河南省郑州市中牟县2024-2025学年高一上学期数学期末测评数学试卷（解析版）

第页，共页第18页，共18页绝密★启用前2024—2025学年上学期期末测评试卷高一数学注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120.分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名､准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B2.已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】先求出，从而可求幂函数，故可求.【详解】因为，故，设，故，故，故，故选：D.3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式可求代数式的值.【详解】原式，故选：A.4.要得到函数的图象，需（）A.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B.将函数图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变）C.将函数图象上所有点向左平移个单位长度D.将函数图象上所有点向左平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，故B错误；将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；D.将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.故选：D.5.设x∈R，不等式恒成立的一个充分条件可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，从而可求恒成立的充分条件.【详解】若，则恒成立，若，则，故，故，所以不等式恒成立的充要条件为，若求充分条件，则充分条件对应的集合真包含于，对比各选择，只有A符合，故选：A.6.已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，因为所以，即.故选：C.7.声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或三个以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（）A. B.、 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出另外两个单音对应的三角函数后可求和弦的一个周期，【详解】设题设中左图对应的解析式为，则，而，其中，故，故，故，其最小正周期为.右图对应的解析式为，则且，故，故，其最小正周期为，而的最小正周期为，故该和弦的一个最小正周期为，故周期为，故选：C8.已知函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据、共有3个不同的实数根据可求实数的取值范围，后者可就、、分类讨论即可.【详解】由可得或，当时，，当时，令，解得，故有两个不同的解且异于，而在0,+∞上为减函数，且，故在0,+∞上至多有一个实数根，若在0,+∞上有一个实数根，则，即，考虑此时解的个数，此方程可化为，因为，故只有一个实数解，若该解与相同，则即，与矛盾，故符合题设要求；若在0,+∞上无实数根，则或，即或，考虑解的个数，若，则，有一个实数根，故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾；若，则，故，当且仅当，时等号成立，故此时至多有一个实数根，故原方程至多有两个不同的实数根，与题设矛盾；综上，，故选：C.【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点个数问题，一般先考虑外方程的解的情况，再考虑内方程解的情况，两者综合才可求参数的取值范围.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.B.C.D.若且，则【答案】ABD【解析】【分析】根据指数幂的运算可判断AB的正误，根据对数的运算性质可判断C的正误，根据指对数的转化可判断D的正误.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，，故，故D正确；故选：ABD.10.如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（）A.在末，点的坐标为B.在末，点在单位圆上第一次重合C.在末，扇形的弧长为D.面积的最大值为【答案】BD【解析】【详解】由题设，秒末的坐标为，的坐标为，对于A，在末，的坐标为，故A错误；对于B，若重合，则，故，故，故末，点在单位圆上第一次重合，故B正确；对于C，在末，在的终边上，在的终边上，故扇形的弧长为，故C错误；对于D，的面积为，当且仅当即时等号成立，故D正确；故选：BD.11.已知是上不恒为零的函数，且都有，则下列说法正确的是（）A.B.是奇函数C.若，则D.若当时，，则在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D.【详解】因为，令，得，所以，故A错误；令，得，所以，令，得，又，所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确；令，得，又，所以，故C正确；当时，由，可得，又，，上任取，不妨设，，，故，故在单调递减，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值.【详解】由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故答案为：.13.在中，已知，则角__________.【答案】【解析】【分析】根据题意由两角和的正切公式可得，即可得，求出结果.【详解】由，得，即，又，所以，则，故答案为：14.设平行于轴的直线与函数和的图象分别交于点，若在的图象上存在点，使得为等边三角形，则__________.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标.【详解】设直线的方程为，由，得，所以点，由，得，所以点，从而，如图，取的中点，连接，因为为等边三角形，则，所以，，则点，故，解得，所以点的纵坐标为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）计算：；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】利用诱导公式，同角公式求值即可.【详解】（1）;（2）因为，所以；（3）因为，所以，又因为，所以，则，，16.对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点；（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值；（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.【答案】（1）和（2）8（3）【解析】【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可；（2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可；（3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解.【小问1详解】令，故或，故的不动点为和.【小问2详解】依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.【小问3详解】由题知：，所以，由于函数恒有不动点，所以，即，又因为是任意实数，所以，即，解得，所以的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解.17.已知，函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）当时，判断函数的单调性，并用定义给出证明.【答案】（1）（2）为上的减函数，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义域的对称性可求；（2）根据单调性的定义可证明为上的减函数.【小问1详解】函数的定义域即为的解集，而奇函数的定义域关于原点对称，故的根为，故.当时，，定义域为，定义域关于原点对称，而，故为奇函数，故.【小问2详解】函数为上的减函数，设，则，，因为，故，故，故，故即即函数为上的减函数.18.已知函数.（1）求在上的单调递增区间；（2）若，，求的值；（3）请在同一平面直角坐标系上画出函数和在上图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线和的交点个数.【答案】（1），（2）（3）作图见解析，交点个数为【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间；（2）由已知条件求出的值，由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正弦公式可求得的值；（3）作出两个函数在区间上的图象，可得出两个函数图象的交点个数.【小问1详解】因为，当时，，由可得，由可得，所以，函数在上的单调递增区间为，.【小问2详解】因为，可得，因为，则，所以，，因此，.【小问3详解】当时，，在同一平面直角坐标系上画出函数和在上的图象如下图所示：由图可知，曲线和在上的交点个数为.19.已知函数.（1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；（2）求不等式的解集；（3）当时，求的最大值.【答案】（1）是，定值1（2）（3）【解析】【分析】（1）解析