山东省烟台市龙口第三职业高级中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

山东省烟台市龙口第三职业高级中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．2参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B2.下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由于，，因此都是偶函数，，，都是偶函数，而当时，是增函数，故选A．

3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面或体内任取一点M，若?≥1，则动点M所构成的几何体的体积为（） A．4 B． 6 C． 7 D． 8参考答案：B4.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D5.点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【专题】应用题；数形结合；综合法；概率与统计．【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如图示其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形=4阴影部分的面积S阴影=故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P=故选：B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．6.已知＝，＝1，＝1，则向量与的夹角为A、B、C、D、参考答案：A7.已知圆的方程为，则圆心坐标为（）A． B． C． D．参考答案：C略8.已知偶函数f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1），且．当0＜x＜1时，（1﹣x2）ln（1﹣x2）f'（x）＞2xf（x），则满足f（x）＜0的x的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，根据已知可判断g（x）=在（0，1）上为增函数，进而可得f（x）在（0，1）上为减函数，结合函数f（x）为偶函数，且可得答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵当0＜x＜1时，（1﹣x2）ln（1﹣x2）f'（x）＞2xf（x），∴＞0，即g（x）=在（0，1）上为增函数，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由函数f（x）为偶函数，且．故当x∈时，f（x）＜0，故选：C9.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（

）A.最长棱的棱长为B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形都是直角三角形D.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形参考答案：C【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图（如图所示）：由图可知，，，面，面，，所以，，中，，，，，所以，所以是直角三角形，所以最长的棱长是，侧面都是直角三角形．本题选择C选项.10.函数的零点个数为A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

___________.参考答案：12.若满足，则的最大值为

．参考答案：913.若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则的解集是________．参考答案：略14.设函数在处取极值，则=_________.参考答案：2略15.（﹣2）7的展开式中，x2的系数是．参考答案：﹣280【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为2求得r值，则x2的系数可求．【解答】解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．由，得r=3．∴x2的系数是．故答案为：﹣280．【点评】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础的计算题．16.函数在处有极值为10，则b的值为______。参考答案：-11，则?或，当时，，，所以函数有极值点；当时，，所以函数无极值点，则的值为，故答案为.17.集合，集合，则集合中所有元素之和为

．参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于?n∈N*，若数列{xn}满足xn+1﹣xn＞1，则称这个数列为“K数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2－n(n∈N*)？若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列{an}不是“K数列”，若bn=，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得对n∈N*均成立，化为（n﹣1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则，由题意可得：{an}的每一项均为正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1，可得在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，②解①得m＞1；解②得m＜﹣1或m＞2．所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由a1=﹣1，得，．由题意，得对n∈N*均成立，即（n﹣1）d＜n．①当n=1时，d∈R；②当n＞1时，，因为，所以d≤1，与d＞1矛盾，故这样的等差数列{an}不存在．（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则，因为{an}的每一项均为正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，所以a1＞0，且q＞1．因为an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1，所以在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．由{an}为“K数列”，只需a2﹣a1＞1，即a1（q﹣1）＞1，又因为不是“K数列”，且“”为最小项，所以，即a1（q﹣1）≤2，由数列{an}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=2，所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．①当a1=1，q=3时，，则，令，则，又=，所以{cn}为递增数列，即cn＞cn﹣1＞cn﹣2＞…＞c1，所以bn+1﹣bn＞bn﹣bn﹣1＞bn﹣1﹣bn﹣2＞…＞b2﹣b1．因为，所以对任意的n∈N*，都有bn+1﹣bn＞1，即数列{cn}为“K数列”．②当a1=2，q=2时，，则．因为，所以数列{bn}不是“K数列”．综上：当时，数列{bn}为“K数列”，当时，数列{bn}不是“K数列”．19.（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.参考答案：（Ⅰ）.故实验室上午8时的温度为10℃.

（Ⅱ）因为，又，所以，.当时，；当时，.于是在上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……5分（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则?=?=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则?=?=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．……………9分于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．………12分21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB﹣cosB=1，a=2．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知得：sin（B﹣）=，结合范围B﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质可求B的值．（2）由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，结合b2=ac，可求a=c=2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵sinB﹣cosB=1，可得：sin（B﹣）=，∵B∈（0，π），可得：B﹣∈（﹣，），∴B﹣=，可得：B=．（2）∵B=，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，又∵b2=ac，∴a2+c2﹣ac=ac，可得：a=c=2，∴S△ABC===．22.本小题满分14分）在长方体中，，为棱上一点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）证明：连接∵是长方体，∴平面，………………1分又平面∴

………………2分在长方形中，∴