数值分析第五(清华大学出社)第二重积分概念

三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质第九章本文档共28页；当前第1页；编辑于星期三\8点2分解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”本文档共28页；当前第2页；编辑于星期三\8点2分1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体本文档共28页；当前第3页；编辑于星期三\8点2分4)“取极限”令本文档共28页；当前第4页；编辑于星期三\8点2分2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.本文档共28页；当前第5页；编辑于星期三\8点2分2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量本文档共28页；当前第6页；编辑于星期三\8点2分两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:本文档共28页；当前第7页；编辑于星期三\8点2分二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,本文档共28页；当前第8页；编辑于星期三\8点2分引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作本文档共28页；当前第9页；编辑于星期三\8点2分二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.本文档共28页；当前第10页；编辑于星期三\8点2分三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则本文档共28页；当前第11页；编辑于星期三\8点2分特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有本文档共28页；当前第12页；编辑于星期三\8点2分7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此本文档共28页；当前第13页；编辑于星期三\8点2分例1.

比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上本文档共28页；当前第14页；编辑于星期三\8点2分例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负

但不好估计.舍去此项本文档共28页；当前第15页；编辑于星期三\8点2分例3.估计下列积分之值解:

D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D本文档共28页；当前第16页；编辑于星期三\8点2分8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有本文档共28页；当前第17页；编辑于星期三\8点2分四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的本文档共28页；当前第18页；编辑于星期三\8点2分同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算本文档共28页；当前第19页；编辑于星期三\8点2分例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为本文档共28页；当前第20页；编辑于星期三\8点2分内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法本文档共28页；当前第21页；编辑于星期三\8点2分被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:本文档共28页；当前第22页；编辑于星期三\8点2分2.

设D是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有本文档共28页；当前第23页；编辑于星期三\8点2分3.计算解:本文档共28页；当前第24页；编辑于星期三\8点2分4.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.本文档共28页；当前第25页；编辑于星期三\8点2分

P782，4，5P951(1),8作业本文档共28页；当前第26页；编辑于星期三\8点2