陕西省西安市西北工业大学2024届数学高二上期末考试模拟试题含解析

陕西省西安市西北工业大学2024届数学高二上期末考试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为等差数列，为其前n项和，，则下列和与公差无关的是（）A. B.C. D.2．已知直线过点，，则该直线的倾斜角是（）A. B.C. D.3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）A.4 B.12C.15 D.184．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（）A. B.C. D.5．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B.C. D.6．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知平面的一个法向量为，则x轴与平面所成角的大小为（）A. B.C. D.8．双曲线的渐近线的斜率是（）A.1 B.C. D.9．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（）A. B.C. D.11．已知空间向量，，，则（）A.4 B.-4C.0 D.212．新型冠状病毒（2019-NCoV）因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：患病未患病总计服用药104555未服药203050总计3075105下列说法正确的是（）参考数据：，0.050.013.8416.635A.有95%的把握认为药物有效B.有95%的把握认为药物无效C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将参加冬季越野跑的名选手编号为：，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，把编号分为组后，第一组的到这个编号中随机抽得的号码为，这名选手穿着三种颜色的衣服，从到穿红色衣服，从到穿白色衣服，从到穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为__________14．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______15．某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时，弹簧振子的瞬时速度为_________mm/s.16．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四边形为矩形，，且平面平面.（1）若，分别是，的中点，求证：平面；（2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）已知等差数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列的前项和.19．（12分）已知等比数列满足，（1）求数列通项公式；（2）记，求数列的前n项和20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3（1）求椭圆E的方程；（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求21．（12分）随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x（单位：百元）与销量y（单位：个）的相关数据如下表：单价x（百元/个）3035404550日销售量y（个）1401301109080（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时，销售利润最大？（结果保留到整数），附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.参考数据：.22．（10分）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到点的距离之差为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于、两点，若的面积为，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】依题意根据等差数列的通项公式可得，再根据等差数列前项和公式计算可得；【题目详解】解：因为，所以，即，所以，，，，故选：C2、C【解题分析】根据直线的斜率公式即可求得答案.【题目详解】设该直线的倾斜角为，该直线的斜率，即.故选：C3、C【解题分析】先求出公差，再利用公式可求总重量.【题目详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，由题设有，，故公差为.故中间一尺的重量为所以这5项和为.故选：C.4、B【解题分析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.【题目详解】由题意可知，圆心，所以圆心到的距离为，所以的最小值为.故选：B.5、C【解题分析】点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，可得b≥c，利用离心率计算公式即可得出【题目详解】∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故选C【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).6、A【解题分析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【题目详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A7、C【解题分析】依题意可得轴的方向向量可以为，再利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解；【题目详解】解：依题意轴的方向向量可以为，设x轴与平面所成角为，则，因为，所以，故选：C8、B【解题分析】由双曲线的渐近线方程为：，化简即可得到答案.【题目详解】双曲线的渐近线方程为：，即，渐近线的斜率是.故选：B9、B【解题分析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.【题目详解】易知点、，设点，其中，，且，，且，，，所以，，，因为，所以，，则，因此，该双曲线渐近线方程为.故选：B.10、D【解题分析】为中点，连接，易得为平行四边形，进而可知B到平面PCD的距离即为到平面PCD的距离，再由线面垂直的性质确定线线垂直，在直角三角形中应用勾股定理求相关线段长，即可得△为直角三角形，最后应用等体积法求点面距即可.【题目详解】若为中点，连接，又E为PA的中点，所以，，又，，则且，所以为平行四边形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距离，即为到平面PCD的距离，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，则面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；综上，，故，又，则.所以B到平面PCD的距离为.故选：D11、A【解题分析】根据空间向量平行求出x,y，进而求得答案.【题目详解】因为，所以存在实数，使得，则.故选：A.12、A【解题分析】根据列联表计算，对照临界值即可得出结论【题目详解】根据列联表，计算，由临界值表可知，有95%的把握认为药物有效，A正确故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】，所以抽到穿白色衣服的选手号码为，共14、【解题分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.【题目详解】因为=，所以，则曲线在点处的切线斜率为，即，又所以所求切线的倾斜角为故答案为：15、0【解题分析】根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.【题目详解】解：因为，所以求导得，所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为,故答案为：.16、【解题分析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.【题目详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）通过构造平行四边形，在平面中找到即可证明（2）建立直角坐标系，通过两个面的法向量夹角的余弦值求出面面夹角的余弦值【小问1详解】证明：设为的中点，连接，，因为，分别为，的中点.所以且，又，为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】取的中点，连接，，则，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵是等边三角形，为中点，∴，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则有即取可取，设为平面的一个法向量，则有即可取，所以，设平面与平面的夹角为，则，∴，即平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）（2）证明见解析.【解题分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，解得，因此，.【小问2详解】证明：，因此，.故原不等式得证.19、（1）（2）【解题分析】（1）通过基本量列方程组可得；（2）由裂项相消法可解【小问1详解】由题意得解得，所以数列的通项公式为【小问2详解】由（1）知，则所以20、（1）；（2）【解题分析】（1）根据离心率和最大距离建立等式即可求解；（2）根据弦长，求出直线方程，解出点的坐标即可得解.【题目详解】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以，所以椭圆E的方程；（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入，整理得：，设，，，整理得：，当时，线段中点坐标，中垂线方程：，；当时，线段中点坐标，中垂线方程：，，综上所述：.21、（1）；（2）确定单价为50百元时，销售利润最大.【解题分析】（1）根据参考公式和数据求出，进而求出线性回归方程；（2）设出定价，结合（1）求出利润，进而通过二次函数的性质求得答案.【小问1详解】由题意，，则，，结合参考数据可得，，所以线性回归方程为.【小问2详解】设定价为x百元，利润为，则，由题意，则（百元）时，最大.故确定单价为50百元时，销售利润最大.22、（1）；（2）或.【解题分析】（1）本题首先可以设动点，然后根据题意得出，通过化简即可得出结果；（2）本题首先可排除直线斜率不存在时情况，然后设直线方程为，通过联立方程并化简得出，则，，再然后根据得出，最后根据的面积为即可得出