高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳

绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》 学问点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名： 学问梳理.二项式定理：(。+力〃=C%〃+CS「SH\-C^an~rbr~\l-C^CneN*)^^公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项绽开式.其中的系数a(r=0,l,〃)叫二项式系数.式中的叫二项绽开式的通项，用。+1表示，即通项Tr+i=Crnan-rbr..二项绽开式形式上的特点(1)项数为竺上!.(2)各项的次数都等于二项式的幕指数n,即。与。的指数的和为”.(3)字母。按降累排列,从第一项起先,次数由〃逐项减1直到零；字母b按丑金排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从Cg,CL始终到er1,a..二项式系数的性质⑴对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即禺=c;「(2)增减性与最大值：二项式系数C3当YI~1女＜一厂时，二项式系数渐渐增大.由对称性知它的后半部分是渐渐减小的；当nn是偶数时，中间一项。取得最大值；当72-1 〃+1〃是奇数时，中间两项=cj取得最大值.(3)各二项式系数和：Cn+Cn+CnHFQ+…+c，=25c2+a+c4+・・・=c4+c、+cZ+…=丝2.一个防范运用二项式定理肯定要牢记通项。+1=G；相一必,留意(。+力〃与(人+。)〃虽然相同，但详细到它们绽开式的某一项时是不同的，肯定要留意依次问题，另外二项绽开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两令丕同的概念,…前者尽指.00…而后者是字母外的部分.前者只与〃和厂有关，恒为正，后者还与〃，〃有关，可正可负.一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可依据次数，项数和系数利用排列组合的学问推导二项式定理.因此二项式定理是排列组合学问的发展和持续.两种应用(1)通项的应用：利用二项绽开式的通项可求指定的项或指定项的系数等.(2)绽开式的应用：利用绽开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二.题型示例【题型一】求(x+y)〃绽开特定项TOC\o"1-5"\h\z例1：(1+3必(其中且〃三6)的绽开式中x5与的系数相等，则〃=()A.6 B.7C.8 D.9解：由条件得C^35=C^36,n! _n!5!(〃-5)! 6!(〃-6)!••・3(〃-5)=6,〃=7.故选B.例2：(2014•大纲)(左一比『的绽开式中的系数为 .(用数字作答)解：/一关)绽开式的通项公式为3 3/、厂 8—r—4(-1)C。2y2,3 3令8—5厂=2,解得r=4,此时5〃-4=2,所以绽开式中X2/的系数为(-l)4d=70.故填70.【题型二】求(。+”〃+(%+y)〃绽开特定项例1：在(1—x)5+(l—x)6+(l—x),+(1一%)8的绽开式中，含X3的项的系数是()A.74 B.121C.-74D.-121解析绽开式中含V项的系数为eg(-1)3+C^(-1)3+C^(-1)3+C^(-1)3=-121.【题型三】求(〃+"”・(x+y)”绽开特定项例1：(2013•全国课标卷H)已知(1+czx)(l+x)5的绽开式中%2的系数为5,则〃=( )A.-4 B.-3C.-2 D.-1解：(1+qx)(1+x)5的绽开式中一项为Clx1+ax-C\x=10x2+Sax1=(10+5a)%2.••32的系数为5, A10+56/=5,〃=—1.故选D.例2：(2014•浙江卷)在(l+x)6(l+y)4的绽开式中，记产项的系数为角%,〃)，则43,0)+次2,1)十五1,2)+/0,3)=()A.45 B. 60C.120 D.210解析在(1+工)6的绽开式中，力的系数为eg7,在(l+y)4的绽开式中，/的系数为a,故火相，〃尸CCA而人3,0)=Cg=20,式2,1)=d・&=60,共1,2)=ChC《=36,火0,3)=C?=4,所以<3,0)+负2,1)+负1,2)+/0,3)=120,故选C.例3：已知数列｛%｝是等差数列，且%+%=10 ，贝U 在(x-a1)(x-a2)--(x-an)的绽开式中，xn的系数为.解：3的系数为—(6/|+%++tip)——6(4+%)=-60o【题型四】求(％+y+z)"绽开特定项例1:求住+5+同(%>0)的绽开式经整理后的常数项.因而7>+1=Cfo (也)10—2r (]、，贝1]r=5时为常数项，即Go不563^2=2,解法二：所给的式子为三项式，采纳两个计数原理求解.分三类：①5个式子均取出，则以5(钩=472;丫 1②取一个5，一个；，三个也，则Cg(加(6)3=2的③取两个看两个一个也，则dC3喈.所以，常数项为4陋+2岫+”兴63^2—2.点拨：三项式的绽开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.TOC\o"1-5"\h\z例2：若将(％+y+»°绽开为多项式,经过合并同类项后它的项数为( ).A.11 B.33C.55 D.66解：绽开后，每一项都形如公产才，其中a+8+c=10,该方程非负整数解的对数为。温=66o例3：[2015•课标全国卷I](x2+%+»的绽开式中，X5：/的系数为()A.10B.20C.30D.60解析易知r+1=©(1+%)5-y,令尸=2,则八=(3(%2+%)3,2,对于二项式(炉+4，由刀+1=0(%2广3=(2限61,令.=1,所以2y2的系数为C?Ci=30.【题型五】二项式绽开逆向问题例1：(2013•广州毕业班综合测试)若以+3或+32&+…+3厂2a一1+3〃-1=85,则〃的值为()A.3B.4C.5D.6解：由&+3或+・・・+3〃・2。「1+3〃-1=；[(1+3)〃-1]=85,解得〃=4.故选一)B.【题型六】赋值法求系数(和)问例1：已知(1-21)7=〃0+“1犬+。”2HVaix1.求：(1)〃1+Q2+…+Q7；(2)。1+。3+。5+。7；(3)。0+42+44+46；(4)|^o|+l6zi|+\a^+•••+\ai\.