工程力学-刚体的平面运动

刚体的平面运动12第2章刚体的平面运动2.1刚体平面运动的简化

2.2用分析的方法研究平面图形的运动

2.2.1平面运动方程

2.2.2平面图形的角位移、角速度、角加速度

2.2.3平面图形上点的运动分析2.3用矢量方法研究平面图形的运动

2.3.1平面平移

2.3.2定轴转动

2.3.3平面图形上点的速度分析

2.3.4平面图形上两点的加速度关系作业2.102.112.122.132.192.202.232.248学时不要求速度分析加速度分析3本章主要内容：第2章刚体的平面运动用分析法和矢量法两种方法研究刚体的平面运动规律。1.建立描述刚体平面运动的运动方程；2.描述刚体的整体运动学特征量；学习本章的意义：刚体平面运动的研究不仅本身具有实际使用价值，而且还是研究刚体定点运动和一般运动以及动力学的重要基础。刚体运动学只是从几何的角度研究如何描述刚体的运动。3.描述刚体上任意两点的速度、加速度的矢量关系式。4第2章刚体的平面运动§2.1

刚体平面运动简化1.刚体的平面运动（平面平行运动）刚体上任意一确定点到某一固定平面的距离始终保持不变的运动称为刚体的平面运动，又称为平面平行运动。平面运动刚体上各点的轨迹均为平面曲线。2.平面运动的三种类型受到约束的不同将平面运动分为三种类型：（1）平面平移（3）一般平面运动（2）定轴转动5(1)平移刚体内任一条直线在刚体运动过程中始终保持平行，这样的运动称为平移。平移刚体内各点轨迹的形状完全相同。直线平移当平移刚体上任一点的轨迹为直线，则称该运动为直线平移。曲线平移当平移刚体上任一点的轨迹为曲线，则称该运动为曲线平移。空间平移平面平移当平移刚体上任一点的轨迹为空间曲线，则称为空间平移。当平移刚体上任一点的轨迹为平面曲线，则称为平面平移。平面平移属于平面运动的特例。直线平移曲线平移6(2)定轴转动当刚体作平面运动时，在运动过程中体内（或其延拓部分）始终存在一条固定不动的直线，这样的平面运动称为定轴转动，不动的直线为转轴。平移和转动是刚体的基本运动，它们不仅是刚体的最简单的运动，而且还是刚体复杂运动的基础。定轴转动除转轴外，刚体上各点分别在与转轴垂直的各平面内作圆周运动。(3)一般平面运动既不是平面平移，也不是定轴转动的平面运动称为一般平面运动。在刚体作一般平面运动的情形下，刚体内各点的轨迹是形状各异的平面曲线。一般平面运动73.举例说明平面运动4.刚体的平面运动的简化曲柄连杆滑块机构ABC通常，平面运动刚体上各点的轨迹不同，同一瞬时其上各点的速度和加速度不等。但在刚体内任意一条与体内各点的运动平面相垂直的直线上，各点却有相同的位移（可以根据刚体上任意两点间距离保持不变的性质用反证法得证），因此，这条直线上每一点的速度和加速度是相同的。于是任意一个平行于某个固定平面I的平面II、平面III或平面IV等等分别将刚体截出一个平面图形，当刚体作平面运动时，这些图形在自己所在的平面内运动。垂直于平面I的某条直线与各平截面的交点的轨迹、速度和加速度完全相同。定轴转动曲线平移一般平面运动直线平移定轴转动8III因此刚体平面运动的研究，可简化为对一个平截面图形S在其自身平面内运动的研究。如图所示。显然，在各处截得的具体平截面图形一般来说是不同的，为了使研究具有一般性，将平截面图形的大小和形状看成是不受任何限制的，可以根据需要加以延拓的平面图形。SASA9§2.2

用分析方法研究平面图形的运动2.2.1平面运动方程1.方位角和平面运动刚体的自由度已知平面图形S在其自身所在平面上作平面运动，若在该平面上建立固定不动的直角坐标系Oxy，则平面图形的位置由其上任意一有向线段确定。有向线段的位置需要3个坐标，

