《概率论与数理统计》课件第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征4矩、协方差矩阵1数学期望3协方差和相关系数2方差学习目标会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望(求出随机变量的分布、列出随机变量的函数、应用公式).理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.单击此处添加小标题差.伍单击此处添加小标题本章介绍随机变量常用的数字特征：数学期望和方肆单击此处添加小标题在理论上和应用上都是有重要意义的.叁单击此处添加小标题分布特点），贰单击此处添加小标题随机变量的数字特征（即用数字表示随机变量的壹4.1数学期望添加标题、数学期望的概念添加标题随机变量函数的数学期望添加标题数学期望的性质添加标题几种重要分布的数学期望一、数学期望的概念起源：法国数学家帕斯卡（Pascal，1623—1662）法国数学家费马（Fermat，1601—1665）法国军人德.梅勒（DeMere，1607—1684）分赌本问题:1654年，法国有个赌徒向数学家帕斯卡提出了令他苦恼长久的问题：甲、乙两人赌技不相上下，各出赌金50法郎进行赌博，并约定先胜三局者为胜，取得全部100法郎.假设每局都不会出现平局，如果当甲赢了两局、乙赢了一局时，因故要终止赌博，问这100法郎该如何分才公平？1若统计100天,可得到这100天中每天的平均废品数为2每天生产的废品数X是一个随机变量。如何定义X3引例6可以想象，若另外统计100天，情况？？？5的平均值呢？(假定小张每天至多出三件废品)4某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张可以得到n天中每天的平均废品数为一般来说,若统计n天,(假定小张每天至多出三件废品)把这种各个数与相应频率相乘的和称为0、1、2、3的以频率为权的加权平均，而频率称为权.由频率和概率的关系概率代替频率，得平均值为，在求废品数X的平均值时，用注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的若级数绝对收敛.设离散型随机变量X

的分布律为简称期望或均值，记为E(X).则称此级数的和为X

的数学期望.即级数的和.数学期望是随机变量的平均值，其与X取值x

k的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛.一、定义1例1甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？解甲乙的平均环数可求得：因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好.X：甲击中的环数Y：乙击中的环数解设试开次数为X,于是

某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.例2例3掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望.100

03/41/4因此,若设随机变量为:在甲胜2局,乙胜1局的前提下,继续赌下去的分布律为甲最终所得的赌金,则例4（分赌本问题)甲、乙两人赌技不相上下，各出赌金50法郎进行赌博，并约定先胜三局者为胜，取得全部100法郎.假设每局都不会出现平局，如果当甲赢了两局、乙赢了一局时，因故要终止赌博，问这100法郎该如何分才公平？因而甲期望所得的赌金即为的“期望”值75（法郎）.乙只能得25法郎解分析:设想再赌下去,只要再赌两局就可以决定胜负,再赌两局结果为以下四种情况之一:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.其中“甲乙”表示第一局甲胜,第二局乙胜,其他情况依此类推.结合已赌的三局,发现甲胜的可能性是3/4,乙胜的可能性是1/4.设连续型随机变量X的概率密度为01简称期望或均值，记为E(X).为X的数学期望。02单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。简称期望或均值，记为E(X).定义2如果绝对收敛，即则称例4（柯西分布）假设随机变量X的密度函数为A求X的数学期望.由于B例5添加标题已知某电子元件的寿命X服从参数为01添加标题解04添加标题的指数分布(单位：小时）.02添加标题小时.05添加标题求这类电子元件的平均寿命E(X).03添加标题由定义可得06二、随机变量函数的数学期望应该如何计算Y=g(X)的数学期望呢？已知X的分布律为解1012例6同理1/41/81/43/81/41/81/43/8014求及的数学期望.单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。1/41/81/43/8单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。1/41/81/43/8单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。1014(g为连续函数)添加标题定理1设添加标题绝对收敛,添加标题设X为离散型随机变量，其分布律为添加标题则g(X)的数学期望为添加标题若级数添加标题设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),添加标题若添加标题绝对收敛,添加标题则g(X)的数学期望为设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)例7解设随机变量X的概率密度为例8求E(1/X)。解某公司按季度销售某商品的量X服从例9（最佳决策）01[2000，4000]上的均匀分布，销售1公斤获利3元，屯仓021公斤亏损1元，为获利最大，该公司应进货多少公斤？03解设S为进货量，则04，获得利润为05由题意可得06则平均利润为07添加标题求S使E(Y)最大添加标题可得添加标题（公斤）定理2设(X,Y)是二维随机变量,g(X,Y)是二元连续函数⑴设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为若级数绝对收敛,则Z的数学期望为⑵设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),若绝对收敛,则Z

的数学期望为例10已知(X,Y)的分布律为求解解已知的概率密度求同理一般来说，,那么何时相等？看下面数学期望性质1.设C是常数，则E(C)=C;2.若C是常数，则E(CX)=CE(X);3.三、数学期望的性质证明

设设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);添加标题01由独立性添加标题03证明设添加标题02注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立（当Xi独立时）（当Xi独立时）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。5.（柯西-施瓦尔兹不等式）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立5.（柯西-施瓦尔兹不等式）证明：几种重要分布的数学期望X为离散型随机变量（0—1）分布泊松分布⑶二项分布则X表示n重伯努利试验中A发生的次数.现在我们来求X的数学期望。02单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。则X表示n重伯努利试验中A发生的次数.01若设则，则所以结论：任何一个服从二项分布的随机变量X都可表示相加的形式：n个服从（0—1）分布的独立的随机变量单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。2.X为连续型随机变量n个服从（0—1）分布的独立的随机变量均匀分布⑴均匀分布单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。⑵指数分布则则⑶正态分布PART1已知的分布律为例12求解已知例13求服从参数为3的指数分布，X,Y相互独立，解由随机变量的性质可知例14一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，就不停车。以X表示停车的次数。求E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）.如到达一个车站没有旅客下车站无人下车,站有人下车.解设则注:不是相互独立的.本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.0103024.2方差方差的性质01、方差的定义02几种重要分布的方差03解比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为