角星：令X=1,贝UQo+〃l+〃2+〃3+〃4+。5+。6+。7=-1•①令X=-1,则ao—41+。2—43+〃4-45+。6。7=3,,②(1)*/6Z0=C9=1,•・•〃1+02+03+…+47=-2.(2)(①一②)-2,得〃1+。3+。5+。7=-1-3’―广=一1094.③(3)(①+②)：2,得ao~\-ai~\-O4~\~ae=-1+37=1093.④(4):(1—2x)7的绽开式中，Qo,42,04,Q6大于零，而41,(13,〃5,-1+37=1093.④:・|。()|+ 1+㈤+…+|。7|=(〃()+Q2+〃4+。6)—(〃1+。3+〃5+〃7),•••所求即为④一③(亦即②)，其值为2187点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax+〃)〃，(ax2-\-hx-\-c),n(a,b,cWR)的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x=l即可；对形如(公+勿)"(〃，/?£R)的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.②若y(x)=6zo+aix+aix1+•••+则火幻绽开式中各项系数之和为a\+03+45+3='/⑴一f(T)・/U),奇数项系数之和为qo+s+q4H—J⑴？(a\+03+45+3='/⑴一f(T)例2：=a\x+av^HFOlnX2”,贝例2：=a\x+av^解：设火%）=惇+12：则(〃o+o2一(〃1+〃3+45+解：设火%）=惇+12：则(〃o+o2+〃4+•••+〃2〃)2—+6Z3+ +***+ain-i)2=(〃o+02+04+…+i2〃—a\—43—as 〃2〃—1)(Q()+Q2+〃4HFain+〃1+43+〃5+…+ain-!)=/(—1)7(1)=例3：已知(x+l)2(x+2严14=〃o+a\(x+2)+Q2(X+2)2+…+6Z2016(X+2严6,则3+第+||+一+掰的值为3解：依题意令尸一杀得1+1TOC\o"1-5"\h\z，3 、2014 ，3 )3解：依题意令尸一杀得1+11―g+2)=〃o+ [-]+2)+(3 )2 (3 \2016武一]+2)H 1-。20161—]+2),令x=-2付qo=O,则不+至+方-^ H乙乙 乙6Z20I6,2016=m20166Z20I6,2016=m2016I2J例1：若将函数式幻=/表示为火幻=40+“1（1+工）+。2（1+x）2+…+。5（1+%）5,其中a。，Q],〃2，…，。5为实数,则Q3=.解法一：令x+l=y,（y—l）5=ao+a\y-\-aiy2+•••+asy5,故〃3=d（—1>=10.解法二：由等式两边对应项系数相%5=1,等.即：，△。5+。4=0, 解得〃3=、Cg〃5+C%4+〃3=0,解法三：对等式：/OOnruao+aiq+x）+^2（l+x）24F〃5（1+x）5两边连续对龙求导三次得：60/=6如+2444（1+x）+60〃5（1+x）2,再运用赋值法，令X=—1得：60=6©,即。3=10.故填10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例i：（c+JT的绽开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为.解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得〃=9,（也十£绽开式的第四项为八=0（也）6-（=）3=21~2'例2：把（1一%）9的绽开式按％的升塞排列，系数最大的项是第项A.4 B.5C.6 D.7解析（1—%）9绽开式中第1+1项的系数为c§（-l）\易知当r=4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.例3：（l+2x）〃的绽开式中第6项与第7项的系数相等，求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解:々=G（2x）5,乃=以（21）6,依题意有东・25=以・26,解得〃=8,所以（1+2x）8的绽开式中，二项式系数最大的项为T5=d•（2x）4=1120x4.设第r+1项系数最大，则有•2。。厂•2厂IIC§•2。。时•2r+1,解得5W-W6,所以r=5或r=6,所以系数最大的项为76=1792/或为=1792x6.点拨：（1）求二项式系数最大项：①假如〃是偶数，则中间一项（第£+1项）的二项式系数最大；②假如〃是奇数，则中间两77+1 〃+1项（第一厂项与第一厂+1项）的二项式系乙 乙数相等并最大.⑵求绽开式系数最大项：如求的绽开式系数最大的项，一般是采纳待定系数法，列出不等式组L. 从而解出r,即得绽开[ArNAr+l,式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例1：若(21-3)5=00+〃1%+〃2/+43X3+SA4+Q5X5,贝1J〃1+2〃2+3〃3+46/4+5Q5=•解析原等式两边求导得5(2%—3)49(2x—3y=ai+2tzzx+36Z3X2+4«4X3+5。5次4,令上式中X=1,得。1+2〃2+3b+4〃4+5q5=10.【题型十】整除问题例1：设q£Z,且0W〃v13,若512。12+。能被13整除，则4=()A.0B.1C.11D.12解析512°12+〃=(52—1)2。12+"=©012•522O12-Cioi2•52201l+-+CM1»52(-l)201l+C^l^(-l)2012,.,C5oi2-522O12-Cloi2-522O11+-+C^8HX52・(一Iyo”能被13整除.且512oi2+a能被13整除，，c阴场＜-])2012+〃=i+q也能被13整除.因此〃可取值12.例2：已知根是一个给定的正整数,假如两个整数。"除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a=h{mod根)，例如：5三13(/nod4).若22015三r{mod7),则厂可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016解：22015=22X23X671=4X8671=4(7+1）671=4（7671+以717670+…+潮7+1）.因此2235除以7的余数为4.阅历证，只有2013除以7所