与x轴正向的夹角方位角方位角的正向规定：从不动边Ox轴转向有向线段，转动方向即为正向。故平面运动刚体的自由度为3。102.平面运动方程平面图形的运动方程为(2.1)上式完全确定平面运动刚体的运动规律，也可以完全确定刚体上任一点的轨迹、速度和加速度。3.受约束刚体的平面运动如果平面图形还受到其他约束时，式(2.1)中的3个变量彼此不独立，自由度小于3。图形的运动仍然可用式(2.1)描述，也可根据具体情况选取新的广义坐标来描述。两种特殊情形：(1)平面平移说明刚体上任一直线在运动过程中始终保持平行。这是刚体作平面平移的情形，其运动方程为当时，其自由度数为2。112.2.2平面图形的角位移角速度角加速度(2)定轴转动当时，说明在运动过程中，刚体内过A点与图形S相垂直的直线上的点静止不动。这是刚体作定轴转动的情形，其运动方程为其自由度数为1。1.平面图形的角位移平面图形运动时，方位角随时间变化，即有向线段的方位是变化的。已知：设的时间间隔内，方位角的增量为，即通常将称为有向线段在时间内的角位移。12ABx(A)(B)图形的角位移平面图形在运动过程中其上任意两条有向线段和的方位角存在关系ABCDx其中为和的夹角。对确定的和，。显然在同一刚体上的两条线段的角位移相等，即表明：在相同的时间间隔内，图形上任意一条有向线段的角位移均与有向线段的角位移相等。图形上有向线段的角位移也称为图形的角位移。则132.平面图形的角速度和角加速度角速度(2.2)角速度的单位为。角加速度(2.3)角加速度的单位为。刚体平面运动的角速度和角加速度

平面图形的角速度、角加速度又称为刚体平面运动的角速度和角加速度。它们表示了刚体方位变化的快慢。角速度与转速的关系由于约束条件的变化，当刚体的平面运动退化为定轴转动时，工程中也常用转速n作为刚体转动快慢的度量。转速n——

每分钟转过的圈数n单位：(2.4)显然，平面图形的角速度、角加速度是可以用代数量表示的物理量。14角速度的转向规定设的转向如图所示。由式(2.2)，ABx当时，，刚体的方位是沿着逆时针转向改变，说明的真实转向为逆时针；当时，，刚体的方位是沿着顺时针转向改变，说明的真实转向为顺时针。另外，要注意转向与的转向不一致情形，ABx只有当时，的真实转向才与图示转向一致。角加速度的转向规定角加速度的处理方法与角速度完全相同。15角速度矢量和角加速度矢量平面图形的角速度、角加速度也可以表示为沿Oz轴的矢量，则设Oz轴正向的单位矢量为，(2.5)(2.6)ABzyxO其中，为角速度和角加速度矢量在z轴上的投影，是代数量。则(2.7)(2.8)16角速度矢量和角加速度矢量的另一种处理方法用矢量方法计算平面运动刚体的各运动学量时，常这样处理角速度矢量：(1)其方向以转向的形式标在图中，其数值通过运动学方程得到。表明实际转向与图中所设一致，转向已知时标出真实转向；转向未知时可在图中假设其转向，一般选其为方位角的转向；(2)如果所标出的转向是真实转向，那么通过方程解出的代数量(3)如果所标出的转向是假设的，或。表明实际转向与图中所设相反。角加速度矢量的处理方法与角速度矢量相同。17刚体作定轴转动，已知刚体的运动方程为，试求出图中所设转向的刚体的角速度和角加速度的值。例2.1A(a)(b)A(c)A18例2.2半径为r

的圆轮沿直线轨道运动，在运动过程中，圆轮与轨道接触处无相对滑动（称为纯滚动）。已知轮心的运动规律，试求圆轮的角速度、角加速度及轮边缘上任一点M的速度和加速度。解1.运动分析圆轮沿水平直线作纯滚动，其自由度为1。建立图示直角坐标系，不失一般性，设时，点M与坐标系原点O重合，例2.2图CM取为广义坐标，图示为方位角。OxyCM19由已知条件和所建立的坐标，有(1)点M的运动方程为(2)(3)2.建立运动关系CM例2.2图COxM设，的转向如图所示，则3.求，，，y20此时，，当时，加速度的方向垂直向上，大小为。这个结论在以后解题中很有用。即当点M与地面接触瞬时，其速度为零，而加速度却不为零。结论：21§2.3

