+与圆x2+y2=4交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=．参考答案：8【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线l过圆心O所以可以得到直线AB的倾斜角，求出|OC|，即可得到|CD|的长度．【解答】解：由圆的方程x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2．∵弦长为|AB|=4=2r，∴可以得知直线l经过圆心O．∴0=k（0+1）+，解得k=﹣，∴直线AB的方程为：y=﹣x，设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，∴θ=120°，∴在Rt△AOC中：|CO|==4，那么：|CD|=2|OC|=8，故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M、O为AB、AC的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦角；（3）若E为BD上一点，满足OE⊥BD，求直线ME与平面CDM所成的角的正弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结DO，利用线面垂直的判定定理即得结论；（2）分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面CDM的法向量与平面ACD的法向量的夹角的余弦值的绝对值；（3）设，（0≤λ≤1），利用向量的加法法则及线段垂直的向量表示可得，利用向量数量积运算计算即可．解答： （1）证明：∵AB=4，AC=2，AD=2，∴AC⊥BC，AD⊥DC，则取AC中点O，连结DO，则DO⊥AC，∵平面ADC⊥平面ACB，DO?平面ADC，∴DO⊥平面ACB，∴DO⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD；（2）解：分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（，0，0），B（﹣，2，0），M（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，0，），=（，，0），=（，0，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），由，可得，令x=1，得=（1，﹣1，﹣1），又平面ACD的法向量为=（0，1，0），∴==，∴二面角A﹣CD﹣M的余弦角为；（3）解：由E点在棱BD上，设，（0≤λ≤1），故=（0，0，）+λ（﹣，2，﹣）=（﹣λ，2λ，（1﹣λ）），由OE⊥BD，得，即2λ+8λ﹣2（1﹣λ）=0，解得，∴=（﹣，2，﹣），=（0，﹣，）+（﹣，2，﹣）=（﹣，﹣4，5），平面CDM的法向量为=（1，﹣1，﹣1），设直线ME与平面CDM所成的角为θ，∴sinθ====．点评：本题考查线面垂直的判定定理，求二面角及线面角，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得?为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，通过|OQ|+|QG|=|OG|=2，推出|F′M|+|MF|=4．说明点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线C的方程；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入?，由?为定值求得m值，验证斜率不存在时适合得答案．【解答】解：（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′M，故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+===．如果要上式为定值，则必须有，解得m=，此时=．验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N（，0）满足?为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量的数量积、椭圆性质的合理运，是中档题．20.（本小题满分12分）

某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图5所示，成绩不小于90分为及格．

（Ⅰ）甲班10名同学成绩的标准差

乙班10名同学成绩的标准差（填“>”，“<”）；

（Ⅱ）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；

（Ⅲ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．参考答案：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）>．

2分（Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作，事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作，则．

6分（Ⅲ）X取值为0,1,2,3；；；．

10分所以X的分布列为X0