方程求根的数值方法

方程求根的数值方法第一页，共二十三页，编辑于2023年，星期日定理：f(x)连续，f(a)与f(b)异号，a<b，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根，称(a,b)是该方程的一个有根区间。若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个单根区间。确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、图形放大法、数值迭代逼近法第二页，共二十三页，编辑于2023年，星期日2）图形放大法y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。1）逐步搜索法适当取一个小正数h，逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、……的值，直到相邻两个值异号，则取这两点的中点为近似根。第三页，共二十三页，编辑于2023年，星期日

3）数值迭代逼近法（1）区间迭代法（缩小有根区间）对分法就是将已知有根区间[a,b]一分为二，比较三个数的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例为0.618（黄金分割比例）区间迭代法1）对分法2）黄金分割法点迭代法1）简单迭代法2）牛顿切线法

3）单点割线法4）两点割线法第四页，共二十三页，编辑于2023年，星期日例1：用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根，误差0.05。解：设f(x)=x4+x-3。则有根区间是(1,2)有根区间(1,1.5)有根区间(1,1.25)有根区间(1.125,1.25)有根区间(1.125,1.1875)第五页，共二十三页，编辑于2023年，星期日（2）点迭代法若数列{xk}收敛，则极限值就是准确根。满足x=φ(x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程求解的不动点法。注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。一般迭代法：将f(x)=0适当变形为x=φ(x),在根的邻近找一个点x0作为初始点，作迭代第六页，共二十三页，编辑于2023年，星期日定理（压缩映像原理）设迭代函数x＝φ(x)在闭区间[a,b]上满足：（1）对任意x∈[a,b]，φ(x)∈[a,b]；（2）满足Lipschitz条件

则x＝φ(x)在闭区间[a,b]上存在唯一解x*，使得对任意x∈[a,b]，由xk+1=φ(xk)产生的序列{xk}收敛于x*。

第七页，共二十三页，编辑于2023年，星期日y=x迭代法的几何意义交点的横坐标即为f(x)=0的根。y=φ(x)第八页，共二十三页，编辑于2023年，星期日简单迭代收敛情况的几何解释第九页，共二十三页，编辑于2023年，星期日解：由建立迭代关系：例2：试用迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2)内的实根。k=0,1,2,3…….第十页，共二十三页，编辑于2023年，星期日但如果由x=x3-1建立迭代公式xk+1=xk3-1，k=0,1···仍取x0=1.5，则有x1=2.375，x2=12.39，显然结果越来越大，{xk}是发散序列。作业：证明函数在区间[1，2]上满足迭代收敛条件。第十一页，共二十三页，编辑于2023年，星期日牛顿迭代法：方程f(x)=0，求导f’(x)，在根的邻近找一个点x0

作为初始点，作迭代以此产生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。当初值x0和方程的根x*接近时，f(x)近似等于f(x0)+f’(x0)(x-x0)，则f(x)=0与f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0看作近似同解方程。取x=x-f(x)/f’(x)作为迭代函数。第十二页，共二十三页，编辑于2023年，星期日Newton迭代法几何解释

第十三页，共二十三页，编辑于2023年，星期日Newton迭代法算法框图第十四页，共二十三页，编辑于2023年，星期日Newton迭代法算法第十五页，共二十三页，编辑于2023年，星期日例1`：用牛顿法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根，初值为1.5。得到方程的一个近似根1.1640，误差小于0.0001.

解：第十六页，共二十三页，编辑于2023年，星期日弦截法Newton迭代法有一个较强的要求是存在导函数且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代f’(x)。第十七页，共二十三页，编辑于2023年，星期日令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。定端点弦截法又称单点割线法。第十八页，共二十三页，编辑于2023年，星期日变端点弦截法又称两点割线法第十九页，共二十三页，编辑于2023年，星期日弦截法的几何解释第二十页，共二十三页，编辑于2023年，星期日求解方程f(x)=0的快速弦截法第二十一页，共二十三页，编辑于2023年，星期日通常求方程的根时：先分析确定单根区