用矢量方法研究平面图形的运动用分析法研究平面运动图形上点的速度和加速度时，要将点的运动方程写成平面图形广义坐标的函数。对于只需要求出平面图形上某点在某一瞬时的速度和加速度的问题，上述方法不一定简便，此时如果用矢量法对问题进行求解则较为方便。2.3.1平面平移平面平移的刚体，任意两点A，B，在任意时刻当A，B两点取定后，在刚体平移过程中常矢量则A，B两点速度、加速度在任一瞬时(2.14)(2.15)ABO22结论当刚体作平移时，其上各点都有相同的速度和加速度。可见，对平移刚体运动的研究可以简化为对其上某一点的运动的研究。在式(2.14)、(2.15)的推导过程中并没有用到刚体的平移必须是平面平移这样的条件，换言之，只要刚体平移，它们均成立。232.3.2定轴转动对定轴转动刚体，分析其上任一点M的速度和加速度。设刚体的角速度，角加速度方向分别如图所示，速度当点M确定后，在刚体作定轴转动的过程中

的大小不变，方向改变，其矢量微分（见附录I）有则(2.16)其中刚体作定轴转动的角速度(2.17)大小方向如图zMO24(2.18a)加速度M(2.18b)切向加速度方向如图法向加速度方向如图请读者推导点M的速度、加速度在自然轴上的投影表达式，并与上述结果进行比较。思考M25平面图形上任意两点的速度关系2.3.3平面图形上点的速度分析1.两点速度关系图形上任意两确定点A，B，其中AB(2.19)O26定义：(2.20)图形绕点A以图形角速度转动时点B所具有的速度大小方向垂直于A，B两点的连线，指向与图形角速度的转向BA则(2.21)平面图形上任意两点的速度关系表明：平面图形上某点B的速度等于基点的速度与平面图形以其角速度绕基点转动时点B所具有的速度之矢量和。点A称为基点，这种方法称为基点法。27例题已知杆AB上的，，试求杆AB的中点C的速度。解方向相反普遍适用28(2.22)2.速度投影定理同一刚体上两点的速度在其两点连线上的投影相等。=0投影定理的适用范围和实质：不仅适用于平面运动刚体，而且适用于任意运动形式的刚体。其实质是刚体上任意两点间距离保持不变的反映。AB29矢量法：矢量法解题的一般步骤：1.运动分析：2.速度分析：选定两点（通常取速度已知的点为基点），写出两点的速度关系式，分析各项速度的大小和方向，并且在图中画出速度矢量图。3.求解矢量方程：a)通过所作速度矢量图的几何关系求解未知量；b)建立坐标轴，通过矢量方程投影于线性无关的两根轴上，得到两个独立的标量方程，然后求解未知量。应用式求解任一瞬时刚体作平面运动时的速度问题，这种方法称为矢量法。分析各构件的运动形式；如果未知数不超过两个，则问题可解；303.速度瞬心法任一瞬时，如果平面图形上（或其延拓部分）存在一点，在此瞬时该点的速度为零，那么选择这样点为基点来计算其他点的速度会使求解变得非常简单。是否存在这样的点并且具有唯一性？如果存在且唯一，又如何确定它在图形上的位置？下面就来研究这一问题。定理：平面运动图形的角速度如果在某一瞬时不等于零，则该图形（或其延拓部分）上一定唯一地存在一点，它的速度在此刻等于零。证明：1.存在性：设某瞬时图形的角速度，转向如图所示。在图形上任选一点A。A31点P的速度一定为零，则点A为平面图形上速度为零的点。若，方向如图所示，则图形上过点A与垂直直线上点P的速度为若，将上式分别投影于、轴上，有当时，综合上述两种情形：某瞬时当时，图形上（或其延拓部分）一定存在速度为零的点。AP32假设某瞬时图形上至少有两个不同点的速度同时为零，(1)则表明：如果某瞬时在图形上同时存在两个不同点的速度为零，这说明假设错误，唯一性得证。则，显然与实际不符。2.唯一性（用反证法）：PA设它们为点P和M，M33速度瞬心（瞬时速度中心）：平面图形上速度为零得点称为平面图形得瞬时速度中心，简称速度瞬心，常记作P。选择速度瞬心P为基点，图形上任一点M的速度为(2.23)点M速度大小方向如图。速度瞬心与图形上任一点的速度关系：PAM34式(2.23)与定轴转动刚体上点的速度公式有相同的形式。这说明任意时刻t，一般平面运动图形上各点的速度分布规律与图形绕P轴（过点P并垂直于平面S的直线）作“定轴转动”是完全相同的。因为在不同瞬时P所在位置是变化的，它并不是平面图形上的固定点，所以，虽然速度瞬心P的速度为零，但其加速度不为零。这表明作一般平面运动的刚体，在每一瞬时，刚体好象是作定轴转动，时刻不同，转轴也不同，但从整个过程看，它并不是定轴转动。称平面运动每一瞬时的这种定轴转动为瞬时定轴转动。或者反过来说，定轴转动是速度瞬心始终不变的刚体平面运动，其转轴上各点的速度和加速度在整个运动过程中恒为零。一般平面运动与定轴转动的区别：速度瞬心法：在计算平面图形上点的速度时，只要事先知道了速度瞬心P的位置，就可以通过定轴转动的方法进行求解，这种方法称为速度瞬心法。35速度瞬心的确定方法：在某一瞬时t，已知平面图形上A，B两点的速度方向。(1)

