函数及其表示徐音上课

§2.1函数及其表示

杭州第九中学徐音基础知识自主学习1.函数与映射知识梳理

函数映射两集合A、B设A，B是两个非空

设A，B是两个非空

对应关系f：A→B

如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的

一个数x，在集合B中

都有唯一确定的数f(x)和它

对应

如果按某一个确定的对应关系f，

使对于集合A中的

一个元

素x，在集合B中都有唯一确定

的元素y与之对应数集集合任意任意名称

称

为从集合A到集

合B的一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集

合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的

；与x的值相对应的y值叫做

，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的

.(2)函数的三要素：

、

和

.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有

、

和

.定义域函数值值域定义域对应关系值域解析法图象法列表法3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因

不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的

，其值域等于各段函数的值域的

，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.对应关系并集并集1.函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广.2.函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.3.分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(

)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.(

)(3)映射是特殊的函数.(

)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.(

)思考辨析××××

考点自测1.(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.

2.(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是A.y＝x B.y＝lgx C.y＝2x D.y＝函数y＝10lgx的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝

，故选D.由题意知f(0)＝4，f(4)＝6，设f(x0)＝t，则f(t)＝2，当t>0时，－t＋10＝2，得t＝8，当t<0时，t2＋4＝2，无解，当x0>0时，由－x0＋10＝8，得x0＝2，当x0≤0时，由

＋4＝8，得x0＝－2，所以x0＝2或－2.62或－2题型分类深度剖析题型一函数的概念例1有以下判断：

②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；其中正确判断的序号是________.②③所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；综上可知，正确的判断是②③.函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).思维升华

跟踪训练1

(1)下列所给图象中函数图象的个数为①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.A.1 B.2

C.3 D.4

A中两个函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同.故选D.(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是

题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2

(2016·临安中学一模)(1)函数f(x)＝

的定义域为

A.(－3,0] B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]所以函数f(x)的定义域为(－3,0].由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1).[0,1)引申探究例2(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝

的定义域为________________.由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]，得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]，命题点2已知函数的定义域求参数范围例3

(1)若函数f(x)＝

的定义域为R，则a的取值范围为________.[－1,0]因为函数f(x)的定义域为R，所以

对x∈R恒成立，即

，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点.当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0<a<3.综上所述，a的取值范围是[0,3).[0,3)

跟踪训练2

题型三求函数解析式(换元法)(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，∴f(x)＝2x＋7.2x＋7(消去法)函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).思维升华跟踪训练3∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1).(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，即k2x＋kb＋b＝4x－1，(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x).以－x代替x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，∴f(－x)＝－3f(x)－2x＋1，代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，

分类讨论思想在函数中的应用思想与方法系列2(1)当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.∴a≥1.课时训练√要使