引例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数Y：乙击中的环数Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(环)乙的平均环数为＝9.2(环)从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的.于是需要引入新的量才能判别两人水平高低引例2:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成,身高如下：1.60、1.62、1.59、1.60、1.591.80、1.60、1.50、1.50、1.60那个合唱队演出效果好？分析：易见，甲乙两队的平均身高都为1.60，但显然甲队比乙队整齐，身高相对集中在1.60米左右，演出效果好.数学期望（均值，平均水平）即随机变量每一个取值与均值的偏离程度小效果好.一、方差的概念01用什么衡量X与E(X)的偏离程度呢?0203合理,但是存在正负相消，不可行;0405带绝对值的运算，不利于分析;0607在实际问题中常常关心随机变量与均值的偏离程度，定义设X是一个随机变量，若方差刻划了随机变量的取值01若X的取值比较集中，则方02差较小；若X的取值比较分03散则方差较大.04对于其数学期望的离散程度05方差的算术平方根06为X的方差。07存在，则称08称为均方差或09标准差.10离散型已知X分布律添加标题连续型已知X的概率密度添加标题注意：添加标题添加标题是关于随机变量X的函添加标题数添加标题的数学期望.添加标题证明计算方差的简便公式：2.方差描述了随机变量X的取值与其均值的偏离程度.02单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。计算方差的简便公式：01解比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为

例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数Y：乙击中的环数Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(环)乙的平均环数为＝9.2(环)甲、乙射击水平是一样的.A这表明乙的射击水平比甲稳定.但两人射击环数的方差分别为：B单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。这表明乙的射击水平比甲稳定.从平均环数上看，D(Y)D(X),<由于，设随机变量X的概率密度为求D（X）。解单击此处添加小标题设C是常数,则D(C)=0;单击此处添加小标题若C是常数,则D(CX)=C2D(X);单击此处添加小标题若X与Y独立，则单击此处添加小标题方差的性质单击此处添加小标题证单击此处添加小标题证其中单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。推广若X1,X2,…,Xn相互独立,则02推广若X1,X2,…,Xn相互独立,则4.若X与Y独立，且a,b是常数，则01（0-1）分布参数为p1三．常见分布的方差2．二项分布其中01相互独立。03，且02则由方差的性质可得04分布律为参数为3．泊松分布密度函数参数为4．均匀分布密度函数5.指数分布6.正态分布参数为概率密度注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学添加标题01单击此处添加小标题特别，当03单击此处添加小标题期望和方差所决定.02单击此处添加小标题时04设X,Y是两个相互独立的且服从正态分布的例3随机变量,且，则求随机变量服从什么分布？解Z为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为故设X,Y是两个相互独立的且均服从正态分布例4的数学期望则故单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。的随机变量,则求随机变量01的随机变量,则求随机变量解记02设X的可能取值为添加标题添加标题添加标题添加标题添加标题所以解设X的分布律为，求X的分布律.且例5单击此处添加小标题已知单击此处添加小标题例6单击此处添加小标题求单击此处添加小标题的次数，添加标题对X独立观察4次，Y表示X的观察值大于添加标题解由题意可知单击此处添加小标题例7单击此处添加小标题设单击此处添加小标题，且单击此处添加小标题求(X,Y)的联合分布律;单击此处添加小标题求X+Y的方差.单击此处添加小标题解⑴X,Y的取值都为-1和1，则01⑵X+Y的分布律为4.3协方差和相关系数添加标题添加标题添加标题相关系数的性质协方差的性质协方差和相关系数的定义定义设二维随机变量添加标题若添加标题存在，添加标题协方差和相关系数的定义添加标题则称它为添加标题与添加标题的协方差，记为添加标题即添加标题称添加标题为随机变量添加标题的相关系数.添加标题与添加标题二、协方差的性质Pf:（协方差的计算公式）Pf:Pf:若X,Y相互独立，则3.为常数Pf:7.（柯西-施瓦尔兹不等式）证明：三、相关系数的性质添加标题01添加标题定理1设随机变量X和Y的相关系数存在，则02添加标题证1)03则Cauchy-Schwarz不等式所以设随机变量命题添加标题的线性函数添加标题则求X和Y的相关系数添加标题证由已知可得添加标题所以添加标题由添加标题可得添加标题说明相关系数之间线性关系的一种度量.，X与Y的线性关系越显著；，X与Y的线性关系越不显著.四个等价命题：114页2）3）4）1）相关系数则称与不相关;不相关：X与Y之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系.所以，当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故但由并不一定能推出X和Y独立.独立：X与Y之间没有任何函数关系.独立不相关设随机变量01例2添加标题02的概率密度为添加标题03问X和Y是否相互独立，是否不相关？添加标题04解⑴先求关于X和Y的边缘概率密度添加标题求X和Y的相关系数所以X和Y不相互独立.因为添加标题所以添加标题不相关添加标题故X和Y不相关.添加标题独立若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关特例若(X,Y)服从二维正态分布。是Y与X的相关系数。以下画出取几个不同值时(X,Y)的密度函数图.推广（n维正态分布的几条重要性质P118）1.设(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，则“X1,X2,…,Xn相互独立”“X1,X2,…,Xn两两不相关”“X1,X2,…,Xn相互独立”单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。“X1,X2,…,Xn两两不相关”单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。2.X=(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布a1X1+a2

X2+…+an

Xn均服从正态分布.对一切不全为0的实数a1,a2,…,an，3.若

X=(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，