辽宁省葫芦岛市钢屯中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

辽宁省葫芦岛市钢屯中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数f（x）＝3sin（4x＋）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．则图象的一条对称轴是A．x＝

B．x＝

C．x＝

D．x＝参考答案：C2.若为等差数列的前n项和，，则与的等比中项为(

)A．

B．± C．4

D．±4

参考答案：B略3.函数满足，且，则与的大小关系是(

)A.

B.

C.>

D.与有关不确定参考答案：A4.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如，定义函数{x}，则下列命题中正确的是

（

）

A．函数的最大值为1

B．函数有且仅有一个零点

C．函数是周期函数

D．函数是增函数参考答案：答案:C5.对x∈R，“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(A)，使得f(x0)>0成立（B)，使得f(x0）≤0成立(C)，f(x)>0成立

（D)，f(x)≤0成立参考答案：A略6.已知集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，则A∩B=（）A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（2，4] D．[2，4]参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤4}=（2，4]．故选C．7.已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值可以是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略8.（5分）（2015?浙江模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，且?最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．[2，+∞）参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设P（m，n），代入双曲线方程，又设F1（﹣c，0），F2（c，0），由向量的坐标运算和数量积的坐标表示，化简整理结合双曲线方程和性质，可得?最小值为a2﹣c2．再由条件结合离心率公式，解不等式，即可得到离心率范围．解：设P（m，n），则﹣=1，即有m2=a2（1+），又设F1（﹣c，0），F2（c，0），即有=（﹣n，﹣m﹣c），=（﹣n，c﹣m），则?=n2+m2﹣c2=n2+a2（1+）﹣c2=n2（1+）+a2﹣c2≥a2﹣c2．（当n=0时取得等号）．则有?最小值为a2﹣c2．由题意可得﹣c2≤a2﹣c2≤﹣c2，即有c2≤a2≤c2，即c，则有．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理能力，属于中档题．9.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，，，则，，的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是（

）

A．8

B．9

C．10

D．11参考答案：B由题意可得，函数的周期是4，可将问题转化为与在区间有几个交点．如图：由图知，有9个交点．选B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，函数的图象过(0，1)点，则的最小值是

．参考答案：略12.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

种(用数字作答)．参考答案：3013.若框图（右图）所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是___________.参考答案：14.已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】不等式组中的第三个不等式可化为x≤y，作出该不等式组表示的平面区域，x2+y2﹣6x的几何意义求最小值．【解答】解：由，∵y+＞y+|y|≥0，∴，∵函数f（x）=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：∵x2+y2﹣6x=（x﹣3）2+y2﹣9．由点到直线的距离公式可得，P（3，0）区域中A（）的距离最小，所以x2+y2﹣6x的最小值为．故答案为：﹣．15.已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=

．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=2，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1（a＞0），则其渐近线方程为：y=±x，若其一条渐近线方程为y=2x，则有=2，解可得a=3；故答案为：3．16.已知，则函数的零点的个数是;参考答案：317.如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为__.

参考答案：考点：直线方程直线斜率为，所以斜率为，设直线方程为，

由已知直线过点，所以，即，所以直线方程为，即三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为满足

(I)求数列的通项公式及数列的前n项和；

(Ⅱ)是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由参考答案：【知识点】数列的性质

D3(I)(II)略解析：(I)设数列的公差为d,由，解得因此的通项公式是所以，从而前n项的和为(II)因为,当时，：当时，所以，若是等比数列，则有而，所以矛盾，故不存在非零实数使数列为等比数列.【思路点拨】根据数列的已知条件可求出前n项和，再通过项的关系判定不是等比数列.19.某校2014-2015学年高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．参考答案：考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出样本容量，再求之间的试卷数，用列举法求出基本事件数，计算概率即可；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可．解答： 解：（Ⅰ）根据题意，频率分布直方图中之间的试卷数是4+2=6，分别记为a、b、c、d、A、B；从这6份中任取2份，ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB共15种，其中至少有一份的分数在之间的基本事件数是aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB共9种∴它的概率为P==；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是=55×0.008×10+65×+75×+85×+95×=73.8，由此估计平均分是73.8．点评：本题考查了样本容量与频数、频率的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，利用频率分布直方图求平均数的问题，是综合题．20.已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex．（其中e是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；（Ⅱ）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系．【专题】综合题；压轴题．【分析】（I）先对函数求导，，可得切线的斜率=，即，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，可证（Ⅱ）由，，先研究函数，则．由h'（x）在（0，1]上是减函数，可得h'（x）≥h'（1）=2﹣a，通过研究2﹣a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求【解答】解：（I）（x＞0）．

…（2分）过切点P（x0，y0）的切线的斜率=整理得．…（4分）显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1．…（6分）（Ⅱ），．…（8分）设，则．易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a．

…（10分）（1）当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意．

…（12分）（2）当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减．又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合（1）（2）得，a≤2．

…（15分）【点评】考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．21.（本小题满分13分）已知函数f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1，f′(1)=0，⑴求f(x)；⑵求f(x)的最大值；⑶若x>0,y>0,证明：lnx+lny≤.参考答案：本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题，同时考查考生用函数放缩的方法证明不等式的能力．解：⑴由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b