不平行于APB且不垂直于(2)瞬时平移PBA(3)PBA(4)PBAPBA(5)平面图形沿某固定曲线作纯滚动速度瞬心为接触点。P瞬时平移36一般平面运动的两种情形：(1)瞬时平动(2)瞬时转动当时，P位于无穷远处，图形作瞬时平移；当图形作一般平面运动时，在任意时刻t，图形的运动有两种情况。当时，图形上（或其延拓部分）存在唯一的一个点P，图形绕点P作瞬时转动。一系列这样的运动就形成了图形的一般平面运动。37例题找出机构中各构件的速度瞬心。三角板OAB作定轴转动点O为三角板OAB的永久瞬心点C为杆BC的瞬心点C为杆BD的瞬心由杆AE和杆DE的投影定理点E为杆AE和DE的瞬心38例题如图所示机构，已知，。试求图示瞬时的速度瞬心和滑块B的速度。解法一两点速度关系(1)运动分析杆OA作定轴转动杆AB作平面转动滑块B作直线平动速度瞬心如图单自由度系统(2)速度分析大小方向沿x轴方向投影沿y轴方向投影()()39解法二矢量图法()40解法三速度投影定理()速度投影定理的方法无法求得杆AB的角速度必须用基点法或速度瞬心法求杆AB的角速度41解法四速度瞬心法杆OA：方向杆AB：速度瞬心为P()()42例题曲柄连杆机构。已知：，，圆弧半径。在图示位置时，曲柄角速度为，角加速度为，，且AB与槽在点B的法线夹角。试求该瞬时滑块B的速度和杆AB的角速度。解法一两点速度关系法(1)运动分析：(2)速度分析：杆OA作定轴转动杆AB作平面运动滑块B的圆周运动大小方向方向方向转向如图43解法二速度瞬心法杆OA：方向杆AB：速度瞬心为P（）方向44解法三速度投影法方向速度投影法无法求得，求仍需用上述的“基点法”或“速度瞬心法”求解。小结：(1)用3种方法，可见基点法是求解平面图形上各点速度的基本方法；瞬心法的应用显得简明方便；速度投影法只能求解点的速度，无法求解平面图形的角速度，因此只求速度时常用此方法。总之，对于不同问题，应选用一种便于求解的方法。(2)选用某种求解速度的方法，相应地要表达清楚。如“基点法”，应写清楚选取哪一点为基点，写出矢量式，同时画出速度矢量图；如“瞬心法”，应在图中画清楚速度瞬心位置；如“速度投影定理”，应在图中画出速度矢量（或速度方位）。只有表达清楚，才能列式计算求解。45462.3.4平面图形上两点的加速度关系定义：切向加速度法向加速度则两点的加速度关系(2.24)AB47切向加速度矢量的大小与方向：法向加速度矢量的大小与方向：大小方向相当于图形绕点A，以图形角加速度转动时点B所具有的切向加速度指向与图形角加速度的转向相一致，画在点B处。相当于图形绕点A，以图形角速度转动时点B所具有的法向加速度大小方向由B指向A，画在点B处。两点的加速度关系表明：平面图形上任意点B的加速度，等于基点A的加速度与平面图形以其角速度、角加速度绕点A转动时点B所具有的加速度之矢量和。该方法也称为加速度基点法。48加速度的投影定理：AB可见，加速度投影定理不同于速度投影定理，加速度投影定理使用起来并不方便，因此不使用加速度投影定理。49加速度的瞬心：M注意：加速度瞬心速度瞬心可见，加速度瞬心存在，但不容易找到，加速度瞬心法不宜使用。50总结加速度瞬心平面图形作一般平面运动时，也可以在平面图形上（或其延拓部分）找到加速度为零的一